Правильное решение геометрической задачи

Квант 1987, №5 с. 50, 53, 54 Тег SYBS

Кандидат педагогических наук
Э. Г. ГОТМАН

Как известно, при решении геометрической задачи необходимо рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения элементов фигуры. Решение задачи, допускающей различные конфигурации, будет неполным и ошибочным, если ограничиться рассмотрением лишь одного из возможных случаев. Решая такие задачи, важно не ошибиться, приняв частье за общee.

С подобными ошибками стalkиваются учитель на уроках, члены жюри олимпiad. Задачи с неполными и неверными решениями встреются и в литературе для учащихся.

Приведем несколько примеров, взятых нами из различных сборников олимпiadных задач.

Задание 1. Впишите в данной треугольник ABC прямогольник с наименьшей диagonальной.

Решение. Пусть в треугольник ABC вписан прямогольник KLMN так, что его сторона KL лежит на прямой BC, а вершины M и N — на сторонах AC и AB (рис. 1,a). Пусть AD — высота треугольника ABC. Построим треугольник A’B’C’ с прямым углом C’ так, чтобы стороны BC и B’C’ были равны и расположились на одной прямой, и чтобы прямые AA’ и BC были параллельны (рис. 1,б). Тогда A’C’=AD=h.

Докажем, что если в треугольники ABC и A’B’C’ вписаны прямогольники KLMN и K’L’M’N’, имеющие равные высоты KN и K’N’, то эти прямогольники равны.

Рис. 1.

по одному сторону от точки A (рис. 3, 6);
одна из них, например, точка C будет совпадать с точкой A (сделайте рисунок).
В случае, если точка C лежит между точками A и B (рис. 3, 6), отрезком секущей, заключенным внутри кругов, является не отрезок BC, а отрезок AB — хорда окружности!
Хорда же имеет наибольшую длину, если она проходит через центр и является диаметром окружности. Таким образом, следует еще выяснить, какой из отрезков больше: отрезок, параллельный прямой O₁O₂, длина которого равна 2O₁O₂ (убедитесь самостояльно, что во всех перечисленных случаях BC=2H₁H₂), или же диаметр 2R больше окружности (рис. 3, 6).
Okончательное получается следующее ответ:
если O₁O₂ > R, то секущую следует проверить параллельно линии центров O₁O₂;
если O₁O₂ < R, то секущую следует проверить через центр большей окружности;
если O₁O₂ = R, то условию задачи удовлетворяют две прямые, одна из которых параллельна O₁O₂, а другой проходит через центр большей окружности (рис. 3, 6).
Для окружностей одинакового радиуса получается аналогичный ответ, только в случае O₁O₂ ≤ R к указанным прямым добавляется еще пряная, прохождение через центр второй окружности.

Упражнение 3. Через точку пересечения двух окружностей проведите секущую так, чтобы ее часть, заключенная внутри кругов, была наименьшей.

В качестве упражнения приведем еще несколько задач с «решениями», в которых читатель предлагается самостоятельно найти ошибку.

Задача 4. Из всех треугольников ABC с данным основанием BC и данным углом при вершине A найдите треугольник, имеющий наибольшую медиану, проведенную к основанию.

«Решение». Пусть ABC — равноведренный треугольник и A’BC произвольный треугольник, имеющий с треугольником ABC общее основание BC и угол A’, равный углу A (рис. 4).
Тогда точка A’ лежит на дуге BAC окружности, описанной около треугольника ABC. Обозначим центр этой окружности через O и середину стороны BC через D. Mediana AD равноведренного треугольника ABC является его осью симметрию. Поэтому точка O лежит на AD и, следовательно, AD=AO+OD. Из треугольника A’OD имеем A’D<A’O+OD=AO+OD=AD. Значит, из всех треугольников ABC с данным основанием BC и постоянным углом A при вершине наибольшую медиану имеет равноведренный.

Задача 5. Из всех треугольников ABC с данным основанием BC и постоянной высоты АН найдите треугольник, около которого можно описать окружность наименьшего радиуса.

«Решение». Пусть ABC — равноведренный треугольник с основанием BC и постоянной высоты АН, и A₁BC— произвольный треугольник с такой же высотой, точки A и A₁ лежат на прямой l, параллельной прямой BC (рис. 5). Okружность, описанная около треугольника ABC, касается l в точке

ke $A$ , значит, точка $A_1$ лежит вне этой окружности. Поэтому угол $A$ больше угла $A_1$ .

Радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$ , вычисляется по формуле $R = \frac{a}{2 \sin \hat{A}} (a = BC)$ . А так как $\sin \hat{A} > \sin \hat{A}_1$ , то наименьший радиус имеет окружность, описанная около равноведренного треугольника.

Ответ: равноведренный треугольник с основанием $BC$ и данной высотой.

Задача 6. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$ . Известно, что $CH = AB$ . Найдите угол при вершине $C$ .

«Решение». Пусть $BD$ и $CE$ — высоты треугольника $ABC$ (рис. 6). Поскольку треугольники $ABD$ и $CDH$ имеют равные гипotenузы ( $AB = CH$ ) и равные острыя углы ( $\angle ABD = 90^\circ$ — $\angle BAC = \angle ACE$ ), они равны. Позотому $BD = CD$ . Значит, прямойный треугольник $BCD$ — равноведренный, следовательно, $\angle ACB = 45^\circ$ .

Задача 7. Определите площать трапецц по двум диагоналям 17 см и 113 см и высоте 15 см.

«Решение». Пусть $ABCD$ — данная трапецция, $CH$ — ее высота (рис. 7). Проведем $CB' \parallel BD$ до пересечения с $AB$ в точке $B'$ . Четырехугольник

Из истории добей
(Начало см. на с. 34)

числами. С дробями они представляют высоту купцам, ремесленникам, а также землелемрам, астрономам и механикам. Но старая последница горит: «Гони природу в дверь, она влентит в окно». Позотому и встроенные сочининия греков доби проникали, так сказаны, «с заднего хода». Кроме арифметики и геометрии, в греческую математике входила … музыка. Музькой греки называли ту часть нашей арифметики, в которой горится об отношениях и пропорциях.

Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длине натянута страна, тем ниже, «толше» получается звук, который она издает. Они знали, что короткая страна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для уха, длина звучших частей их должны быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя странами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным же образом кванте соответствует отношение 2:3, кварте — относение 3:4 и т. д. Поэтому учение об отношениях, о дробях и связьалову у греков с музыкой.

Современную систему записи добей с числителем и знаменателем создают в Индии. Только писали знаменатель сверху, а числитель сизу и не писали добной черты. А записывать доби в точности, как сейчас, стали araбы.