Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

55

Киевский государственный университет
им. Т. Г. Шевченko

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Высота правильной треугольной примыды равна $h$, а ее боковое ребро наклонено к плоскости основания примыды под углом $\varphi$. Найдите объем примыды.

2. Решите неравенство
   $$\log_3 x + 1 \geq 3 \log_2 x$$.

3. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{1 + \sin x}{6}} + \sin x = 0.$$

4. Сторона ромба $ABCD$ равна $a$. Точки $M$ и $N$ являются соответственно серединами его сторона $AB$ и $CD$, $E$ — внутренняя точка стороны $BC$, а отрезки $AE$ и $MN$ пересекаются в точке $O$. Отношение площади четырехугольника $OECN$ к площади ромба $ABCD$ равно $k$ и $\cos A = \frac{4k - 1}{3}$. Найдите отрезок $ED$. При каждих значениях $k$ ромб, удовлетворяющий условием задачи, существует?

5. Найдите сумму всех тех семизначных чисел, которые делятся на 15 и записьвают лишь цифрами 0,1.

Вариант 2
(радофизическая факультет)

1. Решите неравенство
   $$\log_{25}(6 - x)\log_5 x < 1$$.

2. Решите уравнение
   $$\text{tg} x = \text{tg}^3\left(\frac{\pi}{4} - x/2\right).$$

3. Два сосуда наполняются жидкостьми, плотности которых равны $d$ и $D$. При этом они весят соответственно $q$ и $Q$ кг включая и вес самих сосудов. Найдите отношение объемов сосудов, если вес каждой из них составляет одинаковую часть веса жидкости, в нем находится.

4. Шар радиусом 2 касается всех ребер треугольной примыды. Центр шара лежит внутри примыды на ее высоте и расположен на расстоянии $2\sqrt{3}$ от вершины. Доказите, что примыда правильная. Найдите высоту примыды.

5. Материальная точка $M_1$ движется со скоростью 2 м/c вдоль оси $ox$ в отрицательном направлении, а материальная точка $M_2$ движется со скоростью 3 м/c вдоль прямой $y = \sqrt{3}x$ в направлении вектора $(1, \sqrt{3})$. Начальный момент времени точка $M_1$ имела координаты $(5; 0)$, а точка $M_2$ — координаты $(-\frac{3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2})$. В какой момент времени расстояние между точками будет минимальным?

Вариант 3
(xимический факультет)

1. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащого 6 % примесей. Какой процент примесей содержится в руде, если в шлаки, образуются при выплавке, металл не попадает?

2. Решите уравнение
   $$\sin 2x - \cos 2x = 1 - 2(\cos x - \sin x).$$

3. Решите неравенство
   $$2 \log_2^2 |x - 1| + \log^2 \frac{(x - 1)^2}{8} \leq 9.$$

4. Сумма одинадцати начальных членов геометрической прогрессии составляет 20 % суммы ее последующих одинадцати членов. Во сколько раз первый прогрессий меньше одинадцато члена?

5. Данные две правильные примыды с равными основаниями. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания в первой из них в два раза больше угла наклона бокового ребра к плоскости основания во второй, а объем первого примыды в 4 раза больше объема второй. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания в первой примыде.

Вариант 4
(библиотечный факультет)

1. Решите уравнение
   $$\sin \frac{x}{2} + \cos x = 1.$$

2. Решите неравенство
   $$\log_0.5 \frac{x - 4}{2x + 5} > 1.$$

3. Основание треугольника равно $a$. Найдите длину отрезка, делшего плоскольника пополам и параллельного основанию.

4. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x + y + z = 18, \\ y + z + x + y = 30, \\ z + x + y + z = 24. \end{cases}$$

5. Двугранный угол при основании правильной четырехугольной примыды равен $a$, а объем примыды равен $v$. Найдите площадь боковой грани примыды.

Задачи устного экзамена

1. Найдите все целые решения системы неравенств
   $$\begin{cases} \frac{3}{x - 2} \geq x, \\ \cos \pi/x < 0. \end{cases}$$

2. Если $|a| < 1$, то $1 + \frac{a}{2}$ является приближенным значением $\sqrt{1 + a}$ с избытком, причем погрешность не превышает $\frac{a^2}{8}$. Доказите это.

3. Натуральные числа разбииты на группы следующего образом:
   (1) (2,4) (3,5,7) (6,8,10,12) (9,11,13,15,17) …
   Сформируйте правильное построение графики. Найдите сумму всех чисел в $n$-й группе.

4. При каких значениях $a$, $b$ функция
   $$y = \frac{ax^2 + bx + 1}{x^2 + bx + a}$$ является построенной?

5. При каких значениях $n$ функция