Задачи М941—М945; Ф953—Ф957

36

Задчи

M941—M945; Ф953—Ф957

M941. Дан правильный (4k+2)-угольник $A_0A_1$ … $A_{4k+1}$ с центром $O$. Докажите, что сумма отрезков, высекаемых углом $A_kOA_{k+1}$ на прямых $A_1A_2k$, $A_2A_2k-1$, …, $A_kA_{k+1}$ (см. рисунок 1 для $k=2$), равна радиусу $OA_0$ описанной окружности (4k+2)-угольника, если $k=2$, 6) $k$ — любое натуральное число.

И. Ф. Шарыzin

M942. Числа 1, 2, …, 2n—1, 2n разбиты на две группы по $n$ чисел в каждой. Пусть $a_1<a_2<...<a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1>b_2>...>b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите, что $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|=n^2$.

В. В. Произвольов

M943. Последовательность $a_1, a_2, ...$ задается правилом: $a_{2n}=a_n$ при $n \geqslant 1$ и $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ при $n \geqslant 0$. Докажите, что эта последовательность не имеет периода.

Ю. В. Нестеренко

M944*. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образованшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеет по крайней мере 7 таких, в вершинах которых точки чисел записаны в порядке возрастания против часов стрелки.

А. А. Берзиныш

M945*. Дана строго возратающая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1, a_2, ...$. Докажите, что для всех достагоно больших $k$ справедливо неравенство

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

Л. Д. Курляндчик

Ф953. Для точной подстройки частоты врашения диска электроннойгрибателя (33$\frac{1}{3}$ оборота в минуту) на его боковой поверхности наносят метки, которые освещают неоновой лампочной с частотой 100 впышек в секунду.

37

Каимм должно быть число меток, чтобы при номинальной скорости они казались неподвижными?
После отключения двигателя силы сухого трения начинают тормозить диск, и метки «побегут».
За первые 4 с mismo точки наблюдаются «пробегают» 10 меток. Через какое время диск остановится?
Через какой промежуток времени метки «побегут» в другую сторону?

А. Р. Зильберман

Ф954. Декоративная квадратная штора размером 1,5×1,5 м висит на карнизе вдоль вертикальной стены. Нижний край шторы поднимают вровень с верхним, так что штора оказывается сложенной вдвое, и отпускают. Найдите зависимости силы, действующего на карниз, от времени. Штора тонкая, гладкая и имеет массу 3 кг.

С. С. Кротов

Ф955. Смеся газов, состоящую из $m_1=100$ г азота и неизвестного количества кислорода, подвергают изотермическому скатанию при температуре $T=74,4$ К. График зависимости давления смеси газов от ее объема приведен на рисунке 3 (в условиях единицах). Определите массу кислорода. Расчитайте давление насыщенных паров кислорода при этой температуре.

Примечение. $T=74,4$ К — это температура кипения жидкого азота при нормальном давлении; кислород кипит при более высокой температуре.

А. И. Буздин

Ф956. В одном из вариантов классического опыта, поставленного академиком И. К. Киконым, односойная коротkozамкнутая катушка индуктивности $L=3 \cdot 10^{-5}$ Гн из тонкой сверхпроводящей проводки подвешиваясь на пругуroidиниты в магнитном поле, направленном вертикально вверх вдоль оси катушки (рисунок 4). Нить подвеса в исходном состоянии не закручена, сила тока в катушке равна нулю. Иndукция $B$ магнитного поля медленно увеличивается от нулевого значения до значения $B_0=0,1$ Тл, при котором сверхпроводимость скачком исчезала и проволока переходила в нормальное состояние. Катушка при этом закручивается. Определите максимальный угол закручивания катушки, считая, что упругий момент нити пропорционален углу закручивания (коэффициент пропорциональности $G=10^{-7}$ Н·м/рад). Число витков катушки $n=100$, радиус витков $R=1$ см, масса катушки $M=10$ г. Отношение заряда электрона к его массе равно $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

С. М. Козел

Ф957. Распространение коротких радиоволн вверхних слоях атмосферы Земли (ионосфере) можно описывать законами геометрической оптики, если принять, что показатель преломления $n$ для радиоволн меньше единицы и изменяется с высотой $H$ от поверхности Земли так, как показано на рисунке 5 (для неокоторий частоты v).

38

На спутнике, летящем на высоте $h=200$ км, установлен радиопередатчик, излучающий радиоволны частицы $v$ равномерно по всему направлению. Пренебрегая поглощением радиоволн в ионосфере, оцените долю излучаемой передатчиком мощности, которая уносится радиоволнами за пределы земной атмосферы. При оценках поверхность Земли считать плоской, а отражение радиоволн от нее зеркальным и без потерь. Причемение. Телесный угол конуса с углом при вершине $\beta$ равен $\Omega=2\pi\left(1-\cos \frac{\beta}{2}\right)$.

В. И. Чувилёв

Problems

M941 — M945; P953 — P957

M941. The regular $(4k+2)$ vertex polygon $A_0A_1 \dots A_{4k+2}$ of centre $O$ in given. Prove that the sum of the segments of the lines $A_1A_{2k}, A_2A_{2k-1}, \dots, A_kA_{k+1}$ inside the angle $A_kOA_{k+1}$ (see Pис. 1 on p. 37 for $k=2$) equals the radius of the circumcircle of the polygon, if a) $k=2$, b) $k$ is any natural number.

I. F. Sharygin

M942. The numbers 1, 2, …, $2n-1$, $2n$ are split into two groups of $n$ numbers each. Suppose $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ are the numbers of the first group in increasing order, and $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ the numbers of the second one in decreasing order. Prove that $|a_1-b_1|+a_2-b_2|+\dots+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. The sequence $a_1, a_2, \dots$ is given by the rules: $a_{2n}=a_n$ if $n \geqslant 1$ and $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ if $n \geqslant 0$. Prove that this sequence is not periodic.

Yu. V. Nesterenko

M944*. A regular hexagon is split into 24 equal triangles as shown on Pис. 2, p. 37. Different numbers are written at each of the 19 vertices of the figure thus obtained. Prove that among the 24 triangles at least 7 have vertices with counterclockwise increasing numbers.

A. A. Berzinsh

M945*. An unbounded strictly increasing sequence of positive numbers $a_1, a_2, \dots$ is given. Prove that for all sufficiently large $k$

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

P953. In order to regulate the turntable of a $33^{1/3}$ RPM record player with great precision, little evenly spaced marks are made on the disk’s outside surface; they are lighted by a neon lamp of frequency 100 flashes per second. How many marks are needed to make them appear motionless at nominal velocity? After the turntable motor is turned off, dry friction forces begin slowing the disk down — the marks begin to “run”. In the first 4 seconds 10 marks “run past” the observation point. How soon will the disk stop? How soon will the marks start “running the other way”?

A. R. Zilberman

P954. A designer’s drapery 1.5 by 1.5 m hangs from a horizontal crossbar along a vertical wall. The lower end of the drapery is lifted level with the upper one (so that the drapery is folded in

40

Решать задачу будем сразу в обшем случае в). Расмотрим вспомогательный четырехугольник $ABCD'$, где $D'$ — точка, симметричная $D$ относительно серединного перпендикуляра к диагонали $AC$ (рис. 1), и докажем, что его улыbs при вершинах $A$ и $C$ — прямы.

Представляя четырехугольник $ABCD'$ как объединение треугольников $ABD'$ и $CBD'$, получим, что его удовеная площадь равна

$$AB \cdot AD' \sin \angle BAD' + BC \cdot CD' \sin \angle BCD'.$$

Удвоенная площадь $ABCD$ по условию равна

$$AB \cdot CD + BC \cdot AD.$$

Но эти четырехугольники, очевидно, равновелики, а $AD'=CD$, $CD'=AD$, поэтому $\sin \angle BAD' = \sin \angle BCD' = 1$, то есть $\angle BAD' = \angle BCD' = \pi/2$.

Из доказанного следует, что около четырехугольника $ABCD'$ можно описать окружность (с Diamетром $BD'$). На ней лежит и точка $D$ ($\angle ADC = \angle AD'C$). Обозначим через $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ угловые величины для $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (рис. 2), тогда $AB=BD' \sin \frac{\varphi_1}{2}$, $BC=BD' \sin \frac{\varphi_2}{2}$ и т. д. Остается выразить эти величины через $\alpha$ и $\beta$. По теореме о величины вписанного в окружность угла

$$2\alpha = \varphi_2 + \varphi_3, \ 2\beta = \varphi_3 + \varphi_4, \ 2\angle BCD' = \pi = \varphi_1 + \varphi_3 = 2\pi - \varphi_2 - \varphi_4$$

(так как дуги $CD'$ и $AD$ равны). Отсюда получаются формулы (1). Для существования четырехугольника необходимо и достаточно, чтобы все числа $\varphi_i$ ($i=1, ..., 4$) были положительны, что эквивалентно неравенству (2). Ответы к задачам a) и b) находятся после подстановки вместо $\alpha$ и $\beta$ заданных значений.

Легко показать, что условию задачи удовлетворяют любые четырехугольники $ABCD$ с перпендикулярами диагоналими, около которых можно описать окружность, и только они. Это можно вывести также из одной из вершин так называемой теоремы Птолемея: для любых четырехугольки $A, B, C, D$ плоскости верно неравенство

$$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$$

которое обращается в равенство лише для точек, лежащих на одной окружности или на одной прямой (см., например, «Квант» № 3 за 1973 г. (с. 27)). В то же время последнее утверждение этой теоремы легко доказывается с помощью перехода к четырехугольнику $ABCD'$.

В. Л. Гутенмахер

◆

Положим $t=\sin^2 x (\cos^2 x=1-t), a=p/2, b=q/2$, тогда данное уравнение перешется в виде

$$f(t)=t^a+(1-t)^b=1.$$

41

Мы должны доказать, что уравнение (*) имеет решения в интервале ]0; 1 [ (областии значений функций $y=\sin^2 x$ на интервале $0<x<\pi/2$) тогда и только тогда, когда $(a-1)(b-1)<0$ или $a=b=1$.

В дальнейшем будем считать, что $a \geq b$ (в противном случае с помощью замены $s=1-t$ мы перейдем к уравнению $s^b+(1-s)^a=1$ на интервале $0<s<1$).

Покажем сначала, что если $(a-1)(b-1)>0$ или только одно из чисел $a$ и $b$ равно 1, уравнение (*) решений не имеет. Возможны два случая: $a>b \geq 1$ или $1 \geq a>b$. В первом случае $t^a<t$, $(1-t)^b \leq 1-t$ и $t^a+(1-t)^b<t+(1-t)=1$.

Второй рассматривается аналогично.

При $a=b=1$ функция $f(t)$ тогда действено равна 1.

Пусть, наконец, $a>1>b$. Покажем, что на интервале ]0; 1 [ найдется две точки, $t_1$ и $t_2$, такие, что $f(t_1)>1$, $f(t_2)<1$. Отсюда по теореме о промежуточном значении непрерывной функции будет следовать, что в некоторых точке $t$ на интервале ]$t_1$; $t_2$ [ $f(t)=1$. Расмотрим производную функцию $f(t)$:

$$f'(t)=at^{a-1}-b(1-t)^{b-1}.$$

При $t \rightarrow 0$ функция $at^{a-1}$ стремится к нулю, а $b(1-t)^{b-1}$ стремится к $b>0$ (графики этих двух функций — рис. 1 и рис. 2). Поэтому при достаточно малом $t_1$ на интервале $0<t<t_1$ производаная $f'(t)<0$, следовательно, функция $f(t)$ убивает на отрезке [0; $t_1$] и $f(t_1)<f(0)=1$. Аналогично, при $t \rightarrow 1$ функция $at^{a-1}$ стремится к $a$, а $b(1-t)^{b-1}$ неограниченно растет $(b-1<0)$. Поэтому $f'(t)<0$ при $t_2<t<1$, где $t_2$ достаточно близко к 1, следовательно, функция $f(t)$ убивает на отрезке [$t_2$; 1] и $f(t_2)>f(1)=1$. Тем самым нашей утверждение доказано полностью.

А. М. Седлецкий

♦

Обозначим через $a$ и $l$ плоскость и перпендикулярную ей прямую, на которые проектируется куб.

Поскольку любая прямая, проходящая через внутреннюю точку куба, пересекает его поверхности в двух точках, любая проекция куба на $a$ вдвое меньше суммы площадей проекций на $a$ всех его граней, то есть равна сумме площадей проекций трех попарно perpendicularных граней.

С другой стороны, проекция куба на прямую $l$ совпадает с проекцией $P'Q'$ какой-то его диагонали $PQ$. Проведем через точку $P$ плоскость, perpendicularную $l$, тогда вес куб и, в частности, точка $Q$ и концы $A, B, C$ трех ребер куба, выходящих из вершины $P$, лежат по одному сторону от этой плоскости. Поэтому проекции $\overrightarrow{P'Q'}$, $\overrightarrow{P'A'}$, $\overrightarrow{P'B'}$ и $\overrightarrow{P'C'}$ векторов $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}$ и $\overrightarrow{PC}$ на прямую $l$

42

будут соправлены. Но $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$, следовательно, для проекта куба на $l$ равна

$$|\overrightarrow{P'Q'}| = |\overrightarrow{P'A'} + \overrightarrow{P'B'} + \overrightarrow{P'C'}| =$$

$$= |\overrightarrow{P'A'}| + |\overrightarrow{P'B'}| + |\overrightarrow{P'C'}|,$$

то есть равна сумме длин проекций трех его попарно перепедикулярных ребер ($PA, PB$ и $PC$).

Остается заметить, что угол между плоскостью любой грани куба и плоскостью $\alpha$ равен углу между перепедикулярным этой грани ребром и прямой $l$, а значит, площадь проекции этой грани на $\alpha$ равна длине проекции ребра на $l$ (при ortогональной проекции площадь грани и длина ребра умножаются на косинусы соответствующих углов).

Обобщения этой задачи на случай многомерного пространства расматривается в статье английского математика Дж. Мак-Мулена, опубликованной в журнале „Bull. Lond. Math. Soc.“ № 3 за 1984 год.

С. Л. Табачников

M924. Каждый две из $n$ точек (никачее три из которых не лежат на одной прямой) соединены отрезком, и на всех отрезках расставляются стрелки. Треугольник ABC с вершинами в данных точках называется ориентированным, если стрелки расставлены в направлениях AB, BC, CA или AC, CB, BA.
a) Объясните, как расставить стрелки, чтобы не возникло ни одного ориентированного треугольника.
b) Каково наиболее возможное число ориентированных треугольников (для каждой n)? (Нарисуйте соответствующие примеры для $n=4$, 5 и 6.)

◆ Обозначим данные $n$ точек через $A_1, \dots, A_n$.

a) Ответ: надо расставить стрелки по возрастанию номеров точек: от $A_i$ к $A_j$ при $i < j$ (см. рис. 1 для $n=5$). Тогда в любом треугольнике из вершины с наименьшим номером выходит две стрелки, поэтому он не ориентирован.

b) Ответ: наиболее число ориентированных треугольников равно $n(n^2-1)/24$ при нечетном $n$ и $n(n^2-4)/24$ при четном $n$ (см. рис. 2-4 для $n=4$, 5, 6).

Нам будет удобнее найти наименьшее число ориентированных треугольников, а потом вычесть его из общего числа треугольников, равного $n(n-1)(n-2)/6$ (выбирая последовательную вершины треугольника из данных точек, мы будем иметь для первой вершины $n$ возможностей выбора, для второй — $n-1$, для третьей — $n-2$; при этом каждая трейка вершин в разном порядке будет выбран 6 раз).

Будем назвать пару стрелок (направленные отрезки) согласованной, если они имеют общее начало или общий конец. Очевидно, из трех пар сторон любого неориентированного треугольника из стрелокровно две — согласованные (на рисунке 5 — AB и AC, AC и BC), а любая согласованная пара стрелок принадлежитровно одному неориентированному треугольнику. Поэтому число неориентированных треугольников равно половине числа согласованных пар. Оценим это число.

Если из некоторой точки $A$ выходит $k$ стрелок, то число образуемых им пар равно $k(k-1)/2$. При этом в точку $A$ выходит $n-1-k$ стрелок, образующих еще $(n-1-k)(n-2-k)/2$ согласов-

43

ванных пар. Итак, число согласованных пар с общей вершиной в точке $A$ равно

$$\frac{1}{2} (k^2 - k + (n - 1 - k)^2 - n + 1 + k) = \frac{1}{2} ((n - 1)^2 - (n - 1)) - k (n - 1 - k).$$

Легко видеть, что наименьшее значение этого выражения достигается при $k = (n - 1)/2$, если $n$ нечетно, и при $k = n/2$ или $k = n/2 - 1$, если $n$ четно, и равно, соответственно, $(n - 1)(n - 3)/4$ и $(n - 2)^2/4$.

Заметим, что стрелки всегда можно расставить так, чтобы из каждой точки выходило указанное «оптимальное» число стрелок. Действительно, представим, что точки $A_1$, …, $A_n$ образуют правильный $n$-угольник и расставим стрелки на его сторонах и диагоналях (не проходящих через его центр) так, чтобы они задавали одно и то же направление обхода центра; на диагоналях, проходящих через центр (они имеют только при четных $n$) стрелки можно поставить произвольно. Тогда число стрелок, входящих в каждую вершину, отличается от числа стрелок, выходящих из нее, не более чем на 1.

Таким образом, наиболее число ориентированных треугольников при нечетном $n$ равно

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 1)(n - 3)}{4} = \frac{n(n^2 - 1)}{24},$$

а при четном $n$

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 2)^2}{4} = \frac{n(n^2 - 4)}{24}.$$

Приведем набросок другого решения. Пусть $k_i$ — число стрелок, выходящих из точки $A_i$, тогда число неориентированных треугольников равно сумме

$$\frac{k_1(k_1 - 1)}{2} + \dots + \frac{k_n(k_n - 1)}{2} = \frac{k_1^2 + \dots + k_n^2}{2} - \frac{n(n - 1)}{4}$$

(число всех стрелок равно $k_1 + \dots + k_n = n(n - 1)/2$). Если для неокоторого расположения стрелок $k_i \geq k_j + 2$, для каждой-то двух точек, то можно изменить направления (не более чем двух) стрелок так, что $k_i$ уменьшится, а $k_j$ увеличится на 1; при этом сумма квадратов $k_1^2 + \dots + k_n^2$ уменьшится. Следовательно, для «напулящего» расположения стрелок $|k_i - k_j| \leq 1$ при всех $i, j$, а значит, $k_i = (n - 1)/2$ или $k_i = ((n - 1) \pm 1)/2$ (в зависимости от четности $n$) при всех $i$, откуда с помощью (*) легко получить ответ.

И. И. Цаленчук, В. Н. Дубровский

Ф933. Два куска сахара можно поместить в стакан с чаем различными способами. Можно просто положить сахар на дно (рисунок 1), а можно установить куски «врасор», если стакан имеет кончексую форму (рису-

45

Ф935. По длининому прямотому проводнику постоянного сечения течет ток $I_0$. На участке AB проводника (см. рисунок) его удельное сопротивление уменшается от $\rho_1$ в сечении A—A до $\rho_2$ в сечении B—B. Какой по величины и знаку объектный загрудь образуется на участке AB?

Выделим на участке AB нашего проводника в произвольном месте бесконечно малый элемент длиной $\Delta l$ (см. рисунок) и запишем для этого элемента закон Ома:

$$\Delta U = I_0 \rho \Delta l / S.$$

Здесь $\rho$ — удельное сопротивление проводника в выделенном объете, а $S$ — сечение проводника. Учитывая, что предел отношения $\Delta U / \Delta l$ при $\Delta l \rightarrow 0$ определяет величины напряженности электрического поля ($\lim_{\Delta l \rightarrow 0} (\Delta U / \Delta l) = E$), мы можем записать первое равенство в виде

$$E = \rho I_0 / S.$$

Полученное соответствие показывает для любого сечения проводника связь напряженности электрического поля $E$ с удельным сопротивлением проводника в том же сечении.

Пусть в выбранном элементарном объете образуется объектный загрудь $\Delta Q$. Найдем напряженность электрического поля слева ($E_1$) и справа ($E_2$) от выбранного элемента. Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно записать

$$E_1 = |\vec{E}_1| = |\vec{E}_l| - \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S},$$

$$E_2 = |\vec{E}_2| = |\vec{E}_l| + \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S}.$$

Здесь $|\vec{E}_l|$ — напряженность электрического поля в объете нашего элемента, создаваемая всеми зарядами, кроме заряда $\Delta Q$, а вторые члены унитывают поле заряда $\Delta Q$, которое будет эквивалентно полю вблизи равномерно заряженной поверхности с поверхностью плотностью зарядов $\Delta Q / S$. Изменение поля на границах элемента

$$\Delta E = |\vec{E}_2| - |\vec{E}_1| = \Delta Q / \varepsilon_0 S.$$

С другой стороны,

$$\Delta E = \Delta \rho \cdot I_0 / S,$$

где $\Delta \rho$ — разность удельных сопротивлений проводника справа и слева от выбранного элемента у его границ. Из двух последних равенств мы получаем связь объемого заряда $\Delta Q$ с разностью удельных сопротивлений на его границах:

$$\Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \cdot \Delta \rho.$$

Объемный заряд на всем участке $AB$ равен сумме подобных элемарных зарядов, то есть

$$Q_{AB} = \Sigma \Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \Sigma \Delta \rho = \varepsilon_0 I_0 (\rho_2 - \rho_1).$$

Поскольку разность $\rho_2 - \rho_1$ отрицательна (по ус-

46

Ловию $\rho_2 < \rho_1$), то и объемный заряд на участке проводника $AB$ будет отрицательным.

В. В. Можаев

Ф936. По длиниому сверхпроводящему соленоду с индуктивностью $L_0 = 1$ Гн, содержащему $N = 200$ витков, течение ток $I_0 = 0,1$ А.*) Издали к соленоду подносят замкнутый проводящий виток того же радиуса, что и витки соленода; индуктивность витка $L_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ Гн. Виток ставляет между витками соленода соосно с ним. Как изменится ток, текущий по соленоду? Как изменится энергия системы?

◆
Do внесения витка магнитный поток через соленид был равен

$$\Phi_0 = L_0 I_0.$$

Этот поток создает всеми витками; считая, что включены炙ных витков в общий поток одинаковы (так можно считать, если витков много и соленид длинный), найдем вклад одного витка (поток, создаваемый одним витком через соленид при токе $I_0$):

$$\Delta \Phi_0 = \frac{L_0}{N} I_0.$$

С другой стороны, общее магнитное поле соленода создает каждый из витков поток $\Delta \Phi_0^*$; сумма таких потоков равна $\Phi_0$; поэтому

$$\Delta \Phi_0^* = \frac{\Phi_0}{N} = \Delta \Phi_0.$$

Значит, магнитный поток через один виток, создаваемый соленидом при токе $I_0$, такой же, как поток через весь соленид, создаваемый одним витком при том же токе. (Это — известный факт.)

Внесем виток в соленид. Пусть $I$ — новый ток в солениде, а $I_1$ — индукционный ток, возникший в витке. Поскольку виток сверхпроводящий, магнитный поток через него должен оставаться неизменным и равным нулю. Этот поток складывает из потока $\Phi$, создаваемого через виток всем соленидом при токе $I$, и собственного потока $\Phi_1$, создаваемого витком с током $I_1$:

$$0 = \Phi + \Phi_1 = \frac{L_0}{N} I + L_1 I_1.$$

Магнитный поток через соленид (сверхпроводящий) также должен оставаться неизменным и равным $L_0 I_0$:

$$L_0 I_0 = L_0 I + \frac{L_0}{N} I_1.$$

Решая совместно (1) и (2), находим токи $I$ и $I_1$:

$$I = I_0 \left( 1 - \frac{L_0}{L_1 N^2} \right)^{-1} \approx 0,103 \text{ A},$$

$$I_1 = - I \frac{L_0}{L_1 N} \approx -0,510 \text{ A}.$$

Таким образом, ток, текущий по солениду, увеличился на $\Delta I = 3 \cdot 10^{-3}$ А. Энергия системы увеличилось:

$$\Delta W = L_0 \frac{I^2}{2} + L_1 \frac{I_1^2}{2} - L_0 \frac{I_0^2}{2} \approx 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$

Энергия возросла за счет механической работы, которая была совершена при внесении витка в соленид (противоположно направленные токи отталкиваются).

А. Р. Зильберман