Московский физико-технический институт

55

Московский физico-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\frac{2}{3}\sqrt{x+9} - \sqrt{\frac{x^2+8x}{x+9}} = \frac{3}{\sqrt{x+9}}.$$
2. Найдите все значения $a$, при которых расстояние между вершинами парабол $y=x^2+ax+\frac{2}{3}$ и $y=3x^2+5ax+\frac{19}{12}a^2$ больше $\frac{\sqrt{29}}{3}$.
3. Окружность с центром в точке пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ равнобедренной трапеции $ABCD$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $AB$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если известно, что ее высота равна 16, а радиус окружности равен 3.
4. Найдите все решения уравнения
   $$\frac{4\cos 4\pi x}{1+3\mathrm{ctg}^2\pi x} = -1,$$
   удовлетворяющие неравенству
   $$\log_7 \frac{11}{16} \left( \frac{11}{32} - \frac{13}{8} x - x^2 \right) < 0.$$
5. В основании парамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$, в котором $AD=2$, $BC=1$, высота трапеции равна 3. Высота парамиды проходит через точку $O$ пересечения диагоналей трапеции, $SO=\frac{4}{\sqrt{5}}$. Точка $F$ лежит на отрезке $SO$, причем $SF:FO=1:3$. Цилиндр, ось которого паралельна апофеме грани $SAD$, расположен так, что точка $F$ является центром его верхнего основания, а точка $O$ лежит на окружности нижнего основания. Найдите площадь части верхнего основания цилиндра, лежащей внутри парамиды.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\log_2(-\sin x) - \log_4\cos x = -\frac{1}{2} + \log_43.$$
2. На гипотенuse $AB$ прямогольного треугольника $ABC$ выбраны точки $K$ и $L$ так, что $AK=KL=LB$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $CK=\sqrt{2}CL$.
3. Касательная к графику функции $y=\frac{27}{2}x^4-\frac{1}{2}$ обращет с осью абсцисс угол, равный arctg 2, и пересекает в точках $A$ и $B$ окружность с центром в начале координат. Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AB=1$.
4. Дано уравнение
   $$x^2+3xy+3ay^2+\left(\frac{9}{2}-a\right)y+4x+5=0.$$
   Найдите все значения $a$, при которых:

1. это уравнение имеет хотя бы одно решение при $y=2$;
2. найдется хотя бы одна пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая этому уравнению.

5. В правильной треугольной парамиде $SABC$ ($S$ — вершина) точка $P$ середина апофемы $SD$ грани $SBC$. На ребре $AB$ взята точка $M$ так, что $MB:AB=2:7$. Сфера, центр которого лежит на прямой $MP$, проходит через точки $A$, $C$ и пересекает прямую $BC$ в точке $Q$ так, что $CQ=m$. Найдите объем парамиды $SABC$, если известно, что радиус сферы равен $\frac{m}{\sqrt{3}}$.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Арбуз взешивают в салоне самолета наружных весах один раз перед взлетом, а другой — во время полета самолета вдоль meridiana. Какой должны быть бы быть скорость самолета, чтобы показания весов в полете уменьшились на 1/16 по сравнению с их показаниями перед взлетом? Радиус Земли принять равным $R=6400$ км. Вращением Земли вокруг своей оси и высотой полета самолета по сравнению с радиусом Земли претенбреть.
2. Один моль одноатомного идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависимости давления от объема, изожары и изобары (рис. 1). Найдите количество теллотов, подведенное к газу на участках цикла, где температура газа растет. Температура газа в состоянии 1 и 2 равна $T_1=300$ К, относение объемов на изобаре $V_3/V_1=5/2$, направление обхода цикла указано стрелками. Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).
3. При замкнутом ключе $K$ (рис. 2) волтметр $V_1$ показывает $U_1=0,8\%$ (эДС бата-