Задачи М921—М925; Ф933—Ф937

38

Задачи

М921—М925; Ф933—Ф937

М921. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны величины двух углов $\angle A=\alpha$ и $\angle B=\beta$, а его удвоенная площадь равна $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Найдите отношение длины всех его сторон $AB:BC:CD:DA$, если
a) $\alpha=5\pi/12$, $\beta=7\pi/12$; 6) $\alpha=\pi/2$, $\beta=\pi/3$*;
b) Выясните, для каких $\alpha$ и $\beta$ существует такой четырехугольник, и выразите через $\alpha$ и $\beta$ отношение его стороны.

М922. Докажите, что уравнение
$$\sin^p x+\cos^q x=1,$$
где $p$ и $q$ — положительные числа, имеет решение на интервале $0<x<\pi/2$ тогда и только тогда, когда $(p-2)(q-2)<0$ или $p=q=2$.

А. М. Седлецкий

М923. Докажите, что плоскость численного равна длине его проекции на прямую, перpendикулярную этой плоскости.

М924. Каждые две из $n$ точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставлены стрелки. Треугольник ABC с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях AB, BC, CA или AC, CB, BA (например, на рисунке 1 всего три ориентированных треугольника из 10).
a) Объясните, как расставить стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.
b)* Каково наиболее возможное число ориентированных треугольников (для каждой $n$)? (Нарисуйте соответствующее примеру для $n=4$, 5 и 6.)
И. Цаленчук, ученик 10 кл.

М925. (Эвольюция клякс.) На белой плоскости расположена синяя фигура $K_0$. Из нее получается новая синяя фигура $K_1$ по следующему правилу, применяемому одновременно ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее половины площади круга радиуса 1 с центром в точке $M$ занято сниметом, то точка $M$ становится синей, а если менее половины — то белой**). На следующем шагу из

*) Близкие к а) и 6) задачи предлагались на вступительных экзаменах 1984 года на экономическом факультете МГУ.
**) Предполагается, что получаются на каждом шагу фигуры имеют площад; так будет, например, если фигура $K_0$ ограничена отрезками прямых и дугами окружностей.

39

полученной синей фигуры $K_1$ по тому же правиле получается фигура $K_2$, затем из нее — $K_3$ и т. д. Доказите, что a) для произвольной ограниченной фигуры $K_0$, начиная с некоторого шага, вся плоскость станет белой; б) если $K_0$ — круг радиуса 100, то это сличится не позже чем через миллион шагов.

А. Л. Тоом

Ф933. Два куска сахара можно поместить в стекан с чаем различными способами. Можно просто положить сахар на дно (рис. 2, a), а можно установить куски «врасор», если стекан имеет кончечную форму (рис. 2, б). В каком случае сахар расторится скорее, если чай не перемешивать?

Л. А. Ашкинази

Ф934. Теплоизолированный сосуд разделен на две части легким поршнем. В левой части сосуда находится $m_1=3$ г водорода при температуре $T_1=300$ К, в правой части — $m_2=16$ г кислорода при температуре $T_2=400$ К. Поршень слабо проводит телло, и температура в сосуде постепенно выравнивается. Какое количество тепла от классорд к тому моменту, когда поршень перестанет двигаться?

З. А. Рафанлов

Ф935. По длиному прямоту проводнику постоянного секения течет ток $I_0$. На участке $AB$ проводника (рис. 3) его удельное сопротивление уменьшается от $\rho_1$ в секении $A-A$ до $\rho_2$ в секении $B-B$. Какой по величины и знаку объемный заряд образуется на участке $AB$?

В. В. Можаев

Ф936. По длиному сверхпроводящему соленоду с индутивностью $L_0=0,1$ Гн, содержащему $N=200$ витков, течет ток $I_0=0,1$ А. Издали к соленоду подносят замкнутый проводящий виток того же радиуса, что и витки соленodia; индутивность витка $L_1=1\cdot 10^{-3}$ Гн. Витокставляют между витками соленodia сосно с ними. Как изменится ток, текущий по соленоду? Как изменится энергия системы?

Ф937. На вертикальной стене нарисован человек «ростом» $h=20$ см, голова человека находится на высоте $H=2$ м над полом. При помощи линзы с фокусным расстоянием $F=0,1$ м получают изображение человека на полу. Найти размер наиболее четкого изображения.

А. Р. Зильберман

Problems

M921—M925; P933—P937

M921. The angles $\widehat{A}=\alpha$ and $\widehat{B}=\beta$ of the convex quadrilateral $ABCD$ are known; its doubled area equals $AB\cdot CD+BC\cdot AD$. Find the ratios of its sides $AB:BC:CD:DA$ if

42

М902. Нагуральный ряд 1, 2, 3, … разбит на несколько арифметических прогрессий. Доказите, что хотя у одной из этих прогрессий первый член делится на ее разность.

$$\angle AKB, \text{ то есть } \frac{1}{2} \angle B + \angle C = \frac{1}{2} \angle A + \angle C \text{ или } \angle A = \angle B; \text{ либо } \angle AMB + \angle AKB = 180^\circ, \text{ то есть } \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle A + \angle B = \frac{3}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ \text{ или } \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 60^\circ.$$

В. Л. Гугенмахер

М903. Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с a) четным; b) нечетным числом сторон?

Овозначием через $a_1, a_2, \dots, a_n$ первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через $d_1, d_2, \dots, d_n$ — их разности. Произведение всех разностей входит в одну из прогрессий, то есть для некоторого $i, 1 \leq i \leq n$, и некоторого натурального $k$

$$d_1 d_2 \dots d_n = a_i + k d_i.$$

Из этого равенства следует, что $a_i$ делится на $d_i$.

А. В. Келарев

a) Ответ: существует. Покажем, что условию задачи удовлетворяет любой многогранник, из каждой вершины которого выходит четное число ребер, например, octahedр (см. рисунок).

Рассмотрим произвольное сечение такого многогранника, не проходящей через вершины. Очевидно, его можночитать пошевить так, чтобы оно стало непараллельным ни одному из ребер многогранника, а число его стороны осталось прежним. Будем теперь параллельно перемешать плоскость сечения. Тогда число его стороны будет изменяться только при перехождения вершины, причем каждый раз будет проходиться только одна вершина. Если в ней сходится четное число $n$ ребер и $k$ из них пересекали плоскость сечения до перехождения через эту вершину (а значит, $n - k$ — после перехода; см. рисунок), то число вершин сечения при этом перехождение на $n - 2k$ и следовательно, его четность сохранится. А поскольку в конце плоскости сечения не будет пересекать ни одно из ребер, число стороны должно оставаться четным все время, за исключением моментов прохождения вершин.

b) Ответ: не существует. Из решения задачи a) следует, что если у всех сечений многогранника, не проходящей через вершины, число стороны имеет одинаковую четность (в частности, нечетно), то из каждой вершины выходит четное число ребер. Но тогда, как было показано там же, число стороны у любого такого сечения должно быть чётно.

Н. В. Васильев, В. Н. Дубровский

M904. Для каждого натурального числа
$$A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + 10 a_1 + a_0$$
(с десятичной записью $a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0$) положим

a) Докажем, что если десятичная запись $A$ содержит не менее двух знаков и $A \neq 19$, то
$$D(A) < A.$$

Пусть $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0, a_n \geq 1$, тогда $A \geq 10^n$. В то же время

43

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + 2^2a_{n-2} + \dots + 2^{n-1}a_1 + 2^n a_0.$$
Например, $D(1985) = 1 + 2 \times 9 + 2^2 \cdot 8 + 2^3 \cdot 5 = 91$,
$D(91) = 9 + 2 \cdot 1 = 11$,
$D(11) = 3$.
а) Докажите, что для любого натурального $A = A_0$ в последовательности $A_1 = D(A_0)$, $A_2 = D(A_1)$,… встретился число $A^* = A_k < 20$, для которого $D(A^*) = A^*$.
б) Чему равно $A^*$ для $A = 19^{85}$?

$$D(A) = a_n + 2a_{n-1} + \dots + 2^n a_0 \leq 9 + 2 \cdot 9 + \dots + 2^n \cdot 9 = 9(2^{n+1} - 1) < 18 \cdot 2^n < 10^2 \cdot 2^{n-2}.$$
Следовательно, $D(A) < A$ при $n \geq 2$. При $n = 1$, то есть для $A = 10a_1 + a_0$, имеем:
$$A - D(A) = 10a_1 + a_0 - a_1 - 2a_0 = 9a_1 - a_0 > 0$$
при всех значениях $a_1$ и $a_0$, кроме $a_1 = 1$, $a_0 = 9$ ($A = 19$), а $D(19) = 19$. Наконец, при $n = 0$, то есть для однозначных чисел $A$, очевидно, $D(A) = A$.

Таким образом, последовательность $A = A_0$, $A_1$, $A_2$, … будет строго убивать, пока в ней не встретился число $A_k = A^*$, равное 19 или однозначное; для этого числа $D(A^*) = A^*$.

6. Ответ: $A^* = 19$. Докажем, что если число $A$ делится на 19, то и $D(A)$ делится на 19. Отсюда вытекает, что для $A = 19^{85}$ число $A^*$ делится на 19, а так как в силу утверждения a) $A^* < 20$, это возможно только при $A^* = 19$.

Для любого числа $A = 10^n a_n + 10^{n-1} a_{n-1} + \dots + a_0$ рассмотрим разность
$$2^n A - D(A) = (20^n - 1) a_n + 2 (20^{n-1} - 1) a_{n-1} + \dots + 2^{n-1} \cdot (20 - 1) a_1.$$
Каждаое слагаемое в правой части этого равенства делится на 19, так как $20^k - 1 = 19 \cdot (20^{k-1} + 20^{k-2} + \dots + 1)$, поэтому, если $A$ делится на 19, то и $D(A)$ тоже делится на 19.

Е. И. Гурьниц, А. Л. Федоров

Ф913. С горизонтальной поверхности земли бросили под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту со скоростью $v_1 = 12$ м/с комок сырной линии. Однакоремно комок вдвое большей массы бросили на вершину первого перуму под углом $\beta = 30^\circ$ к горизонту, причем начальные скорости комков оказались легкими в одной вертикальной плоскости. В результате столкновения комки спиллись. Найти скорость (по модулю) упавшего на землю спилшего комка.

◆ Рассмотрим движение центра масс (ц. м.) комков. Скорость ц. м. непосредственно перед ударом о землю равна по модулю скорости ц. м. при бросании комков, причем
$$3m\vec{v} = m\vec{v}_1 + 2m\vec{v}_2,$$
(1)
где $\vec{v}$ — скорость ц. м. при бросании, $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ — скорости комков в этот момент, $m$ — масса меньше комка.

Поместим начало координат в точке бросания комка массы $m$, направив ось $X$ горизонтальной так, чтобы она проходила через точку бросания большого комка, а ось $Y$ – вертикальной вверх. Запишем равенство (1) в проекциях на оси $X$ и $Y$, предварительно разделив обе части его на $m$:

$$3v_x = v_1 \cos \alpha - 2v_2 \cos \beta,$$
(2)
$$3v_y = v_1 \sin \alpha + 2v_2 \sin \beta$$

(здесь $v_x$ и $v_y$ — проекции $\vec{v}$ на оси $X$ и $Y$). Скорость $v_2$ найдем из условия, что в точке столкновения, которое произойдет время $t$, координата по оси $Y$ у комков одна и та же:

$$v_1 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2} = v_2 t \sin \beta - \frac{gt^2}{2},$$

откуда

$$v_2 = v_1 \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = v_1 \sqrt{3}.$$

Подставляя найденное выражение для $v_2$ в (2), получаем:

$$v_x = -\frac{5}{6} v_1, \quad v_y = \frac{\sqrt{3}}{2} v_1.$$

44

Таким образом, скорость спилшегося комка при ударе о землю —

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \frac{\sqrt{13}}{3} v_1 \approx 14 \text{ m/c.}$$

В. И. Чивилёв

Ф914. В закрытом соусе объема $V = 33,6$ дм³ находится азот $u = 1$ моль воды. При температуре $t = 100^\circ\text{C}$ давление в соусе равно $p = 2 \cdot 10^5$ Pa. Определить количество азота в соусе.

Давление $p$ в соусе складавается из парциальных давления азота $p_a$ и паров воды $p_n$. Максимальное возможное значение $p_n$ — это давление насыщенных водяных паров $p_H$ при данном значении температуры. При $T = 373$ К $p_H = 10^5$ Pa. Посмотрим, каким должно быть количество $v_1$ пара в соусе, чтобы создать давление $p_H$:

$$p_H V = v_1 RT \Rightarrow v_1 = \frac{p_H V}{RT} = \frac{10^5 \cdot 33,6 \cdot 10^{-3}}{8,3 \cdot 373} \text{ моль} \approx 1,1 \text{ моль.}$$

Значит, при испарении $v = 1$ моль воды образовавшийся пар будет не насыщенным. Давление этого пара —

$$p_n = v \frac{RT}{V} \approx 0,9 \cdot 10^5 \text{ Pa.}$$

Следовательно, парциальное давление азота в соусе —

$$p_a = p - p_n \approx 1,1 \cdot 10^5 \text{ Pa},$$

и количество азота в соусе —

$$v_a = \frac{p_a V}{RT} \approx 1,2 \text{ моль.}$$

С. М. Коршунов

Ф915. Жидкость с диэлектрической пропищаемостью в протекает между пластнами изолированного плоского конденсатора со скоростью $v$. Перpendикулярно скорости $\vec{v}$ и паралелюно пластнам направлено магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. Определить направление на пластнах конденсатора. Расстояние между пластнами $d$.

На разноменные заряды движущихся диополе диэлектрика со стороны магнитного поля действуют силы Лоренца, направленные в противоположные стороны (см. рисунок). Это приводит к поляризации диэлектрика, и в результате уверхней и нижней пластин конденсатора в диэлектрике будут существовать равные по абсолотной величины поверхностные заряды противоположных знаков. Эти поляризации заряды создают электрическое поле.

Пусть направлено этого поля равна $E$ (на рисунке $\vec{E}$ направлено сверху вниз). Тогда сила, действующая на положительный заряд движущаяся диополя, равна

$$F = q (vB - E).$$

Согласно определению диэлектрической пропищаемости эта сила должна быть в ε раз меньше той силы $F_0$, которая действовала бы на заряд $q$, движущаяся со скоростью $\vec{v}$, в отсутствие диэлектрика. Но в отсутствие диэлектрика $E = 0$, и $F_0 = qvB$. Так что

$$F = \frac{F_0}{\varepsilon} \Rightarrow q (vB - E) = q \frac{vB}{\varepsilon},$$

откуда находится $E$:

$$E = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vB.$$

45

Таким образом, разность потенциаль между пластинами конденсатора равна

$$U = Ed = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} vBd.$$

Е. А. Ромшевский

Ф916. В схеме, приведенной на рисунке 1 (Д — идеальный диод), ключ К замыкают на время τ, а затем размыкают. В момент размыкания слая точка в катушке индуктивности равна $I_0$. Через сколько времени после размыкания ключа ток $I_L$ в катушке достигает максимального значения, если оно равно $2I_0$? Построить график зависимости $I_L$ от времени $t$ ($0 < t < \infty$).

После замыкания ключа К за очень короткий промежуток времени направление на конденсатор и на катушка индуктивности становится ЭДС источника $\mathcal{E}$ (см. рис. 1: $\mathcal{E} = \varphi_A - \varphi_B$, ток через диод не течение). В течение времени τ на конденсатор будет сохраняться постоянный заряд $q = C\mathcal{E}$, а ток через катушка будет нарастать по линейному закону:

$$L \frac{di}{dt} = \mathcal{E} \Rightarrow i = \frac{\mathcal{E}}{L} t \quad (0 < t \leq \tau).$$

В момент $t = \tau$, согласно условиям, $i = I_0$, то есть

$$I_0 = \frac{\mathcal{E}}{L} \tau.$$

Если в этот момент разомкнуть ключ К, то через катушка будет продолжать работу со временем за счет разрядаки конденсатора, как это происходит в обычном колебательном контуре, то есть по закону с периодом $T = 2\pi \sqrt{LC}$.

Когда ток достигает максимального значения, направление на катушка индуктивности, диode, конденсатор становится равным нулю, то есть конденсатор полностью разрядает. На основании закона сохранения энергии имеем:

$$\frac{LI_0^2}{2} + \frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{LI_{\max}^2}{2}.$$

Учитывая, что $I_{\max} = 2I_0 = \frac{2\mathcal{E}}{L} \tau$, находим $LC = 3\tau^2$.

Значение функции $y = \sin x$ изменяется от 0,5 до 1 при изменении аргумента от $\pi/6$ до $\pi/2$, то есть за 1/6 часть периода. Поэтому время $\Delta t$, за которой слая точка в катушка изменяется от $I_0$ до $2I_0$, равно $T/6$, то есть

$$\Delta t = \frac{\pi}{3} \tau \sqrt{3} \approx 1,8\tau.$$

В момент времени $t = \tau + \Delta t \approx 2,8\tau$ потенциаль точек A и B сравнивают, сопротивление участка, содержащого диод, в направлении от B к A становится равным нулю. Таким образом, в последующие моменты времени через катушка индуктивности и диод будет точь постоянной ток $I = 2I_0$, заряд конденсатора будет равен нулю.

График зависимости $I(t)$ приведен на рисунке 2.

Необходимо сделать еще одно важное полное решение. В момент времени $t = \tau$ произойдет плавный (то есть без скачка произвольной) переход с линейного участка на часть синусицы. Это связано с тем, что произвольной $di/dt$ пропорционально направление на катушка индуктивности $U_L = LI'$, которое в каждой момент времени равно напряжению на конденсатор $U_C = q/C$. А так как заряд на конденсатор скажом изменяется не может, на графике $I(t)$ не может быть изломов.

А. И. Киркинский, Е. А. Ромшевский