Олимпиада по математике

44

ХV Всесоюзная
олимпида Школьников

В. Вавилов, А. Земляков

Олимпида
по математике

С 15 по 22 апреля в Алма-Ате состоялся заключительный этап XV Всесоюзной olимпиды Школьников по математике. В нем приняло участие 148 Школьников: 39 восмиклассников, 47 девятиклассников и 62 десятиклассника. Все эти ребята — победители ресурublikанских и зональных olимпидад, а также Школьники, получившие дипломы I и II степени на заключительном этапе XV Всесоюзной olимпиды.

В этом году olимпида была посвящена XXVI съезду Коммунистической партии Советского Союза.

Заключительный этап olимпиды проходил в два тура, которые состоялись 17 и 19 апреля. В каждый из дней Школьником было предложено по четыре задачи, на решение которых отводилось по 5 часов. При обборе задачи методическая комиссия придерживалась тех же принципов, что и в прошлом году («Квант», 1980, № 11, с. 45). Ниже мы приводим условия всех задач; в скобках рядом с условиям каждой задачи указано, кто ее предложил. В конце статьи вы найдете решение всех задач, не вошедших в Задачик «Квант», 1981, № 7).

Задачи
Первый день
8 класс

1. Две одинаковые шахматные доски (8×8 клеток) имеют общий центр, причем одна из них повернуть относительно другой на 45° около центра. Найдите суммарную площадь всех пересечений черных клеток этих двух досок, если площадь одной клетки A, B, M и N. Из точки M проведены хорды MA1 и MB1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Доказите, что прямые AA1 и BB1 параллельны. (Если A=A1, то прямая AA1 является касательной к окружности в точке A; аналогично при B=B1.) (A. Слинько)

2. Будем говорить, что число обладает свойством (K), если оно разлагается в произведение K последовательных натуральных чисел, больших 1.

a) Найдите K такое, для которого неоторгоре число обладает одновременно свойством (K) и (K+2).

6. Доказите, что число, обладающих одновременно свойством (2) и (4), не существует. (B. Федотов)

4. В таблице 4 строки. В первой из них записаны произвольные натуральные числа, среди которых могут быть и одинаковые. Вторая строка заполняется так: слева направо просматривается числа первой строки и под числом a записывается число k, если a встретилось в первой строке в k-й раз. Аналогично по второй строке записывается третья, а по третьей — четвертая. Доказите, что вторя и четвертая строки всегда получаются одинаковыми. (A. Кузнецов)

9 класс

1. Найдите наименьшее значение площади прямого угольника со стороными, параллельными осем координат Ox и Oy, содержащero фигуру, заданную системой неравенств (a∈R)

$$\begin{cases} y \leq -x^2, \\ y \geq x^2 - 2x + a. \end{cases}$$

(A. Савин)

2. См. задачу № 4 для 8-го класса.

3. Правильные треугольники ABC, CDE и EHK (вершины указаны против часов стрелки) с попарно общими вершинами C и E расположены на плоскости так, что AD=DK. Доказите, что треугольник BHD — тоже правильный. (A. Кунцов)

4. В некоторых последовательных 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своим знакомыми. Известно, что любая новость становится извлеченной всем жителем поселка. Доказите, что можно выбрать 90 жителей так, что одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она становится извлеченной всем жителем поселка. (H. Картацов, A. Савин)

45

10 класс

1. Про числа $a$ и $b$ известно, что неравенство
   $$a \cdot \cos x + b \cdot \cos 3x > 1$$
   не имеет решений. Докажите, что $|b| \leq 1$.
   (Ю. Нестеренко)

2. Точки $K$ и $M$ — середины сторона $AB$ и $CD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$, точки $L$ и $N$ расположены на двух других сторонах так, что четырехугольник $KLMN$ — прямогольник. Докажите, что площадь четырехугольника $ABCD$ вдвое больше площади прямогольника $KLMN$.

3. Найдите все последовательности натуральных чисел ($x_n$) такие, что выполенны следующие два условия:
   a) $x_n \leq n\sqrt{n}$ при любом $n$;
   b) разность $x_m - x_n$ делится на $m - n$ при любых различных $m$ и $n$.
   (Ю. Нестеренко)

4. Можно ли все клетки какой-нибудь прямогольной таблицы окрасить в белый и черный цвет так, чтобы белых и черных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета? (С. Коняцин)

Второй день

8 класс

5. Докажите, что если четырехугольники $ACPH, AMBE, AHBT, BKXM, CKXP$ являются параллелограмми (вершины всех четырехугольников перечислены в одном направлении), то ломанная $ABTE$ не имеет самопересечений и ограничивает параллелограмм.
   (B. Федотов)

6. Решите уравнение
   $$x^3 - y^3 = xy + 61$$
   в натуральных числах $x$ и $y$. (С. Коняцин, А. Слинько)

7. В футбольном турнике 18 команд сыграли между собой 8 туров — какая команда сыграла с восемью разными командами. Докажите, что найдутся три команды, не сыграющие между собой пока ни одного матча.
   (C. Коняцин)

8. Точки $C_1, A_1, B_1$ взяты на сторонах, соответствующего $AB, BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ так, что $|AC_1|:|C_1B| = |BA_1|:|A_1C| = |CB_1|:|B_1A| = 1:3$. Докажите, что перimetр $P$ треугольника $ABC$ и перimetр $P_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ связаны неравенствами
   $$\frac{1}{2}P < P_1 < \frac{3}{4}P.$$

(B. Турчиннов)

9 класс

5. Докажите, что если положительные числа $x, y$ удовлетворяют уравнению $x^3 + y^3 = x - y$, то $x^2 + y^2 < 1$. (Г. Гальперин)

6. Ученику нужно скопировать выпуклый многоугольник, помещающейся в кругге радиуса 1. Сначала ученик отколил перую сторону, из ее конца провел вторую — третью и т. д. Законный построение, он обнаружил, что многоугольник не замкнулся, а первая и последняя нарисованные им вершины находятся на расстоянии $d$ одна от другой. Известно, что углы ученики откладывают точно, а относительная погрешность при откладывании длины каждой стороны не превышает числа $p$. Докажите, что $d \leq 4p$. (H. Карташов)

7. В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если в начале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке 3? (H. Васильев)

8. Найдите хотя бы одно натуральное число $n$ такое, что каждое из чисел $n, n+1, n+2, \dots, n+20$ имеет с числом 30 030 = 2·3·5·7·11·13 общий делитель, больший единицу. (Ю. Нестеренко)

10 класс

5. Науральные числа от 100 до 999 написаны каждое на своей карточке. Карточки положены на стол числами вниз, перемещены и затем сложены в одну стопку. Будем, открывать последовательное карточки из этой стопки, сортировать их, раскладывать на куби числами в соответствии с младшей цифрой написанной числа. В первой куби окажут все числа, оканчивающиеся на 0, во второй — оканчивающиеся на 1, и так далее. Сложим все куби в одну стопку, положив поверх первой куби вторую и в конце концов — десятию. Получившуюся стопку карточка рассортируется еще раз, но теперь, открывая карточку, будем раскладывать их на куби в соответствии со старшей цифрой. В каком порядке будут расположены карточки в столке, собранной, как указано ранее, после этой сортировки? (Ю. Нестеренко)

6. В прямогольнике $3 \times 4$ расположено 6 точки. Докажите, что найдется пара точек,

46

Участики олимпiadы по математике, получившие дипломы 1 степени. В первом ряду (слева направо): А. Николаев, К. Черанс, Я. Бриталс, И. Жуков; во втором ряду: В. Шевчинин, Н. Гринберг, Ю. Екишев, В. Алексеев, Г. Перельман; в верхнем ряду: Т. Маланок, Л. Лапшин.

удаленных одна от другой не более чем на $\sqrt{5}$. (Г. Мустафин, Ю. Нестеренко)

7. а) Найдите наименьшее возможное значение многочлена
   $$P(x, y) = 4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2.$$

6. Докажите, что этот многочлен нельзя представить в виде суммы квадратов многочленов от переменных $x, y$. (Г. Мустафин, Ю. Нестеренко)

8. Отрезки AD, BE, CF служат боковым ребрами правильно треугольной признамы. На ее основании ABC найдите все точки, равноудаленные от прямых AE, BF, CD. (Ю. Нестеренко)

В восемом классе самой трудной оказалась задача № 5, в девятом — задача № 4, в десятом — задачи № 4 и № 8. Все остальные задачи решило примерно от четырени до половины участников.

Распределение признаров по классам дано в таблице. Их имены вы найдете на с. 54. Кроме 84 признаров еще 23 участника получили пожавленные грамоты.

| Награждены | Дип-ломы первой степени | Дип-ломы второй степени | Дип-ломы третьей степени | Всего | В % |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 8 класс (из 39) | 4 | 15 | 7 | 26 | 66 |
| 9 класс (из 47) | 2 | 12 | 11 | 25 | 53 |
| 10 класс (из 62) | 6 | 10 | 15 | 31 | 50 |

Специальный приз, учережденный редакторей и редакцией журнала «Квант», — подшивка журнала «Квант» за 1980 год с авторфом академика И. К. Кикона — был вручен Янису Бриталсу (Рига). Подпиской на журнал «Квант» на 1982 год нагradженны девятиклассица Надя Абдрафикова (Белорец) и восемиклассики Витя Викторов (Рязань), Олее Кудинов (Заринск), Виталий Стаховский (Капустин Яр) и Женя Шмелев (п. Надежный Яктской АССР).

Несоклько слов о составе и работе жюри. Возглавил работу жюри академик-секретарь АН Казах. ССР О. А. Жаутыков, ему помогали два заметителя — доцент Казахского политического института С. К. Канеев и старший научный сотрудник Московского государственного университета В. В. Вавилов. В каждом классе было по два курatura: в 8 классе — А. М. Слинько и Л. П. Фалалеев, в 9 классе — А. П. Савин и К. К. Кабдыкаиров, в 10 классе — Ю. В. Нестеренко и К. Ж. Нawyзыбаев. Всего в состав жюри насчитывалось 53 человек. Почетным гостем олимпiadы был академик АН УССР Б. В. Гнеденко. Члены жюри провели, как обычно, разбор задач для руководителей команды и, отдельно, для школьников. Перед разбором задач и руководителя, и

47

школьники получили решения всех задач, подготовленные методической комиссей.

В день закрытия олимпiadы жюри организации «математический боЙ» между командой ФМШ № 18 при МГУ и командой ФМШ № 45 при ЛГУ. Победили москвичи со счетом 42:38. На бое были предложены некоторые задачи Московской студенческой олимпiadы этого года.

Хозяева олимпiadы отвечлись к юным математикам с большой теплотой и заботой. В программе олимпiadы — встречи с учеными и студентами, посещения театров и музеев, экскурсии по городу, посещение спортивного комплекса «Медео», вечера отдельы и многое-много другие. Юные математики возложили цветы к памятнику В. И. Ленину и Мемориалу Славы, приняли участие во Всесоюзном ленинском коммунистическом субботнике. Хочется сердечно поблагодарить Академию наук, Министерство просвещения, Центральный комитет комсомола Казахстана, администрацию, сотрудников и учащихся ресурвлической физико-mатематической школи, сделав-

Я. Бриталс, получивший специальный приз журнала «Квант».

ших все, чтобы превращить olимппа-ду в настоящий праздник юных математиков.

Решения и указания

8 класс

1. Искомая площадь равна 32(√2−1).

Обозначим через $S_{чч}$ площадь пересечений черных к клеток верхней дOCKи с черными и клетками нижней, через $S_{чб}$ — площадь пересечений черных к клеток верхней дOCKи с белыми и клетками нижней. Аналогично введем обозначения $S_{чч}$ и $S_{чб}$. Тогда $S_{чч} + S_{чб} + S_{чб} = S$, где $S$ — площадь головного восмычногоника на рисунке 4.

Рис. 4.

Если мы из исходного положения поверхнем верхнюю дOCKи вокруг центра на 90°, то ее черные клетки перейдет в белые, а белые — в черные. Значит, $S_{чч} = S_{чб}$ и $S_{чб} = S_{чб}$. Если мы из исходного положения поверхнем на 90° обе дOCKи, то черные клетки перейдет в белые на обеих дOCKах, так что $S_{чб} = S_{чб}$ и $S_{чб} = S_{чб}$. Поэтому $S_{чч} = S_{чб} = S_{чб}$, то есть $S_{чч} = \frac{1}{4} S$. Остается найти $S$.

2. При фиксированных точках $A, B$ и $N$ задание точки $A_1$ определяет положение точки $M$ и, следовательно, положение точки $B_1$. Таким образом, при фиксированных $A, B, N$ мы получаем некоторое отображение $A_1 \rightarrow B_1$ точек okружности в себя (рис. 5).

Рис. 5.

Нетрудно видеть, что отображение ф представляет собой композицию двух осевых симметричных отношений прямых $l_1 \parallel (BN)$ и $l_2 \parallel (AN)$, проходящих через центр okружности (см. рис. 5), так что на самом деле ф есть поворот вокруг центра (см. «Квант», 1980, № 3, с. 5).

Чтобы определить угол поворота, найдем образ $\varphi(B)$ точки $B$. Отразив точку $B$ относительно прямой $l_1$, получим точку $B'$, являющийся противоположным концом диаметра, проходящero через $N$. Отразив $B'$ относительно $l_2$, получим $A$. Итак, $\varphi(B) = A$. Если на-

48

правление от точки $A$ к точке $B$ считать положительным, то $\varphi$ — поворот на угол, дополнительный центрный угол, опирающийся на дуг $AB$, до $2\pi$.

Позному всегда $AB + A_1B_1 = 2\pi$.

Доказательство того, что при этом условия примыте $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, мы оставляем читательям.

4. Выберем в нашей таблице какой-нибудь столбец. Пусть в первой строке этого столбца стоит число $a$, во второй — $m$, в третьей — $n$. Докажем, что в четвертой строке снова стоит число $m$. Для простоты изложения отбросим все столбцы, стоящие выше грани. Докажем, что в третьей строке («урезанной таблицы) число $n$ встречаетсяровно $m$ раз.

To, что во второй строке число $m$ встречаетсяровно $n$ раз, означает, что в первой строке какие-то $n$ различных чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$, а встречаются не менее, чем по $m$ раз каждой, причем $a$ —ровно $m$ раз. Каждый из чисел $a_i$ и число $a$ встречаются когда-то в первый, во вторый, …, в $m$-й раз; поэтому числа 1, 2, …, $m-1$, $m$ появляются во второй строке по крайней мере $n$ раз ($m$ —ровно $n$ раз). Число $m+1$ во второй строке появляется менее чем $n$ раз, либо в первой строке в $(m+1)$-й раз могут появляться лишь числа $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Числа $m+2, m+3, \dots$ тем более не могут встречаться во второй строке $n$ и более раз. Итак, во второй строке в $n$-й раз появляется числа 1, 2, …, $m$ и только они. Поэтому в третьей строке число $n$ появляетсяровно $m$ раз, что и требовалось.

5. Из того, что пять перечисленных четырехугольников является параллелограмми, следует равенства векторов: $\vec{PC} = \vec{HA}, \vec{AE} = \vec{MB}, \vec{HA} = \vec{BT}, \vec{MB} = \vec{XK}, \vec{XK} = \vec{PC}$. Из них получаем $\vec{AE} = \vec{BT}$, что и требовалось.

6. Очевидно, $x > y$. Пусть $x = y + d$, где $d \geq 1$ ($d$ — натуральное число). Тогда $(3d-1)y^2 + (3d-1)yd + d^3 = 61$, откуда $d^3 < 61$, то есть $d = 1$, 2 или 3. Эти три возможных значения $d$ дают нам три квадратных уравнений, из которых лишь у одного ($\text{при } d = 1$) есть натуральный корень $y = 5$. При этом $x = 6$.

7. Расстоянием одну из команд. Она сыграла с восемью командами и с девятью не сыграла. Если среди этих девятых последних есть две, не сыгращие между собой, то все доказано. Предположим, что это не так. Тогда все эти девять команды сыграли между собой, для чего им потребовалось сыграть 36 матчей. Однако за один тур эти девять команды могут проверсти только 4 матча, а за 8 туров — 32 матча. Противоречие!

9 класс

1. Возможны два случая рассложения парабол $y = -x^2$ и $y = x^2 - 2x + a$ — они изображены на рисунках 6 и 7. На этих же рисунках показаны нужные прямые прямолинейки. Разобравшись с координатами точек пересечения парабол, получим ответ: искомая площадь равна $(1-a)\sqrt{1-a}$, если $a \leq 0$, и $1-2a$, если $0 < a < \frac{1}{2}$; если же $a \geq \frac{1}{2}$, множество решений системы либо пусть, либо состоит из одной точки — площадь прямолинейки может быть скольго уголом малой.

2. Утверждение задач следует из того, что треугольник CAD при повороте на угол $60^\circ$ против часовой стрелки около вершины $C$ переходит в треугольник CBE (рис. 8), а треугольник HBE при повороте на угол $60^\circ$ по часовой стрелке около $H$ — в треугольник HDK.

3. Ясно, что $x > y > 0$. Из $\frac{x^3+y^3}{x-y} = 1$ следует $\frac{x^3-y^3}{x-y} < 1$, $x^2+xy+y^2 < 1$. Но $x^2+y^2 < x^2+xy+y^2$.

4. Припишем каждой стороне направленное, в котором она откладывается. Спроектируем наши построения на примеру, соединишую начальную и конечную точки (нахождение расстояния $d$). Относительная погрешность при этом проектировании не меняется. Сумма длини проекций сторона многоугольника, направленных в одну сторону, не превыходит 2 (диаметра кругла), в другую — тоже, и если даже все проектировые погрешности направлены одинаково, их сумма не больше 2$p+2p=4p$, то есть $d \leq 4p$.

5. Пусть $m = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot k$, где $k$ — натуральное число. Подобрав $k$ так, чтобы число $m-1$ делилось на 11, а число $m+1$ делилось на 13, получим, что число $n=m-10$ удовлетворяет всем условиям задачи. Таково, например, $k=45$; тогда $n=9440$.

10 класс

1. Положим $f(x) = a \cdot \cos x + b \cdot \cos 3x$. Утверждение задачи следует из того, что при всех целях $n$ выполняются неравенства $f(\pi n) \leq 1$ и $f\left(\frac{\pi}{3} + \pi n\right) \leq 1$, то есть
   $$\begin{cases} -1 \leq a+b \leq 1, \\ -1 \leq \frac{a}{2} - b \leq 1 \end{cases}$$ (см. рис. 9).

49

2. Утверждение задачи остается справедливым, если в условиях слова «прямогольник» заменить словом «параллелограмм».

Нарисуем параллелограмм $KL'MN'$, где $L'$ и $N'$ — середины сторона BC и AD (рис. 10). Для этого параллелограмма утверждение очевидно. Можно ли наш параллелограмм KLMN с ним не совпадать? Поскольку центр симметрии у них общий (середина отрезка KM), это возможность лишь в том случае, когда $(NN') \parallel (LL')$, то есть четырехугольник ABCD — трапеция $(AD) \parallel (BC)$ со средней линии KM. Площадь этой трапеции $h \cdot |KM|$ ($h$ — расстояние между прямыми AD и BC), очевидно, вдвое больше площади параллелограмма KLMN.

3. Ответ: $x_n = 1$ ($n \in \mathbb{N}$), $x_n = n$ ($n \in \mathbb{N}$).

Решение. Из $x_1 \leq 1$ следует $x_1 = 1$; $x_2 \leq 2\sqrt{2} < 3$, так что $x_2$ равно 1, либо 2.

1. Если $x_2 = 1$, то разности $x_n - 1$ для каждого $n$ делятся на $(n-1)$ $(n-2)$. Если $x_n \neq 1$, то $(n-1)(n-2) \leq |x_n-1| \leq n\sqrt{n}+1$.

Эти неравенства не могут выполнять при достаточно больших $n$. Поэтому $x_n = 1$ для достаточно больших $n$. Пусть $m$ — произвольное натуральное число. Разность $x_{n+m} - x_m$ делится на $n$. Если $n$ достаточно велико, то на $n$ делится разность $1 - x_m$ (для любого достаточно большого $n$). Отсюда следует, что $x_m = 1$, то есть члены последовательности равны 1.

2. Если $x_2 = 2$, то при любом $k$ разности $x_k - x_1 = x_k - 1$ и $x_k - x_2 = x_k - 2$ делятся, соответственно, на $k-1$ и $k-2$. Это равnocльно тому, что на $(k-1)(k-2)$ делятся разности $x_k - k$. Если $x_k \neq k$, то $(k-1)(k-2) \leq |x_k - k| \leq k\sqrt{k}+k$,

что невозможно при достаточно больших $k$, и следовательно, $x_k = k$ для $k \geq K_0$. При фиксировании не могут выполнять при достаточно больших $k$, и следовательно, $x_k = k$ для $k \geq K_0$. При фиксировании не могут выполнять при достаточно больших $k$, и следовательно, $x_k = k$ для $k \geq K_0$.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

7. a) Найменьшее значение многочлена равно 3. Доказем это. Имеем $4 + x^2y^4 + x^4y^2 - 3x^2y^2 = 4 + x^2y^2(x^2 + y^2) - 3x^2y^2 \geq 4 + x^2y^2 \cdot 2|xy| - 3x^2y^2$ (мы воспользовались неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для чисел $x^2, y^2$).

Введем обозначения: $t = |xy|$, $f(t) = 4 + 2t^3 - 3t^2$. Легко показать, что в точке $t = 1$ многочлен $f(t)$ принимает наименьшее значение на множество $t \geq 0$. Поэтому $P(x, y) \geq f(1) = 3$.

Число 3 является значением многочлена $P(x, y)$ при $x = y = 1$.

6. Пусть $4 + x^2y^2 + x^4y^2 - 3x^2y^2 = g_1^2 + g_2^2 + \dots$,

(1) где $g_1, g_2, \dots$ — неокоторые многочлены, степени которых, очевидно, не превысают трех. Представим $g_i$ в виде суммы $g_i = a_i + b_i + c_i + d_i$, где $a_i, b_i, c_i, d_i$ — однородные многочлены степени, соответствующие, 3, 2, 1, 0 (разумеется, неокторы из них могут быть только действными нулями) *. Сравнивая в (1)

*) Многочлен $g(x, y)$ называется однородным степенем $k$, если все его однолетены имеют степень $k$, то есть $g(tx, ty) = t^k \cdot g(x, y)$.