Московский станкоинструментальный институт

60

5. При скоростном спуске с горы с углом наклона α=30° лыжник набрал скорость v=72 km/ч. Козффициент треня льжо о снег μ=0,1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. С какой максимальной скоростью будет двигаться тот же лыжник по склону с углом наклона β=45°? Длину каждого склона считать достаточно большей.

Публикация подготовили А. В. Ефимов, В. М. Орлов, А. С. Поспелов, А. Ю. Хренников

Московский станокистриментальный институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\log_3(3x^2-13x+28)+\frac{2}{9})=\log_50,2.$$
2. Определите значения k, при которых корни уравнения
   $$x^2-(3k+2)x+k^2=0$$
   удовлетворяют соответствию x₁=9x₂.
3. Решите уравнение
   $$6\sin^2x+\sin x\cdot\cos x-\cos^2x=2.$$
4. Колина воск протяжением 2 км движется по шоссе маршем со скоростью 3 km/ч. Копилый вестовой выездает из конца колонны в ее начало, передает приказание и тотчас же отправляется обратно. На проезд туда и обратно вестовой тракт 30 мин. Определите скорость вестового, если она на всем пути была одинакова.
5. В основании треугольной примыцы лежит равноведенный треугольник, площадь которого равна S, а угол при вершине равен α. Боковые ребра примыцы образуют с высотой один и тот же угол β. Найдите объем примыцы и радиус шара, описанного около нее.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\lg \frac{5x^2+20x^2}{5}=x.$$
2. Найдите все значения a, для которых неравенство
   $$(a-1)x^2-(a+1)x+a+1>0$$

выполняется при всех действительных значениях x.
3. Решите уравнение
$$1+\sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x=0.$$
4. Произведение цифр двухначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
5. Основанием примыцы служит равноведенный треугольник, у которого боковая сторона равна a, а угол при вершине равен α. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите объем примыцы и тангенс угла наклона боковой грани, противоложей углу α, к основанию.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Спутник движется вокруг Земли по круговой орбите, радиус которого в два раза больше радиуса Земли. Определите скорость движения спутника, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна v₁=8 km/c.
2. Одинородная доска массой M=1 кг лежит на столе так, как показано на рисунке 1. Груз какой массью надо положить на правый конец доски, чтобы левый ее конец начал подниматься?
3. В герметичном состоянии объем V=20 л находится смесь насыщенного водыного пара с гелем. Давление смеси p=2·10⁵ Па, температура T=373 К. Определите количество тела в сосстве. Молярная масса геля Mₙ=4 г/mоль.
4. При аднабатическом распределении один моль идеального одноатомного газа совершил работу A=1,25 кДж. Найдите изменение температуры газа.
5. В卡尔итметре смещали m₁=1 кг льда, имеющего начальную температуру t₁=-10 °C, и m₂=100 г воды при температуре t₂=0 °C. Определите температуру смеси и ее агрегатное состояние после установки теплового равновесия. Теплообменом с卡尔итметром и с окружающей средой пребрежь. Удельная температура лыбда λ=336 кДж/кг, удельная темперакость лыбда c₁=2,1 кДж/(кг·К).
6. Какое количество теплоты выделится на резисторе сопротивлением R после замыкания ключа (рис. 2)? Заряд конденсатора q, площади пластин S, расстояние между пластинами d, диэлектрическая проницаемость ε=1.
7. Проволочный виток пластин S и сопротивлением R находится во внешнем одноатомном магнитном поле с индикцией B. Линии индикции поля образуют угол a с нормалью к поверхности витка. Какой загядит по витку, если поле выключить?

61

8. Найдите увеличение изображения отрезка $AB$, даваемого тонкой рассеивающей линей с фокусным расстоянием $F$ (рис. 3).

9. Для выжигания по дереву использот лупу с четырехкратным увеличением, фокусируя с ее помощью солнечный свет. На каком оптимальном расстоянии от поверхности дерева надо держать лупу?

Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко
Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. $v = \frac{\sqrt{3}}{4} h^3 \text{ctg}^2 \varphi$.
2. $x \in \left[ \frac{1}{27}; 1 \right] \cup [9; \infty]$.
3. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
4. $ED = \frac{2\sqrt{2}}{3} a \sqrt{k+1}, 1/4 \leq k < \frac{1}{2}$.
5. 11 555 550. Указание. Просуммируйте сначала все числа, отличные от 1 111 110.

Вариант 2

1. $x \in [0; 1] \cup [2; 6]$.
2. $x = (-1)^{k-1} \arcsin \frac{1}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $\frac{v_1}{v_2} = \frac{qD}{Qd}$.
4. $h = r \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
5. $t = \frac{59}{38}$ c.

Вариант 3

1. 53%.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, x = \frac{\pi}{4} + l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
3. $\left[ -3; \frac{7}{8} \right] \cup \left[ \frac{9}{8}; 5 \right]$.
4. $5 \frac{10}{11}$.
5. $\varphi = 2 \text{ arctg} \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Вариант 4

1. $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, x = (-1)^{\frac{\pi}{3}} + 2l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
2. $x \in ] - \infty; 2[ \cup [4; 8]$.
3. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
4. $x = 1, y = 2, z = 3; 6)$ $x = -1, y = -2, z = -3$.
5. $Q = \sqrt[3]{\frac{9v^2}{16 \sin^2 a}}$.

Задачи устного экзамена

1. $x = 4k + 2, k = -2, -3, \dots$

2. $n$-я группа состоит из $n$ последовательных четырехых или нечетных чисел. $S_n = \left( \frac{n^2}{2} + 1 \right) n$

3. В планетарной модели atoms водорада электрон врашается вокруг ядра по круговой орбите. Какой кинетический энергий обладает электрон на орбите радиусом $r = 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}$? Заряд электрона $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ K}$. Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$

Публикацию подготовили Л. Н. Дазаева, Д. В. Подлесяй

Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко
Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. $v = \frac{\sqrt{3}}{4} h^3 \text{ctg}^2 \varphi$.
2. $x \in \left[ \frac{1}{27}; 1 \right] \cup [9; \infty]$.
3. $x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
4. $ED = \frac{2\sqrt{2}}{3} a \sqrt{k+1}, 1/4 \leq k < \frac{1}{2}$.
5. 11 555 550. Указание. Просуммируйте сначала все числа, отличные от 1 111 110.

Вариант 2

1. $x \in [0; 1] \cup [2; 6]$.
2. $x = (-1)^{k-1} \arcsin \frac{1}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
3. $\frac{v_1}{v_2} = \frac{qD}{Qd}$.
4. $h = r \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.
5. $t = \frac{59}{38}$ c.

Вариант 3

1. 53%.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, x = \frac{\pi}{4} + l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
3. $\left[ -3; \frac{7}{8} \right] \cup \left[ \frac{9}{8}; 5 \right]$.
4. $5 \frac{10}{11}$.
5. $\varphi = 2 \text{ arctg} \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Вариант 4

1. $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}, x = (-1)^{\frac{\pi}{3}} + 2l\pi, l \in \mathbb{Z}$.
2. $x \in ] - \infty; 2[ \cup [4; 8]$.
3. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
4. $x = 1, y = 2, z = 3; 6)$ $x = -1, y = -2, z = -3$.
5. $Q = \sqrt[3]{\frac{9v^2}{16 \sin^2 a}}$.

Задачи устного экзамена

1. $x = 4k + 2, k = -2, -3, \dots$

2. $n$-я группа состоит из $n$ последовательных четырехых или нечетных чисел. $S_n = \left( \frac{n^2}{2} + 1 \right) n$

3. В планетарной модели atoms водорада электрон врашается вокруг вокруг ядра по круговой орбите. Какой кинетический энергий обладает электрон на орбите радиусом $r = 5 \cdot 10^{-11} \text{ m}$? Заряд электрона $e = 1,6 \times 10^{-19} \text{ K}$. Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$

Публикацию подготовили Л. Н. Дазаева, Д. В. Подлесяй

Физика
Физическая факультет

1. $n = \sqrt{2h/g} v/d = 90$.
2. $x = 0,66 \text{ m} (x\text{ является положительным корнем квадратного уравнения } x^2 - 2hx - 2hH = 0)$.
3. $T_{\min} = \sqrt{3\pi/(G\rho)} = 0,0012 \text{ c} (G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ m}^3/(kr \cdot c^2)) - гранитционная постоянная$.
4. $p = \frac{\rho gh ((l-h)^2/4 - a^2)}{a(l-h)} = 20000 \text{ Pa}$.
5. $v = NRT/(pSMr) = 7,6 \text{ m/c} (p = 10^5 \text{ Pa} - нормальное атмосферное давление, M = 18 \times 10^{-3} \text{ кг/mol} - молярная масса воды)$.
6. $\varphi = 6,9^\circ (\varphi\text{ является корнем квадратного уравнения } \varphi^2 - 2\pi\varphi + 4\pi^2r/R = 0)$.
7. $U_1 = \frac{\mathcal{E}(n-1)C_2}{n(C_1+C_2)}; U_2 = \frac{\mathcal{E}(n-1)C_1}{n(C_1+C_2)}$.
8. $f \approx 4 \text{ m} (f\text{ является решением системы двух уравнений} - \text{ формул линей } \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \text{ и } \frac{1}{d-l} + \frac{1}{f+L} = \frac{1}{F})$.
   Radиофизическая факультет
9. $t = \sqrt{\frac{2H}{g \sin \alpha (\sin \alpha -tg \beta \cos \alpha)}}$.
10. $E_2 = \frac{F^2t^2}{4E_1} \left(v_0 + \frac{2E_1}{Ft}\right)^2 = 5,3 \text{ Дж}$.
11. Плотность куба в 4 раза меньше плотности воды, а плотность камня в 2 раза больше плотности воды.
12. $n = (mRT)/(pVM_0) = 2 (M_0 = 58 \text{ г/mоль} - молярная масса гРПы C_3H_6O)$.

63

$$V = \frac{S \sqrt{2S \sin \alpha}}{6 \cos \alpha / 2 \sin \alpha \mathrm{tg} \beta}.$$

Вариант 2

1. $\{-1; 1\}$. 2. $a \in ]5/3; +\infty[$.
2. $x_1 = \pm \frac{2}{3} \pi + 2\pi k; x_2 = -\frac{\pi}{4} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
3. 24. 5. $V = (a^3 \sin \alpha / 2 \cdot \mathrm{tg} \beta) / 6; \mathrm{tg} \varphi = \mathrm{tg} \beta \times (\cos \alpha)^{-1}$.
          Физика
4. $v = v_I / \sqrt{2} = 5,7$ km/c.
5. $m \geqslant M / 2 = 0,5$ кг.
6. $v = (p - p_H)V / (RT) = 0,6$ моль (здесь $p_H = 10^5$ Па — давление насыщенных водяных паров при данной температуре).
7. $\Delta T = -2A / (3R) = -100$ К.
8. После установки температуры теплового равновесия в calorimetре будет смесь льда и воды при температуре $0^\circ C$, причем воды будет $m_B = m_2 - (c_1 m_1 \Delta t_1) / \lambda = 0,04$ кг = 40 г.
9. $Q = q^2 d / (2 \varepsilon_0 S)$ (здесь $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная).
10. $q = (BS \cos \alpha) / R$.
11. $\Gamma = 1/6$.
12. $l = F = d_0 / 4 = 6,25$ см (здесь $F$ — фокусное расстояние лупы, $d_0 = 25$ см — расстояние на лиучшего зрения).
13. $E_k = e^2 / (8 \pi \varepsilon_0 r) = 2,3 \cdot 10^{-18}$ Дж.

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 4)

1. $\times \frac{292}{211}$
2. $\frac{292}{292}$
3. $\frac{584}{61612}$
4. Старший брат родился в 1962 году, а младший в 1969 году.
5. Цель на рисунке не замкнута, поэтому tok по ней не потребет.
6. Если заменить каждую цифру «счастливого» билета ее дополнительем до 9, т. е. 0 на 9, 1 на 8 и т. д., то полученный билет тоже будет «счастливым», причем если билет был из первого катушки, то полученный билет будет из второй катушки. Отсюда следует, что в каждой катушке одно и то же количество «счастливых» билетов.
7. Соединним одну из середин сторон с вершинами противоположной стороны отрезками

Рис. 2.
(рис. 2). Синий и красный треугольник равновесики, значит, равновесики и белые треугольники. Но в этом случае их высоты, опущенные на нижние стороны, равны, следовательно, верхняя сторона четырехугольника параллельна нижней.

«Квант» для младших школьников
(cm. «Квант» № 3)

1. В обихх случаях кубик опустится на 3 см.
2. Задча имеет два решения. Первое решение:

Рис. 3.
1 кошка, 1 собака и 1 попугай, при этом нет тараканов; второе решение: 2 таракана — и больше нет никаких других домашних животных.
3. Сложим из четырех полученных треугольников четырехугольник так, как показано на рисунке 3. Это можно сделать в силу равенства соответствующих сторон треугольников и того факта, что сумма углов 1, 4, 9 и 12 равна 360°, как сумма внутренних углов четырехугольника. Параллельность сторон полученного четырехугольника нетрудно проверить. Из того, что сумма углов 10 и 11 равна углу 1, следует, что сумма углов 10, 3, 5, 11 равна 180°. Поэтому стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Параллельность стороны $AC$ и $BD$ доказывается аналогично.
4. Положим на левую чашку монету в 5 коп., а на правую чашку монеты в 2 и 3 коп. Если весы будут в равновесии, то бракованная монета — в 1 коп. Если перевести одна из чашеки, то положим на левую чашку монету в 3 коп., а на правую — 2 и 1 коп. Если сейчас весы в равновесии, то бракованная монета — в 5 коп. Если при втором взвешивании будет лечение та же чашка, что и при первом взвешивании, то бракованная монета — 2 коп., в противном случае — монета в 3 коп.
5. $H = 0, A = 1, B = 2, O = 3, E = 4, K = 5, T = 6, I = 7, P = 8, Π = 9$.

Калейдоскоп «Кванта»
(cm. «Квант» № 4)
Головоломки

1. См. рис. 4.
2. См. рис. 5.
3. $18,75 \cdot 10^{-4}$ л см.

64

Наша обложка
(см. «Квант» № 4, 4-ю с. обложки)

Занumerем примидки из шариков так, как показано на рисунке 6. Последовательное перекатим примидки 7, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 6, 6, 10, 11, 11, 8, 8, 2, 2, 1, 4, 6, 10, 10, 11, 11, 8, 2, 7, соблюдая общее направление движения по часовой стрелке вокруг кружка, отмещенного звездочек. Получим циклическую перестановку 1→2→8→11→10→6→4→1. Аналогично можно получить симметричный «цикл» 2→3→5→9→12→11→7→2. Эти два цикла позволяют получить любое распределение цветов примидок.

Рис. 6.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 2)

Задание 3 (Г. Ринк, 1937 г.). 1. Ke5+ Кре8 2. Kpb8! Фh7 3. Фe6+ Кpf8 (3… Фe7 4. Фc6+ Кpf8 5. Кg6+ с выигрышем ферзя) 4. Kd7+ Крg7 5. Фf6+ Крg8 6. Фf8×.

Задание 4 (К. Манн, 1922 г.). 1. Фa8+ Фg8 2. Фa7 Фg7 3. Фb8+ Фg8 4. Фe5+ Фg7 5. Фe8+ Фg8 6. Фd7 Фf7 7. Фd4+ Фg7 8. Фd8+ Фg8 9. Фf6+ Фg7 10. Фh4+ Крg8 11. Cd5+ Кpf8 12. Фd8×.

Номер подготовки:
A. Н. Виленкин,
A. А. Егоров, И. Н. Клумова, Т. С. Петрова,
A. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов, Т. Н. Кольченко, Н. С. Кузьмин, Э. В. Назаров, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, И. И. Чернуский, В. В. Юдин

Фото представили:
Фотохронника ТАСС

Заведующая редакцией Л. В. Чернова
Редактор отдела художественного оформления
С. В. Иванов
Художественный редактор Т. М. Макаров
Корректор Т. С. Вайсберг

Сдано в набор 18.03.87. Подписано к печати 27.04.87.
Т-09765. Бумага 70×108/16. Печать офсетная.
Усл. кр.-от. 23,8. Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,02.
Тираж 208 234 экз. Цена 40 коп. Заказ 721.

Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полигraphический комбинат ВО «Соизоплографром»
Государственный комитет СССР
по делам издательств, полигraphии и книжной торговли 142300 г. Чехов Московской области