Механическая работа и механическая энергия

46

Механическая работа и механическая энергия

О. Ю. Овчинников

§ 1. В механике работа, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении тела на величину $\vec{s}$, равна произведению моделей силы и перемещения, умноженному на косинус угла $\alpha$ между векторами силы и перемещения:

$$A = Fs \cos \alpha.$$

Такое понятие не всегда соответствует общеденному представлению о работе. Например, штангист, удерживающий груз на подняться руках, или носильщик, несущий тяжелый чемодан, механической работы не совершают (объясните — почему?).

Когда действующая на тело силы не постоянна (меняется ее модель или направление), работа такой силы можно найти следующим образом. Разобъем все перемещение тела на такие malые участки $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \dots, \vec{s}_n$, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной и равной соответствующей $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$. Затем найдем работу на каждом участке:

$$A_1 = F_1s_1 \cos \alpha_1,$$

$$A_2 = F_2s_2 \cos \alpha_2, \dots,$$

$$A_n = F_ns_n \cos \alpha_n;$$

а полная работа будет равна сумме работы на отдельных участках:

$$A = A_1 + A_2 + \dots + A_n.$$

В тех случаях, когда известно, как изменяется от точки к точке проекция силы на направление перемещения $F_s = F$ cos $\alpha$, работа можно найти графически (рис. 1). Полная работа на участке BC численно равна площади фигуры BDEC.

Задача 1. Чему равна работа по равномерному подъему однородной главной цепочки на главной горизонтальной стол? Первоначальное положение цепочки указано на рисунке 2, а ее длина $l = 6$ м; масса $m = 3$ кг.

В начальной момент на цепочку действует сила тяжесте $mg$, и для ее удержания требуется сила

$$F_0 = mg.$$

По мере поднятия цепочки на стол сила, необходимая для поднятия, будет уменьшаться. Обозначим длину части цепочки, уже лежащей на стол, через $x$ (рис. 2, б). В этот момент к цепочке надо приложить силу

$$F = mg - \frac{mg}{l}x.$$

Построим график зависимости $F = F(x)$ (рис. 2, с). Тогда работа, которую совершит эта сила при равномерном подъеме всей цепочки, будет численно равна площади защиты трехрихового треугольника:

$$A = \frac{1}{2} mgl = 90 \text{ Дж.}$$

Заметим, что совершенная работа равна работе по подъему центра тяжесте цепочки. Посокльку в началь-

47

ный момент он находится на расстоянии l/2 от поверхности стола, потребуется работа A=mg(l/2).

Задача 2. К точкам B и C, находящимся на одной горизонтали, подвешены однородная цепочка длиной 2l и система из двух стержней, соединенных шарниром, каждый из которых имеет длину l (рис. 3, а). Масса цепочки равна массе общих стержней. Какой из центров тяжества — цепочки или системы стержней — находится ниже?

Подействием на цепочку таким образом, чтобы ее положение совпало с положением системы стержней (рис. 3, б). Очевидно, что в этом случае центры тяжестки цепочки и стержней тоже совпадают. Поскольку для того чтобы перевести цепочку в новое положение потребовалось над ней совершить неокоторую работу, можно утверждать, что ее новое положение центра тяжестки выше прежнего.

Следовательно, первоначальное центр тяжестки цепочки находится центра тяжестки системы стержней.

Задача 3. В первом опите пружину, имеющий жесткость k и длину внедормированном состоянии l0, растящают до длины l. Во втором опите эту пружину сначала разрезают на две равные части, затем берет одну из них и растящают ее тоже до длины l. Определите работу, которую надо совершить в первом и во втором опитех.

Согласно закону Гука, при растяжении пружины на величины x

возникает сила упругости F_yпр=-kx (знак «минус» говорит о том, что сила упругости стремится вернуть пружину в исходное состояние). Для того чтобы растнуть пружину, к ней надо приложить внешнюю силу \vec{F}, равную по модели слее упругости, но противоположную ей по направлению:

F=-F_yпр=kx.

Построим график зависимости F=F(x) (рис. 4, а) и по нему найдем работу, которое должно совпать внешняя сила для растяжения недеформированной пружины на величины x:

A=\frac{1}{2}(kx)x=\frac{kx^2}{2}.

В случае, когда пружина уже была растянута на величины x1, а теперь ее надо растить до x2, работа внешней силы будет равна (рис. 4, б)

A=\frac{kx^2}{2}-\frac{kx^2}{2}.

Теперь вернемся к нашей задаче. В первом опите для растяжения цепочки пружины с жесткостью k из недеформированного состояния до длины l необходимо совпать работу:

A_1=\frac{kx^2}{2}=\frac{k(l-l_0)^2}{2}.

Во втором опите до той же длины l растявател лишь положину пружины так, что удлинение x2=l-l0/2. Кроме того, жесткость положины пружины не такая, как жесткость цепочки пружины: она в два раза больше (показите это самостояльно). Поэтому во втором опите необходимо совпать работу.

48

$$A_2 = \frac{(2k)x_2^2}{2} = \frac{(2k)(l-l_0)/2)^2}{2} = k\left(l - \frac{l_0}{2}\right)^2.$$

§2. В механике приято различить кинетическая энергия, обусловленную движением, и потенциальную, определяемую взаимным расположением тела системы или части одного и того же тела.

Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, равна

$$E_k = \frac{mv^2}{2}.$$

Пotenциальная энергия тела, находящаяся в поле тяжестии на высоте $h$ над нульым уровнем, равна

$$E_p = mgh,$$

а потенциальная энергия упруго деформарованного тела равна

$$E_p = \frac{kx^2}{2}.$$

Между понятыми «механическая работа» и «механическая энергия» есть тесяя связь. Работа равноведействующей сил, приложенных к системе, равна изменению кинетической энергии системы:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Работа сил тяжестии или упругостики, действующих в системе, равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы:

$$A = -(E_{p2} - E_{p1}).$$

Задча 4. На родатке закреплена длинная (по сравнению с размерами розатки) резина с жесткостью $k$. Надите максимальную скорость камня массой $m$, выпущенного из розатки, если предварительно его оттянуты на расстояние $x$ (рис. 5).

Поскольку резина длинная, можно считать, что на камень действуют две параллельные силы упругостики $\vec{F}$. При оттягивании камня на расстояние $x$ суммарное удлинениеружины будет $2x$, и модель силы упругостики $F = k(2x) = 2kx$.

При возвращении в исходное недеформрованное состояние резины силы упругостики, действующие на камень, совершат работу

$$A = 2\frac{(2kx)x}{2} = 2kx^2.$$

За счет этой работы камень приобретет кинетическая энергия

49

Работа ссыла наняження нити при этом будет равна

$$A = F_H x,$$
а потенциальная энергия груза в поле тягежсти Земли изменится на

$$\Delta E_p = mg(2x) = 2mgx.$$

Таким образом,

$$F_H x = 2mgx,$$

откуда

$$F_H = 2mg.$$

§ 3. Энергия приадлежит к тем немногим физическим величинам, для которых выполняются законы сохранения.

В частности, если система тел замкнута и тела взаимодействуют друг с другом только слиами тяготения и упругости, то полная механическая энергия системы (то есть сумма кинетической и потенциальной энергии) остается постоянной. Действие же силы треня приводит к тому, что часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию системы. Но и в этом случае сумма всех видов энергии системы сохраняется неизменной.

Задча 7. Мальчик на коньках разогнется до скорости v и вкатывается на горку, покрытую льдом. До какой высоты, считая от основания горки, он может поднять, если коэффициент треня μ, а угод наклона горки к горизонту α?

В начальной момент малчик обладает кинетической энергий $$mv^2/2$$, а в конечный момент — потенциальной энергий $$mgh$$ (здесь m — масса малчика, h — искомая высота подьема). За счет уменшення полной механической энергии совершается работа против силы треня $$F_{tp} = \mu mg\cos \alpha$$:

$$\frac{mv^2}{2} - mgh = (\mu mg \cos \alpha) \frac{h}{\sin \alpha}.$$

Отсюда находим искомуую высоту h:

$$h = \frac{v^2}{2g(1 + \mu ctg \alpha)}.$$

Задча 8. Камень массой m соскальзывает с главной горки высотой H. Расстоянием этот процесс в двух различных инерциальных системах отчета. С точки зрения наблюдателя в неподвижной системе потенциальная энергия камня mgH переходит в кинетическое энергию $$mv^2/2$$, так что после сокальзывания с горки камень имеет скорость v (рис. 7). Наблюдает, нахождение в системе отчета, движущейся со скоростью v вправо, скажет, что вначале у камня есть потенциальная энергия mgH и кинетическая энергия $$mv^2/2$$, а в конце нет ни той ни другой. Куда же «пропала» энергия?*)

Сразу же скажем, что закон сохранения энергии выполняется и в этом случае. Причина сформировано в условиях парадокса в том, что рассуждания проводились для независнуть системы — одного камня, а Земля, с которой камень взаимодействует, не учитывалась. Исправим эту ошибку.

a) В неподвижной системе отчета (связанной с центром масс системы камень — Земля) в начальной момент камень и Земля покояться, и все энергия равна потенциальной энергии системы. В конечный момент камень прибретает скорость $\vec{v}$, а Земля — скорость $\vec{u}$, которое можно найти из закона сохранения импульса:

$$mv - Mu = 0,$$

откуда

$$u = \frac{m}{M} v,$$

где M — масса Земли.

Согласно закону сохранения энергии,

$$mgH = \frac{mv^2}{2} + \frac{Mu^2}{2} = \frac{mv^2}{2} \left(1 + \frac{m}{M}\right).$$

Поскольку масса камня ничего мал по сравнению с массой Земли, величины m/M по сравнению с единицей можно пребежать. Тогда получим

$$mgH = \frac{mv^2}{2},$$

*) Аналогические вопросы подробно разбираются в статье В. А. Орлова «Парадокс «большего» тела», опубликованной в третьем номере журнала за 1978 год. (Примеч. ped.)