Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Квант 1983, №4 с. 54, 55, 56, 58, 59, 60, 61, 63, 64 Тег 8DY7

Московский государственный университет
им. М. В. Ломоносова

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

Решите уравнение
$\log_2(x^2-3) - \log_2(6x-10) + 1 = 0.$
Выпуклый четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности с центром в точке $O$ , при этом $|AO| = |OC| = 1, |BO| = |OD| = 2$ . Найдите периметр четырехугольника $ABCD$ .
Решите уравнение
$\sqrt{5 \sin x + \cos 2x} + 2 \cos x = 0.$
Найдите все значения $x$ , для которых выражение
$\sqrt{3x^4-2-x^8} \cdot \sin(\pi(2x+16x^2))$
имеет смысл и не обращается в нуль.
Дана трехугольная парамida $ABCD$ с вершиной $D$ , грани которого $ABD$ и $ACD$ — прямоугольные треугольники, ребро $AD$ перpendикулярно медианное основа $AK$ и $|AD| = |AK|$ . Сечением парамиды плоскостью, не проходящей через середины ребер $AD$ и $BC$ , является равновесная трапеция $EFGH$ с основаниями $EF$ и $GH$ , причем точка $E$ делит ребро $BD$ пополам, а точка $G$ лежит на ребре $AC$ и $|AG| = 3|GC|$ . Найдите отношение плоскости трапеции $EFGH$ к плоскади грани $BCD$ .

Вариант 2
(механико-математический факультет)

Решите уравнение
$\log_x(2x^2-3x-4) = 2.$
В трапеции $ABCD$ , вписанной в окружность радиуса $r = 2$ , диагональ $AC$ является биссертской угла $BAD$ , а длина основа $AD$ в два раза больше длины основа $BC$ . Найдите плоскад этой трапеции.
Решите уравнение
$\sqrt{2 \sin x \cdot \sin 2x} = \sqrt{5 \cos x + 4 \sin 2x}.$
Найдите все значения $x$ , для которых выражение

$\sqrt{4x^4-3-x^8} \cdot (1-\cos(2\pi(2x+21x^2)))$

имеет смысл и не обращается в нуль.
5. В четырехугольной парамиде $ABCDE$ основание $ABCD$ — параллелограмм, а грани $ADE$ и $BCE$ — прямоугольные треугольники. Ребро $BC$ перpendикулярно медианное $EP$ грани $CDE$ и $|BC| = |EP|$ . Сечением парамиды плоскостью является равновесная трапеция $GKHL$ , вершины которого $G, K, H, L$ лежат, соответствно, на ребрах $AE, BE, CE, DE$ , причем $|GE| = 3|GA|$ и $|CH| = |EH|$ . Найдите отношение плоскади трапеции $GKHL$ к площади грани $ABE$ .

Вариант 3
(факультет вычислительной математики и кибернетики)

Какое из чисел больше: $\sqrt{8}$ или $2^{2\log_2 5 + \log_2 \frac{9}{2}}$ ?
Найдите все $x$ , для которых функция $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ принимает наиболее значение на $R$ .
Решите неравенство
$\frac{\sqrt{2-x} + 4x-3}{x} \geq 2.$
На заводе было несколько одинаковых прессов, штампуших детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более произвольные, но также одинаковые, а их количество увеличилось на три. Завод стал выпускать в день 11 200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
При всех $a$ решите уравнение
$|x+3| - a|x-1| = 4$
и определите, при каких $a$ оно имеетровно два решения.
Около трехугольника $ABC$ описана окружность с центром в точке $O$ . Касательная к окружности в точке $C$ пересекается с прямой, делящей пополам угол $B$ треугольника, в точке $K$ , причем угол $BKC$ равен половине разности угроенного угла $A$ и угла $C$ треугольника. Сумма длион стороны $AC$ и $AB$ равна $2+\sqrt{3}$ , а сумма расстояний от точки $O$ до стороны $AC$ и $AB$ равна 2. Найдите радиус окружности.

Вариант 4
(физический факультет)

Решите уравнение
$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0.$
Для каких значений $a$ решение уравнения
$10x-15a=13-5ax+2a$
больше 2?
Известно, что $\log_b a = \sqrt{3}$ . Вычислите
$\log \left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)\left(\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right).$
Решите неравенство
$5^x-3^{x+1} > 2(5^{x-1}-3^{x-2}).$

На боковом ребре SA правильно треугольной парамиды SABC с вершиной S взята точка D, через которой проведено сечение парамиды, пересекающей апофемы граней SAC и SAB в точках M и N. Известно, что прямые DM и DN образуют с плоскостью основания парамиды углы величиной β, а величины углов DMS и DNS равны $\alpha\left(\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$ . Найдите величины угла MDN.
Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружности треугольника, перпендикулярна одной из его bicсектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найдите углы треугольника.

Вариант 5
(химический факультет)

Решите уравнение
$\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{3}.$
Решите неравенство
$\log_2 \frac{x}{x-1} \leq -1.$
Решите неравенство $f(g(x)) < g(f(x))$ , где $f(x) = 2^x - 1$ , $g(x) = 2x + 1$ .
Конус лежит на горизонтальной плоскости П, касаясь ее боковой поверхности. Площадь основания конуса $S_1$ , площадь боковой поверхности $S_2$ . На какой высоте (над П) находится на высшей точке конуса?
При каких значениях параметра p уравнение
$(x-p)^2[p(x-p)^2-p-1] = -1$ имеет больше положительных корней, чем отрицательных?

Вариант 6
(биологический факультет)

Решите неравенство
$\log_1\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right) \leq 0.$
Решите уравнение
$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1.$
В правильно четырехугольную парамиду SABCD вписан кубе. Вершины одной из граней куба лежат на основании ABCD парамиды. Вершины противоположной грани куба лежат на боковых ребрах парамиды. Известно, что $|SA| = |AB| = a$ , то естьлина бокового ребра парамиды равна a и равна длине стороны ее основания. Чему равен объем куба?
Найдите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3+1}{x}$ , которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади $\frac{1}{2}$ .
Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC так, что $|BP|:|PQ|:|QC| = 1:2:3$ . Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что $|AR|:|RC| = 1:2$ . Чему равен отношение площади четырехугольника PQST к площади треугольника ABC, где S и T — точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

Вариант 7
(факультет почведения)

Из пункта A в пункт B отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из B в A вышел товарный поезд, который встретился со скорым через $\frac{2}{3}$ часа после отправления. Расстояние между пунктами A и B равно 80 км, позеда двигались с постоянными скоростями. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он прошел за время на $\frac{3}{8}$ часа больше, чем время, за которое товарный поезд 5 км?
Решите уравнение
$\sqrt{2-3 \cos 2x} = \sqrt{\sin x}.$
Найдите наиболее значение функции $f(x) = |x^3+6x^2+9x+1|$ на отрезке $[-3; 1]$ .
В равноведенный треугольник ABC (где $|AB| = |BC|$ ) вписана окружность радиуса 3. Прямая p касается этой окружности и параллельна прямой AC, но не совпадает с ней. Расстояние от точки B до прямой p равно 3. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается сторон AB и BC.
Длина высоты SO правильно треугольной парамиды SABC равна 1, а длины сторона основания ABC равны $2\sqrt{6}$ . Точки M и N — середины отрезков AC и AB. Вычислите радиус сферы, вписанной в парамиду SAMN (то есть касающейся всех боковых граней и основания).

Вариант 8
(географический факультет)

Решите уравнение
$\sqrt{2x^2+8x+7} -x = 2.$
При каких значениях x произвольная функция y = 3-2 sin $\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)$ равна $2\sqrt{2}$ ?
В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы CE равна 5 см, расстояние от точки пересечения BD с CE до стороны AC равно 1 см. Найдите $|AB|$ .
Найдите все пары (x; y) действительных чисел, удовлетворяющие системе неравенств
$\begin{cases} \log_2-x(2-y) > 0 \\ \log_4-y(2-x) > 0. \end{cases}$
В прямойном параллелипеде ABCDA’B’C’D’ длина ребра AB равна 4 см, длина ребра AD равна 6 см, длина ребра AA’ равна 8 см. Точка K, лежащая на ребре AA’, удалена от вершины A на 4 см. Расстояние от точки L ребра DD’ до вершины D равно 2 см. Точка M лежит на отрезке B’C’, длина MC вдвое больше длины B’M. Найдите площадь сегмента параллелипеда плоскостью, проходящей через точки K, L, M.

Вариант 9
(отделение геофизики геологического факультета и специалистности «экономическая книга» и «планирование народного хозяйства» экономического факультета)

Определите, что больше $\sqrt{1-2 \sin \frac{3\pi}{2}}$ или $\sqrt{5 \text{ctg} \frac{\pi}{4}}$ .

Найдите все решения неравенства
$\frac{2x+5}{|x+1|} \geq 1.$
Найдите все решения уравнения
$9 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2}.$
Найдите все решения уравнения
$\frac{\sin 4x}{\cos 6x} = 1.$
Построите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
$y = 4 - \left| y - \frac{6}{x} \right| - 2 \left| \frac{3}{x} - 1 \right|$
и среди точек этого множества найдите все также, где координата $y$ принимает наиболее значение.
Длина меньше основания равновобочной трапеции равна сумме длины ее боковых сторон. Найдите наименьшее возможное целое $k$ такое, что площадь полной поверхности фигуры, полученной вращением трапеции вокруг менящего основания, в $k$ раз больше площади трапеции.

Вариант 10
(отделение геологически геологического факультета и специальность «политическая экономия» экономического факультета)

Определите, что больше
$\sqrt{\text{ctg} \frac{\pi}{4} - 2 \sin \frac{3\pi}{2}} \leq \sqrt[3]{5}.$
Найдите все решения уравнения
$\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}.$
Найдите все решения неравенства
$\log_3[(x+2)(x+4)] + \log_{\frac{1}{3}}(x+2) < \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}}7.$
Найдите все решения уравнения
$\sin \left(\frac{4}{3} \pi \cdot \sin x\right) = \frac{1}{2}.$
В треугольник вписана окружность, которая касается сторона $AB$ , $BC$ , $AC$ треугольника $ABC$ , соответственно, в точках $M$ , $D$ , $N$ . Определите длину отрезка $MD$ , если известно, что длина отрезка $NA$ равна 2, длина отрезка $NC$ равна 3, а угол $BCA$ равен $\frac{\pi}{3}$ .
Найдите все решения системы уравнений
$\begin{cases} 8 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos (x-y) + 1 = 0 \\ x+y=z \end{cases}.$
Вариант 11
(факультет психологии)
Решите неравенство
$\frac{2x-3}{4-x} > \frac{1}{x}.$
Найдите координаты точки пересечения касательных к графику функции $y=\cos xx$ в точках с абсциссами $x=\frac{1}{6}$ и $x=\frac{7}{6}$ .
Решите уравнение
$2 \sin x - \sqrt[4]{3} = (\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}) \sqrt{\sin x}.$
В ромбе $ABCD$ , где $B \cdot A = 60^\circ$ , перпендикуляр к стороне $AD$ , восстанавливающий из середины $AD$ , пересекает диагональ $AC$ в точке $M$ , а перпендикуляр к стороне $CD$ , восстанавливающий из середины $CD$ , пересекает диагональ $AC$ в точке $N$ . Найдите отношение площадей треугольника $MND$ и ромба $ABCD$ .
Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел пешекод, и одновременно из пункта $B$ в пункт $A$ выхал моториклист. Встретив в пути пешекода, моториклист сразу же развернулся, довез пешекода до пункта $B$ , а затем точас же снова поехал в пункт $A$ , куда беспрерывственное добрался. В результате моториклист затратил на дорогу до пункта $A$ в два с половиной раза больше времени, чем если бы он ехал из пункта $B$ в пункт $A$ не подвозя пешекода. Во сколько раз медленнее пешекод добрался бы до пункта $B$ , если бы весь путь от $A$ до $B$ он прошел пешком?
Решите уравнение
$\log_2 \sqrt[2+{\sqrt{3}}]{x^2-2x-2} = \log_2+{\sqrt{3}}(x^2-2x-3).$
Вариант 12
(отделение структурной и прикладной лингвистики филологического факультета)
Решите уравнение
$2 + \cos 2x = -5 \sin x.$
Найдите все числа $x$ , удовлетворяющие одновременному условию:
$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x+6} \leq \log_{\frac{1}{3}}(x+4) \text{ и } x + \frac{1}{2} - \text{целое число}.$
Проводятся две касательные к графику функции $y=6x+x^2$ . Первая касательная проводится в точке с абсцисской $x_0=-2$ , вторая — в точке минимума данной функции. Найдите плоскость треугольника, образованного осью ordinатс с этим двумя касательными.
В параллелограмме $ABCD$ длины сторон $AB$ равна 1 и равна длине диагонали $BD$ . Длины диагоналей относятся, как $1:\sqrt{3}$ . Найдите плоскость той части круга, описанного около треугольника $BDC$ , которая не принадлежит кругу, описанной около $\Delta ADC$ .
При каких значениях параметра $y$ количество пар целых чисел $(z; x)$ , удовлетворяющих неравенству $\gamma^3|x| \leq \sqrt{2}(\gamma^2-z^2)$ , минимально?


Физика
Задачи устного экзамена
Физический факультет
1. Длинный неевесомый жесткий стержень может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг точки  $O$  (рис. 1). На стержне на расстоянии  $l_1$  и  $l_2$  от точки  $O$  закрыленные небольшие по размерам grузы массой  $m_1$  и  $m_2$  соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол  $α$  и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке  $A$ , находящейся между grузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия?
2. Две пружины вставлены в закрепленную горизонтальную трубку и разделены подвижным поршнем (рис. 2). Первая пружина имеет жесткость  $k_1$  и упирается вторым коном

58

погруженной в воду оказывается половина шарика. Определите, в каком отношении делится длина палочки точкой опоры. Плотность алюминия  $\rho_a = 2,7 \cdot 10^3$  кг/м $^3$ , плотность воды  $\rho_b = 10^3$  кг/м $^3$ .

2. Вертикальный цилиндр с тяжелым поршнем наполнен азотом, масса которого  $M = 0,1$  кг. После увеличения температуры азота на  $\Delta T = 100$  К поршень поднялся на высоту  $h = 0,1$  м. Над поршнем все время сохраняется нормальное атмосферное давление  $p_0$ . Площадь поршня  $S = 0,02$  м $^2$ . Определите массу поршня. Молярная масса азота  $\mu = 28$  кг/кмоль. Газовая постоянная  $R = 8,3 \cdot 10^3$  Дж/(кмоль·К);  $p_0 = 10^5$  Па.

3. Электрон влетает в области пространства с однородным электростатическим полем с направлением  $E = 6 \cdot 10^4$  В/м перpendикулярно линяем направленности. Определите величины и направление индукции магнитного поля, которое надо создать в этой области для того, чтобы электрон пролетел ее, не испытывая отклонения. Энергия электрона  $W = 1,6 \times 10^{-16}$  Дж, масса электрона  $m = 9 \cdot 10^{-31}$  кг.

4. В блоке оптического стекла с показателем преломления  $n = \sqrt{3}$  сделана наполненая воздухом полость в виде равносторонней призмы ABC (рис. 10). Точный источник света  $S$  находится в стекле и симметричен вершине  $B$  относительно плоскости AC. Угол расхождения лучей, падающих на признам,  $\alpha = 60^\circ$ . Чему равен угол β расхождения лучей, прошедших через признам?

Химический факультет и факультет почвоведения

1. Катушка с нитками лежит на наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом (рис. 11). Свободный конец нитки закреплен у верхнего конца наклонной плоскости так, что нить паралельна наклонной плоскости. Радиус катушки  $R$ , радиус намотки ниток  $r$ . При каком минимальном коэффициенте трения  $\mu_{\min}$  катушки о плоскосте будет в равновесии?

2. В закрытом сосуде относительная влажность воздуха была  $r = 30\%$ . Затем в сосуде ввели каплю воды массы  $m = 0,1$  г, которая полностью испарилась, после чего водной пар стал насыщенным. Определите объем сосуда. Плотность насыщенного пара при данной температуре  $\rho_h = 17,3 \cdot 10^{-3}$  кг/м $^3$ .

3. При одинаковых конденсатора, соединенных как показано на рисунке 12, подключены к точкам  $A$ ,  $B$  и  $C$ , потенциальы которых, соответственно,  $\varphi_A = 100$  В,  $\varphi_B = 60$  В и  $\varphi_C = 50$  В. Определите потенциаль точки  $D$ .

4. На концах отрезка трубы диаметром  $D = 3$  см и длиной  $l = 12$  см вставлены две coinciding lines одинакового с тройой диаметра. С одной стороны на трубу падает широкий пучок паралельных лучей, а с другой стороны свет выходит также паралельным пучком диаметром  $d = 1$  см. Определите фокусные расстояния линии.

Географический и геологический факультеты

1. Пуля, летящая горизонтальное со скоростью  $v_0 = 510$  м/с, попадает в ящик, лежащий на горизонтальной поверхности на расстоянии  $d = 0,5$  м от стены дома, и, пробив ящик, вылетает в том же направлении со скоростью  $v = 10$  м/с. Ящик начинает двигаться по направлению к стене. Ударится ли ящик о стену дома? Козефиент трения между ящиком и поверхностью  $\mu = 0,1$ , масса ящика  $M = 10$  кг, масса пуля  $m = 10$  г, ускорение свободного падения  $g = 10$  м/с $^2$ .

2. Пузырек воздуха поднимается со знаний цилиндрического сосуда, наполненного жидкостью, на поверхности лилия, на поверхности лилия. При этом объем пузырека увеличивается в 1,5 раза. Определите плотность жидкости. Атмосферное давление у поверхности жидкости  $p_0 = 10^5$  Pa. Высота жидкости в сосуде  $h = 5,1$  м. Термературу считать постоянной, ускорение свободного падения  $g = 10$  м/с $^2$ .

3. Лампочка накаливания мощностью  $P = 180$  Вт используется для обогрева акварияма, содержащого  $V = 10^{-3}$  м $^3$  воды. За τ=2 мин вода нагревается на ΔT=3 K. Какая часть расходемой лампочной энергии теряется в виде лучистой энергии? Удельная тепломкость воды  $c = 4,19 \cdot 10^3$  Дж/(кг·К).

4. В день весеннего равновесия солнечный луч, проходя через маленькую глубину, находится на момент в момент восхода и захода Солнца, равно  $l = 2$  м. Толщиной льда пребывания.

Публикация подготовили
С. А. Ашманов, А. Н. Боолюбов,
О. П. Виноградов, И. Н. Мельников,
А. Н. Соколихин, Е. В. Талааева,
Л. А. Черникова

59

Обратные тригонометрические функции

2. а)  $\frac{\pi}{4}$ . Указание  $\alpha + \beta + \gamma + \delta = (\alpha + \beta) + (\gamma + \delta)$ . 6)  $2\pi - 4$ . в)  $\frac{9}{14}\pi$ .

3. а) См. рис. 1. Указание e. агссos (cos x) — четверная функция. 6) См. рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 2.

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Matematika
Вариант 1

1. {2}. Указание. Данное уравнение равно сисете

 $\begin{cases} \log_2 \frac{2(x^2 - 3)}{6x - 10} = 0 \\ 6x - 10 > 0. \end{cases}$ 

2.  $4\sqrt{5}$ . Указание e. Если  $K, L, M, N$  — точки касания, соответствующего, стороны  $DA, AB, BC, CD$  с окружностью, то треугольники  $AOK, AOL, COM$  и  $CON$  конструктивны; аналогично, конгрузить треугольники  $DOK, DON, BOL$  и  $BOM$ . Выведите отсюда, что  $AOD = AOB = COD = COB$ .

3.  $x = \frac{5}{6}\pi + 2\pi k$  ( $k \in \mathbb{Z}$ ). Указание. Данное уравнение равно сисете

 $\begin{cases} 5\sin x + \cos 2x = 4\cos^2 x \\ \cos x \leq 0. \end{cases}$ 

4. Все точки интеграла  $] -\sqrt{2}; -1$  [за исключением точки  $\frac{-1-\sqrt{1+16k}}{16}$  ( $15 \leq k \leq 20$ ) и все точки интеграла  $] 1; \sqrt{2}$  [за исключением точки  $\frac{-1+\sqrt{1+16k}}{16}$  ( $19 \leq k \leq 25$ ). Указание. Неравенство

 $-\sqrt{2} < \frac{-1-\sqrt{1+16k}}{16} < -1$ 

равnocильно неравенству

 $14 < k < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2}$ 

Грубая оценка ( $1 < \sqrt[4]{2} < \sqrt{2}$ ;  $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ ) показывает, что

 $19,6 < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2} < 22$ 

Двухкратным возведением в квадрат проверяется, что на самом деле

 $20 < 16\sqrt{2} - 2\sqrt{2} < 21$ 

Аналогично, неравенство

 $1 < \frac{-1+\sqrt{1+16k}}{16} < \sqrt[4]{2}$ 

равnocильно неравенству

 $18 < k < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$ 

Грубая оценка ( $1,1 < \sqrt[4]{2} < \sqrt{2} < 1,5$ ) показывает, что

 $19,8 < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2} < 27$ 

Двухкратным возведением в квадрат проверяется, что на самом деле

 $25 < 16\sqrt{2} + 2\sqrt{2} < 26$ 

5.  $\frac{5\sqrt{10}}{32}$ . Решение. 1) Докажем, что  $(AD) \perp (ABC)$ . Допустим противное. Тогда, вывиду  $DAK = \frac{\pi}{2}$ ,  $DAB \neq \frac{\pi}{2}$  и  $DAC \neq \frac{\pi}{2}$ . Но по условию треугольники  $ABD$  и  $ACD$  — прямогольные. Значит, во-первых,  $ADB = \frac{\pi}{2}$  или  $ABD = \frac{\pi}{2}$  и во-вторых,  $ADC = \frac{\pi}{2}$  или  $ACD = \frac{\pi}{2}$ . Если  $ADB = \frac{\pi}{2}$  и  $ADC = \frac{\pi}{2}$ , то  $(AD) \perp (BCD)$ ; значит,  $ADK = \frac{\pi}{2}$  и в треугольнике  $ADK$  получился два прямых угла. Если  $ABD = \frac{\pi}{2}$  и  $ACD = \frac{\pi}{2}$ , то  $(AD) > |AB|$  и  $(AD) > |AC|$ ; значит,  $(AD) > |AK| = |AD|$ . Если  $ADB = \frac{\pi}{2}$  и  $ADC = \frac{\pi}{2}$ , то, вывиду  $(KE) \parallel (CD)$ ,  $(AD) \perp (KE)$ ; так как  $(AD) \perp (AK)$ ,  $(AD) \perp (AKE)$ ; значит,  $DAE = \frac{\pi}{2}$ , но  $AED > > ABD = \frac{\pi}{2}$  и в прямогольном треугольнике  $DAE$  получился типой угол. Случай  $ADB = = ACD = \frac{\pi}{2}$  приводится к противению. 2) Докажем, что  $F \in [CD]$ ,  $H \in [AB]$ . Точка  $F$  лежит на одном из ребер  $CD$ ,  $AB$ ,  $AD$ ,  $BC$ . Если  $F \in [AB]$ , то, вывиду того, что никакие три из четырех точек  $E$ ,  $F$ ,  $G$ ,  $H$  не могут принадлежать одной границе (начие плоскость сечения совпала бы с плоскостью этой грани),  $H \in [CD]$ ; так как, по условию,  $(EF) \parallel (HG)$ , по теореме о линни пересечения плоскостей, проведенных через параллельные прямые (теорема 4 из «Геометрии 9—10»),  $(HG) \parallel (AD)$ ; из  $(AD) \perp (ABC)$  следует  $(HG) \perp (ABC)$ ; значит,  $(HG) \perp (GF)$ ; поскольку трапеция  $EFGH$  — равноведняная,  $EHG = = HGF = \frac{\pi}{2}$ , но тогда  $EFGH$  — прямогольный

60

Рис. 3.

Рис. 4.

ник, что противоречит определению трапеции. Если  $F \in [AD]$ , то  $H \in [BC]$ ; так как  $(EF) \parallel (HG)$ ,  $(EF) \parallel (AB)$ ; значит,  $|AF| = |FD|$ , что противоречит условия. Случай  $F \in [BC]$  приводится к противоречию аналогично. 3) Итак,  $F \in [CD]$ ,  $H \in [AB]$  (рис. 3). Значит,  $(EF) \parallel (BC)$  и  $(GH) \parallel (BC)$ . Поэтому  $|DF| = |FC|$  и  $|AH| = 3|HB|$ . Из  $\triangle ACD$   $|FG| = \sqrt{|CG|^2 + |AD|^2}$  (рис. 4). Аналогично, из  $\triangle ADB$   $|EH| = \sqrt{|HB|^2 + |AD|^2}$ . Поскольку, по условиям,  $|FG| = |EH|$ , получаем  $|CG| = |HB|$ . Значит,  $|AC| = |AB|$ , откуда  $|DC| = |DB|$ . 4) Поскольку треугольники  $CAB$  и  $CDB$  — равноведенные, их медианы  $AK$ ,  $DK$  являются высотами. Значит,  $(BC) \perp (AKD)$ . Поэтому  $(FE) \perp (AKD)$  и  $(GH) \perp (AKD)$ . Следовательно,  $(FE) \perp (MN)$  (см. рис. 3) и  $(GH) \perp (MN)$ . Таким образом,  $[MN]$  — высота трапеции EFGH. 5) Положим  $|AD| = |AK| = h$ . Из  $\triangle AKD$ , выду  $|AN| = 3|NK|$ , легко найти  $|MN| = \frac{h\sqrt{5}}{4}$ . Поскольку  $|GH| = \frac{3}{4}|BC|$  и  $|FE| = \frac{1}{2}|BC|$ , площадь трапеции  $S_1 = \frac{5\sqrt{5}}{32}h|BC|$ . Из  $|DK| = h\sqrt{2}$  площадь  $S_2 = S_{\triangle BCD} = \frac{\sqrt{2}}{2}h|BC|$ . Отсюда  $\frac{S_1}{S_2} = \frac{5\sqrt{10}}{32}$ .

Вариант 2
1. {4}.
2.  $3\sqrt{3}$ .
3.  $x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi k, x_2 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi l$  ( $k, l \in \mathbb{Z}$ ).
4. Все точки интеграла  $] -\sqrt{3}; -1$  [за исключением точек  $\frac{-1-\sqrt{1+21k}}{21}$  ( $20 \leq k \leq 33$ ) и все точки интеграла  $] 1; \sqrt{3}$  [за исключением точек  $\frac{-1+\sqrt{1+21k}}{21}$  ( $24 \leq k \leq 39$ ).

5.  $\frac{5\sqrt{5}}{16}$ . Указание. Докажите, что  $ABCD$  — прямогольник, углы  $ECB$  и  $EDA$  — прямые и  $(GK) \parallel (LH)$ .

Вариант 3
1.  $\sqrt{8}$ .
2.  $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$  ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
3.  $] -\infty; 0$  [  $\cup$  [1; 2].
4. 5. Указание. Задча равносливна следующей: найти такое  $n \in \mathbb{N}$ , что  $\frac{6480}{n} \in \mathbb{N}$ ,  $\frac{11200}{n+3} \in \mathbb{N}$  и  $\frac{6480}{n} < \frac{11200}{n+3}$ . Числа  $n$  и  $n+3$  одновременно делятся (или не делятся) на 3.
5. {1} при  $|a| > 1$ , [1; +∞ [ при  $a = 1$ , [-3; 1] при  $a = -1$ ,  $\{1, \frac{a+7}{a-1}\}$  при  $|a| < 1$ . Указание. Расмотрите три случая:  $x < -3$ ,  $-3 \leq x < 1$  и  $x \geq 1$ . Можно также нарисовать график функции  $y = |x+3| - 4$  и рассмотреть семейство кривых  $y = a|x-1|$ , изменяя  $a$  от 1 до +∞ и до -∞.
6.  $\frac{1}{2} \sqrt{34-15\sqrt{3}}$ . Решение. Пусть  $BAC = \alpha$ ,  $ABC = \beta$ ,  $BCA = \gamma$ ,  $BKC = \delta$ ,  $[OM] \perp [AC]$  ( $M \in [AC]$ ),  $OAM = \varphi$ ,  $[ON] \perp [AB]$  ( $N \in [AB]$ ). 1) Доказем, что  $[BK]$  не пересекается с  $[AC]$ . Предполагает противное, получаем  $ACK = \beta$  (задча 1179 из «Геометрии 6-8»). Из  $\triangle BKC \delta + (\beta + \gamma) + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$ . Отсюда и из равенств  $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ,  $\delta = \frac{1}{2} (3\alpha - \gamma)$  получаем  $\gamma = 90^\circ$ . Значит,  $O \in [AB]$ . Тогда по условиям  $|OM| = 2$ . Отсюда  $|BC| = 4$ . Следовательно,  $|AB| + |AC| = 2 + \sqrt{3} < 4 = |BC|$  — противоречие с неравенством треугольника. 2)  $BCK = \alpha$  (та же задача 1179),  $CBK = 180^\circ - \frac{\beta}{2}$ . Из  $\triangle BKC \alpha + \left(180^\circ - \frac{\beta}{2}\right) + \delta = 180^\circ$ . Отсюда и из тех же двух равенств  $\alpha = 30^\circ$ . Из  $\alpha + \left(180^\circ - \frac{\beta}{2}\right) + \delta = 180^\circ$  следует  $\frac{\beta}{2} > \alpha$ . Значит,  $\beta > 60^\circ$  и  $\gamma < 90^\circ$ . 3) Доказем, что  $\beta > 90^\circ$ . Предполагает противное, получаем, что  $O$  лежит внутри  $\triangle ABC$  (при  $\beta < 90^\circ$ ; выду  $\alpha = 30^\circ$  и  $\gamma < 90^\circ$ ,  $\triangle ABC$  — остругольный) или на  $[AC]$  (при  $\beta = 90^\circ$ ). Тогда  $OAN = 30^\circ - \varphi$ . Из условия
 $\begin{cases} 2R \cdot \cos \varphi + 2R \cdot \cos (30^\circ - \varphi) = 2 + \sqrt{3} \\ R \cdot \sin \varphi + R \cdot \sin (30^\circ - \varphi) = 2 \end{cases}$ 

Отсюда  $tg 15^\circ = \frac{4}{2 + \sqrt{3}} > 1$  — противоречие.
4) Следовательно,  $O$  лежит в  $\triangle ABC$ , причем  $O$  и  $B$  лежат по разные стороны от  $(AC)$ . В этом случае  $OAN = 30^\circ + \varphi$ . Из условия
 $\begin{cases} 2R \cdot \cos \varphi + 2R \cdot \cos (30^\circ + \varphi) = 2 + \sqrt{3} \\ R \cdot \sin \varphi + R \cdot \sin (30^\circ + \varphi) = 2 \end{cases}$ 

Отсюда  $R^2 \cdot \cos^2 15^\circ = \left(\frac{2 + \sqrt{3}}{4}\right)^2 + 1$ . Вычис-

61

лив  $\cos^2 15^\circ = \frac{1 + \cos 30^\circ}{2}$ , находим  $R$ .

Вариант 4
1.  $x = \pm 4 \arccos \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8\pi k \quad (k \in \mathbb{Z})$ .
2.  $] -\infty; -2[\cup] 1; +\infty[$ .
3.  $\frac{2\sqrt{3}-3}{3\sqrt{3}-6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
4.  $] 3; +\infty[$ .
5.  $2 \arcsin \left[\frac{1}{2} \left(\sin \alpha + \sqrt{3} \left(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta\right)\right)\right]$ .

Указание. Проведите через  $(BC)$  плоскость  $\pi$ , параллельную плоскости сечения. Пусть  $(SA) \cap \pi = D'$ . Тогда  $CD'B = MDN$ .

6.  $2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right), \quad \pi - \arccos h - \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right), \quad \arccos h + \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right) - 2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1-h^2}\right)$ .

Решение. Пусть  $ABC$  — данные треугольник,  $O$  — центр описанной окружности,  $R$  — ее радиус,  $S$  — центр вписанной окружности,  $(OS) \perp (AS), E$  — точка пересечения  $(AS)$  с описанной окружностью,  $D = (OE) \cap (BC)$ . Опустим из  $S$  перpendикularя на  $(OE), (BC)$  и  $(AB)$ ; основания этих perpendикularров обозначим, соответственно, через  $F, K$  и  $L$ . Положим  $|OS| = l$ .  $EOS = AOS$ , так как  $|OS|$  — высота в равноведренном треугольнике  $AOE$ .

Позному  $\triangle FOS \sim \triangle SOA$ . Отсюда  $\frac{|OF|}{|OS|} = \frac{|OS|}{|OA|}, |OF| = \frac{l^2}{R}$ . 2) Так как  $(AE)$  — биссертиса угла  $BAC$ ,  $E$  — середина дуги  $BEC$ . Значит,  $(OE) \perp (BC). \widehat{COE} = \widehat{BAC}$ , плоскoby  $\angle COE$  изменяется другой  $CE$ , а  $\angle BAC$  изменяется поливной дуги  $BEC$ . Следовательно,  $|OD| = |OC| \cdot \cos \widehat{COE} = R \cdot \cos \widehat{BAC}$ . 3) Из  $\triangle OAS |AS| = \sqrt{R^2 - l^2}$ . Позному  $|FD| = |SK| = |SL| = |AS| \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2} = \sqrt{R^2 - l^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$ .

4) Из  $|OD| = |OF| + |FD|$  получаем уравнение  $R \cdot \cos \widehat{BAC} = \frac{l^2}{R} + \sqrt{R^2 - l^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$  или  $\left(\frac{l}{R} = h\right)$ 
 $\cos \widehat{BAC} = h^2 + \sqrt{1 - h^2} \cdot \sin \frac{\widehat{BAC}}{2}$ .

Решив его, находим  $\sin \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 - h^2}, \widehat{BAC} = 2 \arcsin \left(\frac{1}{2} \sqrt{1 - h^2}\right)$ . 5) Из  $\triangle AOS$  cos  $\widehat{AOS} = \frac{l}{R} = h, \widehat{AOS} = \arccos h$ . Если точка  $O$  лежит вне  $\triangle ABC$ , то  $\widehat{AOC} = \widehat{AOS} + \widehat{SOE} + \widehat{EOC} = 2\widehat{AOS} + \widehat{BAC}$  и  $\widehat{AOC} = 2\pi - 2\widehat{ABC}$ , откуда  $\widehat{ABC} = \pi - \widehat{AOS} - \frac{1}{2} \widehat{BAC}$ . Если точка  $O$  лежит внутри  $\triangle ABC$ , то  $\widehat{AOC} = 2\pi - 2\widehat{ABC}$ .

Рис. 5.
прямую, параллельную  $(BC)$  (рис. 5). Из подобия треугольников  $NAR$  и  $QSB$ 
 $\frac{|NR|}{|QC|} = \frac{|AR|}{|AC|} = \frac{1}{3}$ .
Следовательно,
 $\frac{S_{SBQ}}{S_{RBC}} = \frac{|SB| \cdot |BQ|}{|RB| \cdot |BC|} = \frac{3}{8}$ .
Аналогично, из подобия  $\triangle ALR \sim \triangle APC, \triangle LRT \sim \triangle PTB$  получаем
 $\frac{S_{TBP}}{S_{RBC}} = \frac{1}{16}$ .
Значит,  $S_{PQST} = S_{SBQ} - S_{TBP} = \frac{3}{8} S_{RBC} - \frac{1}{16} S_{RBC} = \frac{5}{16} S_{RBC} = \frac{5}{16} S_{ABC}$ .

63

Рис. 7.

откуда  $x = 1 \pm \sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$ .
Вариант 12
1.  $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$  ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
2.  $\left\{-3 \frac{1}{2}, -2 \frac{1}{2}\right\}$ .
3.  $\frac{25}{4}$ .
4.  $\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{18}$ . Указание. Докажите, что  $|AC| = \sqrt{3}$  и  $ABCD$  — ромб.
5.  $]\frac{\sqrt{2}}{2}; 1 [\cup]\sqrt{2}; 2[$ . Решение. При  $\gamma \leq 0$  решением данного неравенства является любая пара  $z = 0$ ,  $x = n \in \mathbb{Z}$  — целочисленных решений бесконечного много. Пусть далее  $\gamma > 0$ . Данное неравенство равносильно неравенству
 $|x| \leq -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$ 
или
 $\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 - \frac{\sqrt{2}}{\gamma} \leq x \leq -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$ 
Таким образом, нам надо оценить число точек с целочисленными координатами между парами  $x = -\frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 + \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$  и  $x = \frac{\sqrt{2}}{\gamma^3} z^2 - \frac{\sqrt{2}}{\gamma}$ .

 $-\frac{\sqrt{2}}{\gamma}$ . Если  $0 < \gamma \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ , то  $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} \geq 2$  — на основе ordинант (оси  $x$ ) имеется не меньше 5 исключых точек (рис. 7, а). Если  $\frac{\sqrt{2}}{2} < \gamma < 1$ , то  $1 < \frac{\sqrt{2}}{\gamma} < 2$  — между параболами (а именно — на основе ordинант) имеетсяровно 3 исключые точек (рис. 7, б). Если  $1 \leq \gamma \leq \sqrt{2}$ , то  $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} \geq 1$  — между параболами имеетсяровно 5 исключых точек (рис. 7, в). Если  $\sqrt{2} < \gamma < 2$ , то  $\frac{\sqrt{2}}{\gamma} < 1$  — между параболами (а именно — на основе абсцисс) имеетсяровно 3 исключые точек (рис. 7, е). Наконец, при  $\gamma \geq 2$  на основе абсцисс имеетсяровно 5 исключых точек (рис. 7, д).

Физика
Физическая факультет
1.  $T = m_2 g \left( 1 + \frac{4 (m_1 l_1 + m_2 l_2) l_2 \sin^2 (\alpha/2)}{m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2} \right)$ .
2.  $A = \frac{k_2 (k_1 + k_2) l^2}{2k_1}$ .
3.  $h = \frac{k (L - l)^2}{2g (M + m)}$ .
4.  $p = \left( \frac{p_1 V_1}{T_1} + \frac{p_2 V_2}{T_2} \right) \frac{T}{V_1 + V_2}$ .
5.  $m_B = \left( 1 - \frac{r}{100\%} \right) \frac{p_H \mu V}{RT} = 0,46$  кг, где  $\mu = 18 \cdot 10^{-3}$  кг/моль — молярная масса воды.
6.  $U = U_0 \frac{d}{d - 2d_2 - d_1 + 2d_2/\epsilon}$ .
7.  $Q = \frac{C_1 C_2^2 \delta^2}{2 (C_1 + C_2)^2} \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 0,04$  Дж.
8.  $x = 2L \frac{R_{BC}}{R_{AB} + R_{BC}} = 5 \cdot 10^3$  м = 5 км.
9.  $l \approx \frac{h}{4\alpha (n - 1)}$ .
10.  $R = dn_2/(2n_1) = 4$  см.

Механико-mатематический факультет
и факультет вычислительной математики
и киберnetики
1.  $\frac{y}{x} = 1 + \frac{4\pi R^3 (2\varrho_a - \varrho_b)}{3M} \approx 1,5$ .
2.  $m = \frac{MR \Delta T}{\mu hg} - \frac{p_0 S}{g} \approx 2,8 \cdot 10^3$  кг.
3.  $B = E \sqrt{\frac{m}{2W}} \approx 3,2 \cdot 10^{-3}$  Тл; линни магнитной индукции перпендикулярны линяям направности электрического поля и скорости электрона.
4.  $\beta = 120^\circ$ .

64

Химический факультет и факультет почеведения

1.  $\mu_{\min} = \frac{r \, \text{tg} \, \alpha}{R + r}$ .

2.  $V = \frac{m}{\varrho_H (1 - r/100\%)} \approx 8,3 \cdot 10^{-3} \, \text{m}^3 \approx 8,3 \text{л}$ .

3.  $\varphi_D = (\varphi_A + \varphi_B + \varphi_C)/3 = 70 \text{В}$ .

4.  $F_1 = \frac{Dl}{D + d} = 9 \text{см}; \quad F_2 = \frac{dl}{D + d} = 3 \text{см}$ .

Географический и геологический факультеты

1. Яшик о стену не ударится, так как пројденый им путь
    $l = m^2 (v_0 - v)^2 / (2 \mu g M^2) = 0,125 \text{м}$ 
   менше расстояния  $d = 0,5 \text{м}$  до стены.

2.  $\varrho = \frac{0,5 p_0}{g h} \approx 10^3 \text{кг/m}^3$ .

3.  $\eta = 1 - \frac{\varrho V c \Delta T}{P \tau} \approx 0,4$  (здесь  $\varrho = 10^3 \text{кг/m}^3$  — плотность воды).

4.  $n = \sqrt{(2h/l)^2 + 1} = 1,33$ .

Шахматная страница
(см. «Квант» № 1)

Задание 1 (С. Лимбах). 1. Фе4! (но не 1. Фd1+? Лг1 2. Фd5+ e4!) 1... b1Ф
2. Ф:b1+ Лг1 3. Фb7+ e4 4. Ф:e4+ Лг2
5. Фb1+ Лг1 6. Фb7+ Лг2 7. Фе4! Чисто геометрический мотив — дважды пројдя по треугольнику e4—b1—b7—e4, ферзь вынуждает короля покинут свое убежище. 7... Kpg1
8. Фе1×.

Задание 2 (Г. Ринк, 1905 г.). 1. Kg4 Кph1
2. a7 g1Ф 3. a8Ф+ Фg2 4. Фh8+ Kpg1
5. Фd4+ Kph1 6. Фd1+ Фg1 7. Фd5+ Фg2
8. Фh5+ Kpg1 9. Фc5+ Kph1 10. Ф:c1+ Фg1
11. Фc6+ Фg2 12. Фh6+ Kpg1 13. Фc1+ Фf1
14. Фc5+ Kph1 15. Фh5+ Kpg2 16. Ke3+ и белые выигрывают.

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 3)

1. Боря живет в квартире 206.
2. Надо взять две нитки № 40 (а не № 10!) и сложить вместе.
3. Весь показут больший вес. Действительно, давление воздуха в шарике больше атмосферного, поэтому добавление порции воздуха в шарик увеличит объем шарика на величины меньше того объема, который эта порция воздуха занимала в атмосфере; следовательно, увеличение вытalkивающей силы меньше, чем увеличение силы тяжести.
4. На месте знака «?» следует поставить представление числа 16 в троичной системе числения, то есть 121. Действительно, в последовательности записаны представления числа 16 сначала в 16-prичной системе числения, потом в 15-prичной, 14-prичной и т. д. Заметим, что вместе заключителого знака «?» в формулировке задачи можно было бы поставить запись числа 16 в «одноричной» системе числения: 1111111111111111.

5. Не могут. Если бы отрезки AM и BK при пересечении делились бы пополам, то точки A, B, M и K были бы вершинами параллельграмма, то есть стороны AC и BC треугольника ABC были параллельны, что невозможно.

Главный редактор — академик И. К. Кикоин

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров

Заместители главного редактора: М. Н. Данильчева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев

Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. М. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенмахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Поголов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер оформили:
Л. В. Денисенко, М. Б. Дубах, А. К. Малкин, Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина.
Фото: Т. П. Волосок, А. С. Маклеев, А. Пушкаев (TACC), А. Сенцов (TACC), В. П. Шевченко

Главный художник Э. А. Смирнов
Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Художственный редактор Т. М. Макарова
Корректор О. М. Кривенко
103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1.
«Квант», тел. 250-33-54

Сдано в набор 16.2.83. Подписано в печать 16.3.83. Печать оформления Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. л. 4 Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 6,90 Т-06945 Цена 40 коп. Заказ 355 Тираж 172 343 экз.