Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

52

Рис. 7. Рис. 8.

ратура $T$, давление $p$. На выходе температура $T_1$, давление $p_1$. Найдите скорость воздуха в выходном секении.

3. В точках $A$ и $B$ (рис. 6) на расстоянии $|AB| = a$ закреплены заряды $+9q$ и $-q$. Вдоль прямой $AB$ к ним движется частница массой $m$, имеющая заряд $+q$. Какую наименьшую скорость должна быть иметь эта частница на очень большом расстоянии, чтобы она смогла достигнуть точки $B$?

4. Оцените, при какой минимальной скорости ветра он может опрокинуть автовосу.

5. Два одинаковых сосуда нагреваются до одной и той же температуры. При этом один сосуд ополаскивает горячей водой, а другой остается сухим. Затем она сосуда ставится на холодную воду, оба горышкиом вниз. После их остывания уровни воды, втянутой в сосуды, затем различаются. Объясните явление.

Вариант 3

1. Из одной точки вылетают одновременно две частицы с горизонтальным, противоложно направлением скорости $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. Через какой интервал времени угол между направлениями скоростей этих частцей станет равным $90^\circ$? Ускорение свободного давления $g$.

2. Жесткое тонкое непроводящее колюто массой $M$, равномерно заряженное зарядом $+Q$, имеет в районе точки $A$ небольшой зазор размера $l$, много меньше, чем радиус колца (рис. 7). Кольцо расположен в горизонтальной плоскости так, что может только свободно врашаться относительно вертикальной оси, проходящей через центр колца $O$. Поконвшеся вначале колюто пришло в движение после того, как было включено постоянное горизонтальное однородное электрическое поле с направлением $\vec{E}$, перpendикулярное $OA$. Найдите максимальное величину скорости колца.

3. Вертикальное стоящее закрытие цилиндры $A$ и $B$ имеют одинаковую высоту $H$ и площади дна $S$ и $S/2$ соответственно. Они закреплены на две ширикоугольного цилиндра $C$ с площадью дна $3S$ (рис. 8). В верхней части цилиндры $A$ и $B$ соединены трубкой 1, а в нижней — через небольшое отверстия в дне все три цилиндра связаны друг с другом общим узком каналом 2. Первоначальное цилиндр $A$ доверху наполнен водой, а отверстие в дне этого цилиндра закрыто. Найдите высоту уровня воды, установившегося в цилиндре $C$ после открывания отверстия в цилиндре $A$. Атмосферное давление $p_0$, плотность воды $q$, ускорение свободного давления $g$. Температура постоянна. Объемом трубки, канала и стенок сосудов пренебречь.

4. Оцените изменение объема футбольного мяча при сильном ударе.

5. Когда между лампочкой и линзой помещена прозачная с плоским стенками кивета с водой, на экран видно резкое изображение спирали лампочки. Если же кивету убрать, изображение становится размытым. Объясните явление.

Публикация подготовил Г. В. Меледин

Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Теплоход прошел 6 км вверх против течение реки и затем прошел еще 27 км вниз по течение, затратив на все 1 час. Найдите скорость теплокода в стоячей воде, если скорость реки 6 км/ч.

2. Решите уравнение
   $$\cos 2x + \cos x + \cos 3x = 0.$$

3. Решите уравнение
   $$3^x = 3 + 2(\sqrt{3})^x.$$

4. Решите неравенство
   $$\log_2(x - 3) < 0.$$

5. В конце с радиусом основания $R$ и осевым сечением, являющимся правильным треугольником, вписка правильная треугольная признака так, что одна ее боковая грань лежит в плоскости основания конуса, а две остальные вершины лежат на его боковой поверхности. Найдите объем признамы, если ее высота равна $2/3R$.

Вариант 2

1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма второго и третього членов равна 12. Найдите прогрессию.

2. Решите уравнение
   $$9\cos \frac{x}{3} - 2 \cdot 3\cos \frac{x}{3} = 3.$$

3. Решите уравнение
   $$x^3\sqrt{x^2} + 16 = 8\sqrt[6]{x^5}.$$

4. Решите неравенство
   $$\log_2\left(\frac{5x + 4}{x - 2}\right) > \mathrm{tg}g\frac{5}{4}\pi.$$

5. В куб с ребром длиной $a$ вписка правильная шестиугольная признака так, что диагональ куба проходит через центр оснований признамы и на каждой грани куба лежат по две вершины признамы. Найдите объем признамы, если сторона ее основания в 3 раза меньше ребра куба.

Физика

Задачи устного экзамена

1. Тело массой $m=0,1$ кг врашается в верхтикальной плоскости на нити длиной $l=1$ м. Ось врашения расположена над полом на высоте $H=2$ м. При прохождения нижнего по-

54

a) Решите уравнение
$$2f(x) + g(x) = 0.$$
6) При каких $x$ функция $y = f(x) g(x)$ принимает наименьшее значение?
b) Решите неравенство $\frac{f(x)}{g(x)} \ge 0$.
r) При каких значениях $a$ уравнение $f(x) = ag(x)$ имеетровно три корня?
2. В равноведренном треугольнике $ABC$ углы $B$ и $C$ при основании равны $a$, длина отрезка $BC$ равна 1, точка $D$ на прямой $AC$ такова, что $|BC| = |BD|$, $D \neq C$.
a) Найдите $L(a)$, где $L(a) = |AB| + |CD|$.
6) При каком $a$ величины $L(a)$ принимает наименьшее значение?
b) Решите уравнение $L(a) = 3\sqrt{2}/2$.
3. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \log \frac{x+5}{3-x}$.
a) Найдите область определения функции $y = f(x)$.
6) Решите уравнение $f(x) = -1$.
b) Найдите область значений функции $y = f(x)$.
Вариант 2

1. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \ln \left(2\left(1 - \frac{1}{x}\right)\right)$.
   a) Найдите область определения данной функции.

6. Выразите $x$ как функцию от $y$.
   b) Найдите область значений функции $y = f(x)$.
   r) Решите неравенство $f(x) > 0$.

2. Общее сопротивление неокоторой электрической цепи, содержащей постоянное сопротивление $R > 0$ и переменное сопротивление $r \ge 0$, равно $S(r) = \frac{4R^2 + 3Rr}{3R + 2r}$.
   a) Чему равно $r$, если $S(r) = \frac{15}{11} R$?

6. Исследуйте функцию $S(r)$ на монотность.
   b) Какие значения может принимать $S(r)$?

3. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{\cos 2x}{1 + 3\sin^2 x}$.
   a) Решите уравнение $f(x) = -\frac{2}{13}$.

6. Каков наименьший период данной функции?
   b) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.
   Устный экзамен

1. Вычислите $tg 2a$, если $\cos a = -\frac{5}{13}$, $\sin a > 0$.
2. Решите неравенство $\frac{5x-3}{4-x} < 2$.
3. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\log_2(x^2 - 1)}$.
4. Постройте график функции $y = \cos x + |\cos x|$.
5. Решите уравнение $tg 3x = tg 5x$.
6. Что больше: sin 1 или cos 1?
7. Найдите функцию, обратную к функции $y = \frac{2x+1}{x-2}$.
8. Изображите на координатной плоскости множества, задаваемое уравнением $x|y| = y|x|$.
9. Решите уравнение $x^3 + x^2 = a$, зная, что его три корня образуют арифметическую прогрессию.
10. Найдите наименьшее значение функции $y = |\cos x| + |\cos 2x|$.
11. Доказите неравенство sin $x$ sin $z + \cos x$ cos $y$ cos $z \le 1$.
12. Вершины $A$ и $C$ прямогольника $ABCD$ лежат на различных ветях гиперболы $y = -\frac{1}{x}$. Стороны прямогольника параллельны осем координат. Какие значения может принять его площадь $S$?
    Физика
    Задачи устного экзамена
13. Два теплокода движут с одинаковыми скоростями по направлению к точке $O$, причем их траектории пересекаются в этой точке под углом $\alpha = 60^\circ$. Определите минимальное расстояние между теплокодами во время движения, если пероначально они находились от точки $O$ на расстояниях $l_1 = 20$ км и $l_2 = 30$ км соответственно.
14. Тело массой $m$ сосказывает под действием силы тяжестеки с высоты $h$ по поверхности керосина, причем объем выступающей над поверхностью части составляется $\alpha = 8\%$ всего объема тела. Какая часть тела будет погружена при плавании в воде, если плотность воды $\rho_b = 10^3$ кг/м$^3$, плотность керосина $\rho_k = 0,8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$?
15. Объем $V$ неокторой массы идеального газа изменяется с увеличением температуры по закону $V = aT^n$, где $a$ и $n$ — постоянные коэффициенты, причем $n < 1$. Как при этом изменяется давление: увеличивается или уменьшается?
16. Как зависит радиус пузырка, вспливающего со дня водоема, от расстояния $h$ до поверхности воды?
17. До какого максимального потенциала можно зарядить удлиненное проводящей тело, направив на него пучок электронов, летящих со скоростью $v$? Массу $m$ и заряд $e$ электрона считать известными.
18. Две электрические лампочки номинальной мощностью $P_1 = 40$ Вт и $P_2 = 100$ Вт включены в сеть последовательного. На какой лампке при этом выделяется большое количество теплоты и во сколько раз?
19. Точечный заряд влетает со скоростью $v = 100$ м/c в однородное электрическое поле направленное его сливым линям. Каким (по модулю и направлению) построенным магнитным полем можно компенсировать действие электрического поля на данной заряд так, чтобы он двиглялся при прямолинейной?
20. Луч падает на плоскую стеклянную пластину под углом $a$. Определите смение луча внутри пластины, если показатель пределления стека $n$, а толщина пластины $h$.
21. Точечный источник света находится на расстоянии $l = 0,95$ м от экрана. На каком расстоянии от источника следует поместить собственную linзу с фокусным расстоянием $F = 0,16$ м и диаметром оправы $D_1 = 0,1$ м, чтобы получить на экране ярко освещенный круг диаметром $D_2 = 0,025$ м?
    Публикация подготовили
    С. Г. Федин, С. В. Фомин