Задачи М1041—М1045; Ф1053—Ф1057
22
Задчи
M1041 — M1045; Ф1053 — Ф1057
M1041. На плоскости заданы a) четыре, б) три вершины правильно пятнуюЛЬНИКА. С помощью двусторонней линейки восстановите остальные его вершины. (Двусторонней линейкой можно делать то же, что и обычной линейкой без делений, а также проводить прямую, параллельную данной, на расстоянии, равном ширине линейки.)
M1042. В классе ограничуется турип по переггированному каната. В туриперовно по одному разу должны участвовать всевозможные команды, которые можно составить изучшихся этого класса (из одного, двух и т. д. человек, кроме команды всего класса). Докажите, что каждая команда будет совершать с командой, состоящей из всех остальных учеников класса.
И. И. Гриничук
M1043. Можно ли разить множество всех целых чисел на три подмножества так, чтобы для любого целого n числа n—50, n+1987 принадлежали трех разным подмножествам?
С. В. Коняzin
M1044. Докажите, что из четырех чисел всегда можно выбрать два числа x и y, также что
И. И. Сергееев
M1045. В некоторых царстве, некотором государстве, территории которого имеет форму квадрата со стороны 2 км, царь решает создать всех жительей к 7 часов вечера к себе во дворец на бал. Для этого он в полдень посылает с поручением гонца, который может передать любое указание любому жителью, который в свою очередь может передать любое указание любому другому жителью и т. д. Каждый житель до поступления указания находится у себя дома (в известном месте) и может передавать со скоростью 3 км/ч в любом направлении. Докажите, что царь может ограничивать оповещение так, чтобы все жители успели прийти к началу бала.
С. В. Коняzin
Ф1053. В тонком гладком трубопроводе скольzt (в поле силия тяжесте) гибкий однородный шнур (рис. 1). Участики AB и BC трубопровода представляют собой полукружности радиусом R, точки A, B и C лежат на одной вертикали; длина шнура l=2πR. Найти все точки шнура, в которых натяжение равно нулю в тот момент, когда нижний конец шнура находится в точке C.
И. Ю. Потеряко
Ф1054. Два стержня одинаковой формы сделаны из материалов с разными упругими свойствами — модили Юнга материалов равны соответствию E₁ и E₂. Стержни склеены торцами и покрашены одной краской, так что получившийся образец выглядает как однородный стержень. Какой модель Юнга «вещества» этого стержня изменит экспериментатор, не знающий, что стержень составляет?
В. А. Давыдов
23
We have been publishing Kvant’s contest problems every month from the very first issue of our magazine. The problems are nonstandard ones, but their solution requires no information outside the scope of the USSR secondary school syllabus. The more difficult problems are marked with a star (*). After the statement of the problem, we usually indicate who proposed it to us. It goes without saying that not all these problems are first publications. The solutions of problems from this issue (in Russian or in English) may be posted no later than August 1st 1987, to the following address: USSR, Moscow, 103006. Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Please send the solutions of physics and mathematics problems, as well as problems from different issues, under separate cover; on the envelope write the words: “KVANT’S PROBLEMS” and the numbers of all the solved problems; in your letter enclose an unstamped selfaddressed envelope — we shall use it to send you the correction results. If you have an original problem to propose for publication, please send it to us under separate cover, in two copies.
Ф1055. Электрический прибор П подключен к сети переменного тока с напряжением 220 В через конденсатор emкостью C=0,5 мкФ (рис. 2). Амперметр показывает ток I=0,01 А, показание волтметра — U=180 В. Найти мощность, потребляемую от сети прибором. Считать амператор и волтметр идеальным.
А. Р. Зильберман
Ф1056. В схеме, изображенной на рисунке 3, ключ К₃ сначала замкнут, а ключи К₁ и К₂ разомкнуты. В некоторых момент времени замкнут ключ К₁, а пустая время t₁=0,1 с замкнут吻 К₂. Еще через время t₂=0,2 с размыкают吻 К₃. Найти: 1) максимальное напряжение на конденсаторе; 2) ток через катушка L₁ через время t₃=1 с после замкывания吻 К₁. Сопротивлением проводов пренебречь, диод считать идеальным; L₁=1 Гн, L₂=0,5 Гн, C=10 мкФ, U₀=10 В.
А. Р. Зильберман
Ф1057. Гантель, состоящая из двух шариков массой m каждый, закрыпленных на концах легкого стержня длиной 2b, подвешена в горизонтальном положении на двух нерастижных нитях длиной l, расстояние между которых 2a (рис. 4). Найти период малых круглых колбанный гантели.
М. М. Цыпин
Problems
M1041 — M1045; P1053 — P1057
M1041. Let a) four, b) three vertices of a regular pentagon in the plane be given. Construct the other vertices by means of a two—sided ruler. (A two—sided ruler does anything a one—sided unmarked ruler can do and can also be used to draw a line parallel to a given one at the distance equal to the ruler’s width.)
M. I. Grinchuk
M1042. A tug-of-war competition is organized among the pupils of a certain class. Every possible team which can be made up of one, two, etc. pupils (but not the entire class) must participate exactly once. Prove that each team will compete against the team consisting of all the other pupils of the class.
I. N. Sergeev
M1043. Can the set of all integers be partitioned into three subsets so that for any integer n the numbers n, n−50, n+1987 will belong to three different subsets?
S. V. Konyagin
M1044. Prove that out of any four positive numbers it is always possible to choose two numbers x and y such that
I. N. Sergeev
M1045. Once upon a time the King of a small square Kingdom of side 2 km decided to invite all his subjects to a Ball at the Court at 7 PM. At noon he dispatched a Messenger who could transmit any message to any inhabitant of the Kingdom, who in turn could transmit any message to any other inhabitant, etc. Each inhabitant stays at his house (whose location is known) until he gets a message and then walks at 3 km per hour in the required direction. Prove that the King could have organized the transmission of messages so that all his loyal subjects could reach the Court in time for the Opening of the Ball.
S. V. Konyagin