Доска под охраной

Шахматная страница

Консультирует — чемппон мира по шахматам, международный гроссейстер А. Карпов. Ведет страничку мастер спорта СССР по шахматам, кандидат технических наук Е. Гик.

ДОСКА ПОД ОХРАНОЙ

В прошлом номере журнала мы рассказали о комбинаторных задачах на шахматной доске, связанных с расстановкой набольшого числа фигур, не угрожаюших другу другу. Другой распрощенный тип шахматных головоломок состоит в расстановке наименьшего числа фигур, которые держат подзашитой все свободные поля доски, подсчете числа таких расстановок и обобщение задач на доски $n \times n$.

Ферзи. Пять ферзей на полях c6, d3, e5, f7, g4 охранют всю шахматную доску. Число таких расстановок равно 4860. Любопытно, что пяты ферзей достаются и для охранны доок $9 \times 9$, $10 \times 10$ и даже $11 \times 11$. В обшем случае задача о числе ферзей, которые держат под обстрелом все свободные поля доски $n \times n$, не решена, есть лишь некоторые оценки (см. «Квант», 1977, № 12).

Ладьи. Здесь имеется полная ясность. На доске $n \times n$ нужно расставитьровно $n$ ладей, чтобы они обстрелали все поля доски, число расстановок равно $2n^n$—п!(n! — произведение всех целых чисел от 1 до $n$).

Слоны. $n$ слонов, поставленные вдоль одной из центральных вертикалей (горизонталей) доски, охранют все свободные поля доски, то есть на обещной доске со своей задачей справятся 8 слонов. Формула для числа возможных расстановок $n$ слонов на доске $n \times n$ имеет довольно громоздкий вид: $((2k-1)!(4k^2+k))^2$ при $n=4k+2$, $2(k!)^2(k+2)$ при $n=2k+1$ (k>0).

Короли. Любое натуральное число $n$ можно представить одним из следующих способов: $n=3k, n=3k-1, n=3k-2$, где $k$ — неокоторое натуральное число ($k=[(n+2)/3]$). Наименьшее число королей, охраняющих всю шахматную доску $n \times n$, равно $k^2$. В частности, для $n=8$ имеем $k=3$, и 9 королей (например, на полях b2, b5, b8, e2, e5, e8, h2, h5, h8) выполят свои функини. Формула для числа расстановок неизвестна.

Конни. В обшем случае, для доски $n \times n$ задача не решена. На обещной доске можно расставить 12 коней, охраняющих все свободные поля доски (b6, c2, c3, c5, c6, d3, e6, f2, f3, f6, f7, g2).

Пешки. На обещной доске для охранны хватает 29 пешек. Их можно поставить на первую горизонталь и на вертикали a, d и g. Число расстановок в обещем случае (на доске $n \times n$) попробyte найти самостояльно.

В неоктальных задах об охране доски $8 \times 8$ требуется, чтобы под боем находились не только свободные поля, но и занятые фигурами. Пять ферзей, удовлетворяющих этому условию, можно поставить на поля a2, c4, d5, e6, g8. Восемь ладей, стоящих вдоль лобой горизонтали или вертикали, также наладают на все поля доски. Что же касается других фигур, то для охранны всех доски их требуется несколько больше: коней — 14, словов — 10, королей — 12.

В подобных задах не обязательно быть однозначными фигуры. Пять ферзей справляются с шахматной доской, но двух из них можно заменить ладьями (ферзи b7, d1, f7, ладьи d3, h5) или даже ладей и слоном (ферзи b4, f2, h6, ладья d8, слон e5), причем в первой расстановке.atakoаны все 64 поля доски. Ферзей может сопровождать конь или король (ферзи d6, e4, f5, g7 и конь cl или король b2).

А можно ли расставить на шахматной доске полный комплекс фигур (без пешек) так, чтобы они держали под обстрелом все 64 поля?

Как ни страноно, восемь фигур могут охранять всю доску лишь в том случае, если слоны одноцветные.

Если же слоны разного цвета, то одно поле всегда остается без охраны, причем доказано, что нетакованным может быть лобое поле доски. Если мы хотим, чтобы под зашитой находится свободные поля доски, то хватает и семи фигур: Крb4, Фg2, Лf8, Лh1, Кc7, Ke5, Cc5.

Конкурсные задачи

Апрель — «космический» месси, и поэтому сегодня мы предлагаем две задачи на космическую тему. Первая из них посыщена В. Терешковой и Ю. Гагарину. Начальная буква «T» в процессе решения трансформируется в букву «Г». В двухходовке начальное расположение фигур изображает пакет, устремившуюся к звездам.

7. Мат в 5 ходов.

8. Мат в 2 хода.

Срок отправки решения — 25 июня 1983 года (с пометкой на конверте «Шахматный конкурс «Квант», задания 7, 8»).