Введение в стереометрию, или «Аксиоматические игры»

Квант 1985, №9 с. 14, 15, 16, 18 Тег UB03

Введение
в стереометрию,
или
«Аксиматические игры»

Кандидат педагогических наук
А. Н. ЗЕМЛЯКОВ

Эта статья адресована, главным образом, девятиклассикам, начавшим изучать стереометрию по учебнику академика А. В. Погорелова. Ее можно использовать и учтелю при закреплении материалов § 14 этого учебника. Суть же рассматриваемых в статье вопросов — о смысле формулировок аксиом, о роли различных аксиом, о логических трудностях, возникших при доказательстве теорем, — наверное, будет понятна и интересна всем любителем геометрии и логики. Вы как бы совершите проулку по § 14 книzi А. В. Погорелова «Геометрия 6—10» (Г., с. 175—177) и увидите, сколько «разностей» и «интересностей», «хитростей» и «всякостей» заключено всего на трех страницах учебника. Итак, в путь…

От планиметрии — к стереометрии

…Думай о смысле, а слова придут саму!
Льюис Кэрролл

Вы уже изучили — прошли — три пространственные аксиомы C₁, C₂ и C₃ (Γ., с. 175), а еще, наверное, и три теоремы — 14.1, 14.2 и 14.3 (Γ., с. 176—177). Сейчас и мы проijdемся по ним вместе с вами, проверим, хорошо ли и все ли вы поняли на трех первых стереометрических страницах. В доказательстве первой же теоремы —

14.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно проверить плоскость, иритом только одну

— использовались не только пространственные аксиомы—

C₂: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой

C₃: Если две различные плоскости имеют общую точку, то через них можно проверить плоскость, иритом только одну

— но и две аксиомы, называемые в учебнике «планиметрическими», а точнее, «аксиомами планиметри» (Γ., с. 175) — I₁ и I₂:

I₁: Какова бы ни была прямая, существует точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей

I₂: Через любые точки можно проверить прямую, и только одну

Сразу возникает вопрос: а какой смысл придется этим «аксиомам планиметри» в стереометрии? Ведь в планиметрии аксиомы I₁ и I₂ описывали основные свойства «принадлежности точек и прямых на плоскости» (Γ., с. 4). Полные их формулировки в планиметрии подлиннее, чем приведенные выше:

(I₁): Какова бы ни была прямая (в плоскости), существует точки (плосости), принадлежащие этой прямой, и точки (плосости), не принадлежащие ей

(I₂): Через любые точки (плосости) можно проверить прямую, и только одну

(заметьте, что рисунки к аксиомам мы изменили — «приспособили» к плоскости). Планimetрический листья — справедливо утверждение ( $I_1$ ) и ( $I_2$ ) в какдой плоскости — имеют аксиомы группы I в stereometрии? Или, может быть, речь в них идет о точках и прямых в пространстве, то есть в только что приведенных формулировках во всех скобках вместе с лова «плоскость» нужно поставить слово «пространство» (например, $I_1$ : Какова бы ни была прямая в пространстве, существует точки пространства… и т. д.)?

Не торопитесь читать далее. Попробуйте сами ответить на заданные вопросы, откройте учебник и посмотите, как применяются аксиомы $I_1$ и $I_2$ в доказательстве первого теоремы — 14.1.

Посмотрели? Проследим за ходом доказательства теоремы 14.1 вместе. Вот текст учебника.

Пусть $a$ — данная прямая и $B$ — не лежащая на ней точка.

Здесь пока всего лишь введены обозначения к условиям теоремы.

Отметим на прямой $a$ какую-нибудь точку $A$ . Такая точка существует по аксиоме $I_1$ .

Стоп! Если трактовка аксиомы $I_1$ планиметрическая, то для ее применения нужно, чтобы прямая $a$ лежала в какой-нибудь плоскости. А такой аксиомы — типа «Для каждой прямой существует проходящая через нее плоскость» — в учебнике, увы, нет. Значит, аксиому планиметрии $I_1$ в stereometрии следует трактовать как пространеную. Продолжим «расследование». Следующая фраза из доказательства:

Проведем через точки $A$ и $B$ прямую $b$ (аксиома $I_2$ ).

Снова стоит! Планimetриское толкование требует для применения аксиомы $I_2$ , чтобы точки $A$ и $B$ лежали в одной плоскости. Но аксиом, гарантирующих это, у нас нет. Значит, и аксиом $I_2$ — пространенная, лишь по своей краткой словесной формулировке совпадающая с планиметрической аксиомой $I_2$ из § 1.

Подведем итог. Аксимы планиметрии $I_1$ и $I_2$ в stereometрии имеют пространенный смысл («Думай о смысле!»), а в полную их формулировку нужно включить соответствующие слова («a слова придут сами!»). Вот эти полные формулировки:

$I_1$ : Какова бы ни была прямая в пространстве, существует точки пространства, принадлежащие этой прямой, и точки пространства, не принадлежащие ей (прямой);

$I_2$ : Через любые две точки пространства можно проверить прямую (в пространстве), и только одну.

Планimetрические же аксиомы ( $I_1$ ) и ( $I_2$ ) в stereometрии уже становятся теоремии:

$I_1'$ . Какова бы ни была прямая в плоскости, существуют точки этой плоскости, принадлежащие прямой, и точки этой плоскости, не принадлежащие ей (прямой);

$I_2'$ . Через любые две точки пространства можно проверить прямую, лежащую в этой плоскости, иритом только одну.

Теорема $I_2'$ , конечно, сразу следует из теоремы 14.2 и пространенной аксиомы $I_2$ . Еще более очевидна справедливо первого утверждения теоремы $I_1'$ (обдумайте!). А вот со вторым утверждением еще нужно повозиться. Сформулируем его как задачу.

Задачка 1. Данны плоскость $a$ и лежащая в ней прямая $a$ . Докажите, что существуют точки, принадлежащие плоскости $a$ , но не принадлежащие прямой $a$ .

От аксиом — к теорем

Ты просыщь, кто велит?
— Всеслышь без деталей…
Ворис Пастернак

Разобравшись со страницей 175, обратимся к следующим страницам учебника — к доказательством трех первых теоремств. Сначала мы предложаем вам выполнить задачи: поставить на схеме (рисунок 1, на котором кругками обозначены аксиомы, квадратиками — теоремы) стрелки, показывающие, какие

утверждения использются при доказательстве теorem 14.1, 14.2 и 14.3. Две стрелки, соответствующие использованную в разобранном куссочке доказательства теоремы 14.1 аксиом I₁ и I₂, мы уже обозначили.

Чтобы правильно расставить остальные стрелки, нужно еще раз внимательно прочитать все детали данных в учебнике доказательства теorem.

А пока вы это делаете, мы разберем доказательство второй теоремы:

14.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости

(на рисунке слева изображено невозможное — прямая не может «проткнуть» плоскость в двух точках!). Итак, данные прямая a и плоскость α, имеющие две общие точки. Расматривается точка A∉α (аксиома I₁), а затем плоскость α’, прохождение через прямую a и точку A (а это… что?).

Существование такой плоскости гарантирует уже доказанной теорем 14.1 — и, кстати сказаны, именно поэтому на первом шаг доказательства берется точка A вне прямой a (по «аксиоме» I₁), а не в плоскости α («по аксиоме» C₁). Заметим также, что явной ссылки на теорему 14.1 в учебнике нет — она подразумеется. В соответствии с нашими правилами мы поставим на схеме стрелку от квадратика 14.1 к квадратику 14.2.

В оставшейся части доказательства использующая аксиома C₂ (опять не

Рис. 1.

явно — без ссылки) и аксиома I₁, так что всего к квадратику 14.2 на схеме будет проведено четыре стрелки.

А вы уже расставили стрелки? Сверьте свою схему с нашей, данной на с.18 (см. рис. 4). Выясняется любопытнейшее обстоятельство — от аксиомы C₁:

C₁: Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей

не идет никаких стрелок! Может быть, она совсем и не нужна, раз она не использалась? Стоп! Подумайте!

Если вы решали все задачи к §14, то в двух из них вам пришлось использовать эту «странную» аксиomy — в каких именно? В действительности аксиома C₁ — самая существенная именно пространственная аксиома. Как раз из нее вытекает, что в пространстве есть пересекающие плоскости (инначе о чем речь в аксиоме C₂!), существуют не лежащие в одной плоскости точки (см. задачи 1, 5, 10 к §14), можно рассматривать не лежащие в одной плоскости прямые (см. задачи 2 и 9 к §14). Сформулируем эти утверждения как задачи:

Докажите, что в пространстве существуют две различных пересекающих плоскости.
Докажите, что в пространстве существуют две прямые, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что в пространстве所述 четырех стрелки, которые не лежат в одной плоскости.
Бег по кругу

Бросая в воду камешки, смотри на круги, или образуемые; иначе такое бросание будет пустого забавого.

Козьма Прутков

Еще раз рассмотрим теоремы 14.1 — 14.3. Обратим внимание: первый из них по формулировке (см. п. 1) похожа на третью —

14.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно проведить плоскость, и при том только один

В той и другой — по два утверждения: о существовании плоскости («можно проведити плоскость») и о ее.edинстен-

Рис. 3.

Нужно сказать, что ошибка эта — распространенная и коварная; так, в течение многих веков появлялись принадлежшие даже профессиональным математикам «доказательства» аксиомы параллельных (аксиомы V из §1 учебника А. В. Погорелова, эквивалентной пятому постулату Евклида). Только после тщательного «расследования» в них удалалось обнаружить порочный круг. Но это уже другая тема.

Возможно, у некоторых читателей осталось чувство неудовлетворенности — ошибение, что «Что-то здесь все-taku есть!» В самом деле, наш порочный круг можно «разорвать», если разбит теорему 14.1 на две части:

14.1.A. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и
14.1.B. притом только одну.
В доказательстве теоремы 14.2 используется только утверждение 14.1.A, так что в полне строие рассудения можно провести по схеме, изображенной на рисунке 5.
Как видите, без аксиомы C₂ доказать теорему 14.1 в полном объеме все же неудается.

Заключение: вопросы и задачи «напоследок»

В завершение нашей эскурсии по §1 задам еще три вопроса к тексту учебника.

I. В приведенном в учебнике решении задачи 5 (с. 176) опущен один логический возможный случай — какой? Как быть в этом случае?

II. В условия разобраной в учебнике задачи 7 (с. 177) говорится о прямых, пересекающих две данные прямые a и b, но не проходящих через их точку пересечения A. Существенно ли это последнее требование? Использовано ли оно в решении?

III. В учебниках А. В. Погорелова (1982—1985 гг. издания) в доказательство теоремы 14.1 попало совершению лишнее математическое слово — какое? Найдите его.

И «напоследок» — еще четые задачи близкой тематики.

Доказите, что через любую прямую в пространстве можно provести: a) хотя бы одну плоскость; b) хотя бы две различные плоскости; в) бесконечного много плоскостей.

(Окончание см. на с. 28)

Рис. 4.