16
КВАНТ 2010/№5
В июне этого года безвременно скончался Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс (1962 – 2010), замечательный математик и педагог, светлый и обаятельный человек. Наши читатели не раз встречали это имя – журнал «Квант» часто публиковал его задачи. Дмитрий Германович успешно работал в большой науке, но это была лишь часть его деятельности. Вторую составляли математические олимпиады школьников: он работал в жюри Всесоюзных и Всероссийских олимпиад, а в последние годы – и Международных. Читал лекции в различных математических лагерях и школах, был одним из тренеров нашей команды на Международной математической олимпиаде. Мы предлагаем вашему вниманию запись (с небольшими сокращениями и с сохранением авторского стиля) лекции, прочитанной Д. Фон-Дер-Флаассом во Всероссийском детском центре «Орленок» в 2009 году.
Теоремы софиста Горгия и современная математика
Д.ФОН-ДЕР-ФЛААСС
БЫЛ ТАКОЙ АНТИЧНЫЙ СОФИСТ ГОРГИЙ. ЗНА- менит он тем, что сформулировал три теоремы. Первая теорема звучит так: ничто в мире не существует. Вторая теорема: а ежели что и существует, то непознаваемо для человека. Третья теорема: а ежели все-таки что-то познаваемо, то непередаваемо ближнему. Другими словами, нет ничего, а ежели что-то есть, то мы об этом ничего не узнаем, а ежели даже что-то и узнаем, рассказать никому не сможем. Я добавил бы к этим трем теоремам еще четвертую: если даже мы и сможем что-то рассказать, то никто не заинтересуется. И вот эти четыре теоремы – это, собственно говоря, основные проблемы современной математики.
Первая теорема Горгия
Начнем с первой – ничто в мире не существует, или, в переводе на язык математики, математика занимается непонятно чем. В некотором смысле это действительно так. Ведь математических объектов в мире не существует. Самое простое, с чего все начинается и чем математики все время пользуются, – это натуральные числа. Что такое натуральные числа, все мы знаем – это 1, 2, 3, 4 и так далее. И вот то, что мы все понимаем смысл слов «и так далее» – это большая загадка. Потому что «и так далее» означает, что чисел «бесконечно много». В нашем мире нет места для того, чтобы было бесконечно много чего-то. Но все мы уверены, что когда мы думаем о натуральных числах, мы все думаем об одном и том же. Если у меня после 7 следует 8, то и у вас после 7 будет следовать 8. Если у меня 19 – простое число, то у вас 19 будет простое число. Вот почему? Вроде бы в мире этого объекта нет, но мы о нем знаем и все знаем
Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс примерно одно и то же. Это, конечно, загадка не математическая, это загадка философская, и пусть философы ее обсуждают. Нам достаточно того, что, к счастью, мы все-таки имеем представление о математических объектах и оно одно и то же у всех, кто начинает о них задумываться. И поэтому математика возможна. Но большая философская проблема остается. Если, как это принято у математиков, задуматься об этом всерьез, т.е. попытаться как-то строго об этом подумать, то тогда возникают проблемы, о которых я сейчас расскажу. Возникли они на памяти человечества совсем недавно, буквально в последнюю сотню лет.
17
ТЕОРЕМЫ
СОФИСТА
ГОРГИЯ
Кроме натуральных чисел есть еще много чего в математике. Есть наша евклидова плоскость, на которой мы рисуем всякие треугольники, углы, доказываем о них теоремы. Есть действительные числа, есть комплексные числа, есть функции, есть еще что-то более страшное… Где-то на рубеже XIX – XX веков была проделана очень большая работа (хотя началась она, конечно, немного раньше), люди поняли, что все многообразие математических объектов в принципе можно свести к единому понятию – понятию множества. Конечно, если мы просто имеем интуитивное представление о том, что такое множество и что такое «и так далее», мы сможем построить в принципе всю математику. Что такое множество? Ну, это просто множество чего-то. Вопрос в том – что с множествами можно делать? Если у нас есть какое-то множество, то что означает, что оно у нас есть? Это означает, что про любой элемент нашего мира, мира математических объектов, мы можем спросить, а он в этом множестве лежит или не лежит, и получить ответ. Ответ однозначный, совершенно не зависящий от нашей воли. Вот это то первое, базовое, что можно с множествами делать, – узнавать, принадлежит элемент множеству или не принадлежит. Конечно, нужно еще сами эти множества как-то строить. Чтобы из них, в конце концов, построилось все богатство математических объектов. Как их можно строить? Можно, скажем, построить пустое множество: . Самое первое, самое простое. Про него мы что знаем? Что про какой бы элемент мы ни спросили, принадлежит ли он этому множеству или нет, ответ всегда будет – нет, не принадлежит. И этим пустое множество уже однозначно определено. Все вопросы о нем получают мгновенный ответ. Ура! Теперь у нас уже есть вот это само пустое множество. И мы можем построить множество, которое ничего не содержит, кроме пустого множества: . Опять же, что значит, что мы имеем это множество? Это значит, что про любой элемент мы можем спросить, он этому множеству принадлежит или нет. И если этот элемент – пустое множество, то ответ будет – «да». А если этот элемент любой другой, то ответ будет – «нет». Итак, это множество тоже задано. С этого все начинается. Можно использовать еще несколько интуитивных операций. Если у нас есть два множества, то мы можем их объединить. Можно сказать, что теперь будет множество, в котором будут элементы из того или из другого множества. Опять же, ответ на вопрос, принадлежит ли элемент полученному множеству или нет, однозначен. Значит, объединение мы можем построить. И так далее. В какой-то момент приходится отдельно объявить, что все-таки у нас есть какое-то множество, в котором элементов бесконечно много. Поскольку мы знаем, что натуральные числа есть, мы верим, что бесконечное множество существует. Объявляем, что множество натуральных чисел у нас тоже доступно. Как только появляется бесконечное множество, так дальше уже можно пуститься во все тяжкие и определять уже все
И
СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
что угодно. Можно определить целые числа. Целое число – это либо ноль, либо натуральное число, к которому приставлен или не приставлен знак минус. Все это, (может, и не так очевидно, как я говорю), можно проделать и на языке теории множеств. Можно определить рациональные числа. Что такое рациональное число? Это пара из двух чисел – числителя и (ненулевого) знаменателя. Нужно только определить, как их складывать, как их умножать между собой. И каковы условия, когда такие пары считать одним и тем же рациональным числом. Что такое действительное число? Вот интересный шаг. Вы можете сказать, например, что это бесконечная десятичная дробь. Вполне хорошее будет определение. А что это значит – бесконечная десятичная дробь? Это значит, у нас есть какая-то бесконечная последовательность цифр, т.е. просто для каждого натурального числа мы знаем, какая цифра стоит на этом месте нашего действительного числа. Все такие последовательности образуют действительные числа. Опять же, мы можем определить, как их складывать, как их умножать, и так далее. Кстати, математики предпочитают определять действительные числа не так, а вот каким образом. Возьмем все рациональные числа – мы их уже имеем. А теперь объявим, что действительное число – это множество тех рациональных чисел, которые его строго меньше. Вот такое очень хитрое определение. На самом деле, оно очень похоже на предыдущее. Например, если у нас есть действительное число 3,1415926… (там дальше идет бесконечная цепочка цифр, которую я наизусть не знаю), то какие, например, будут рациональные числа, меньшие его? Обрежем дробь на втором знаке после запятой. Получим число 3,14, оно меньше нашего. Обрежем дробь на четвертом знаке после запятой – получим 3,1415, еще одно рациональное число, меньшее нашего. Ясно, что если мы знаем все рациональные числа, меньшие нашего числа, то это число единственным образом определено. Наглядно можно представить себе такую картинку, как на рисунке Прямая – это все действительные числа, среди них где-то наше неизвестное, а слева от него много-много рациональных, которые его меньше. Все остальные рациональные будут, соответственно, его больше. Интуитивно понятно, что имеется единственная щелочка между этими двумя наборами рациональных чисел, и вот эту щелочку мы будем называть действительным числом. Это пример того, как, начиная с понятия множества, вся математика помаленьку раскручивается. Зачем это нужно? Понятно, что на практике, конечно, никто этим не пользуется. Когда математик изучает, скажем, функции комплексного переменного, он не вспоминает каждый раз, что комплексное число – это пара действительных, что действительное – это бесконечное множество рациональных, что рациональное – это пара целых и так далее. Он уже работает с вполне сформированными объектами. Но в принципе все мож-
20
КВАНТ 2010/№5
нет. Утверждения, которые из этих аксиом доказать мы не сможем, и опровергнуть тоже не сможем. Теория множеств сильно развивается, и сейчас она ближе всего к этой проблеме: часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда некоторые вопросы звучат вполне естественно, ответ на них получить хочется, но доказано, что ответа мы никогда не узнаем, потому что и тот ответ, и другой ответ из аксиом выведен быть не может. Что делать? В теории множеств как-то пытаются с этим бороться, а именно, пытаются придумывать новые аксиомы, которые по какой-то причине все-таки можно еще добавить. Хотя, казалось бы, все, что человечеству интуитивно очевидно, уже сведено к тем аксиомам теории множеств, которые были выработаны в начале XX века. А теперь оказывается, что хочется все-таки еще чего-то. Математики тренируют свою интуицию дальше, чтобы какие-то новые утверждения вдруг показались почему-то всем математикам интуитивно очевидными, и тогда их можно было бы принять в качестве новых аксиом в надежде, что с их помощью ответы на какие-то из таких вопросов могут быть получены. О том, как все это происходит, конечно, рассказать я не могу, там чрезвычайно сложные утверждения, и нужно очень глубоко вкопаться в теорию множеств, вопервых, для того, чтобы понять, что они утверждают, а во-вторых, чтобы понять, что эти утверждения действительно можно считать интуитивно очевидными и принять за аксиомы. Вот этим занимается сейчас одна из самых загадочных областей математики – теория множеств.
Вторая теорема Горгия
Вторая теорема Горгия звучит так – если что и существует, то непознаваемо для человека. Сейчас я покажу несколько примеров утверждений, которые под эту категорию попадают. С теорией множеств была проблема, имеем ли мы вообще право задавать вопросы вроде такого: «верна ли аксиома выбора?». Если мы хотим просто заниматься математикой, не вступая в противоречия, то мы в принципе можем и принять аксиому выбора, и принять, что она не верна. И в том и в другом случае мы сможем развивать математику, получая одни результаты в одном случае, другие – в другом, но никогда не придем к противоречию. А вот теперь другая ситуация. Есть, видимо, результаты, ответ на которые очевидно существует, и очевидно он однозначно определен, но человечество его, может быть, никогда не узнает. Самый простой пример – это так называемая (3N + 1)-проблема, о которой я сейчас расскажу. Возьмем любое натуральное число. Если оно четно, то разделим его пополам. А если оно нечетно, то умножим его на 3 и прибавим 1. С полученным числом проделаем то же самое, и так далее. Например, если мы начнем с тройки, получится
Если мы начнем с семерки, немножко дольше будет продолжаться процесс. Уже начиная с некоторых
маленьких чисел эта цепочка может оказаться достаточно длинной, но все время она будет заканчиваться единичкой. Есть гипотеза, что с какого бы числа мы ни начали, если мы будем такую цепочку строить, то всегда обязательно доберемся до 1. В этом и состоит (3N + 1)-проблема – верна ли эта гипотеза? Мне кажется, что все нынешние математики верят, что она верна. И некоторые самые безрассудные даже пытаются ее доказать. Но ни у кого ничего не вышло. И не выходит уже много десятков лет. Так что это одна из привлекательных задач. Серьезные математики, конечно, относятся к ней свысока – просто как к забавной головоломке. Неизвестно, что там будет, да и кому нужно знать, что там будет. Но несерьезным математикам все-таки интересно, справедлива гипотеза или нет. И пока ее не доказали, совершенно все что угодно тут может произойти. Во-первых, очевидно, что у этого вопроса ответ однозначный: да или нет. Либо правда, что, начиная от любого натурального числа, мы сползем к единице, либо неправда. Интуитивно ясно, что тут уже ни от какого выбора аксиом, ни от какой воли человеческой ответ не зависит. Так вот, есть предположение, что человечество никогда не узнает ответ на этот вопрос. Конечно, если кто-то докажет эту гипотезу, то тогда мы узнаем ответ. Но что значит докажет? Это значит, что он объяснит нам, по каким причинам любое натуральное число сходится к 1, и эти причины окажутся для нас понятными. Может случиться, что кто-то докажет, что некоторое семидесятитрехзначное число обладает именно такими свойствами, что запустив от него эту цепочку, мы обязательно будем получать сколь угодно большие числа. Или докажет, что эта цепочка зациклится где-то в другом месте. Опять же, это будет причиной, почему гипотеза неверна. А вот у меня, например, такой страшный кошмар: а что, если это утверждение верно, но без всякой на то причины? Верно, а причины, которую один человек может понять и объяснить другому, у этого утверждения нет вовсе. Тогда мы никогда не узнаем ответа. Потому что останется только перебрать все натуральные числа и для каждого проверить гипотезу. А это, естественно, вне наших сил. Закон сохранения энергии не позволяет проделать бесконечное количество операций за конечное время. Или конечность скорости света. В общем, физические законы не позволяют нам проделать бесконечное количество операций за конечное время и узнать результат. Очень многие нерешенные задачи как раз относятся именно к этой области, т.е. в принципе их Риман
22
КВАНТ 2010/№5
Осталась компьютерная часть, которую с тех пор уже тоже проверили не на одном компьютере, переписывая даже программы, просто проделав тот же перебор. Ведь если сказано, что именно следует перебирать, то каждый может написать свою программу и проверить, что результат будет такой, как надо. И мне, например, кажется, что использование таких вот больших компьютерных переборов в доказательстве – это как раз не проблема. Почему? А вот по той же причине, которая на примере проблемы четырех красок уже проявилась – что к компьютерным доказательствам доверия гораздо больше, чем к человеческим, а не меньше. Кричали, что компьютер – это же машина, а вдруг она где-то сломалась, сбилась, что-то там неправильно посчитала… А вот этого как раз быть не может. Потому что если компьютер случайно где-то засбоил, и произошла ошибка – нолик случайно заменился на единичку, – это не приведет к неверному результату. Это приведет к отсутствию результата, просто программа в конце концов сломается. Какая типичная операция, которую компьютер выполняет? Взяли из такого-то регистра такое-то число и передали по нему управление туда-то. Естественно, что если в этом числе произошло изменение в один бит, управление передалось вообще неизвестно куда, там написаны какие-то команды, которые очень скоро просто все разрушат. Может быть, конечно, ошибка в написании программы для компьютера, но это уже человеческая ошибка. Человек может прочитать программу и проверить, правильная она или нет. Так же человек может прочитать чужое доказательство и проверить, правильное оно или нет. Но у человека гораздо больше шансов ошибиться, чем у компьютера. Если вы читаете чужое достаточно длинное доказательство, и в нем есть ошибка, то есть все шансы, что вы ее не заметите. Почему? В первую очередь потому, что раз сам автор доказательства сделал эту ошибку – значит, она психологически обоснована. То есть, он не просто так ее сделал, по случайности – это в принципе такое место, где типичный человек может сделать такую ошибку. Значит, и вы можете сделать ту же самую ошибку, читая это место и соответственно ее не заметив. Поэтому проверка человеком, человеческого же доказательства – это гораздо менее надежный способ проверки, чем проверка результата работы компьютерной программы с помощью запуска ее еще раз на какой-то другой машине. Второе практически гарантирует, что все нормально, а первое – это как повезло. И вот с этой проблемой – найти ошибку в записанном людьми математическом тексте, – становится все труднее, а иногда и вообще невозможно – это серьезная проблема современной математики. С ней нужно бороться. Как – сейчас пока никто не знает. А проблема большая и всерьез возникла именно сейчас – тому несколько примеров существует. Вот, возможно, менее известный, но один из самых современных. Это старинная гипотеза Кеплера. Говорит она об укладывании шариков в трехмерном пространстве. Давайте сначала посмотрим, что происходит в двумерном пространстве, т.е. на плоскости. Пусть у нас
есть одинаковые кружочки. Как плотнее всего нарисовать их на плоскости, чтобы они не пересекались? Есть ответ – надо поместить центры кружков в узлы шестиугольной решетки. Это утверждение не совсем тривиальное, но легкое. А в трехмерном пространстве как бы вы стали плотно упаковывать шарики? Сначала разложим на плоскости шарики так, как показано на рисунке 6. Потом сверху положим еще один такой же слой, вдавливая до упора, как показано на рисунке 7. Потом сверху один такой же слой, и так далее. Интуитивно очевидно, что это и есть самый плотный способ уложить шарики в трехмерном пространстве. Кеплер утверждал (и, похоже, первым сформулировал), что эта упаковка должна быть самой плотной упаковкой в трехмерном пространстве. Произошло это в XVII веке, с тех пор эта гипотеза и стоит. В XXI века появилось ее доказательство. И любой из вас может его достать и прочитать. Оно в открытом доступе лежит в Интернете. Это статья в двести с чем-то страниц. Она написана каким-то одним человеком, и тоже содержит как некоторые чисто математические рассуждения, так и компьютерный счет. Сначала автор математическими рассуждениями пытается свести задачу к проверке конечного числа случаев. После этого, иногда используя компьютер, он это конечное, но очень большое число случаев проверяет, все сходится, и – ура! – гипотеза Кеплера доказана. И вот проблема с этой статьей – ее никто не может прочитать. Потому что она тяжелая, потому что местами не совсем понятно, что перебор действительно полный, потому что просто скучно ее читать. Двести страниц скучных вычислений. Человек ее прочитать не в силах. Вообще говоря, все верят, что эта статья содержит доказательство этой теоремы. Но с другой стороны, никто до сих пор не проверил это честно, в частности, эта статья не опубликована ни в одном рецензируемом журнале, т.е. никакой уважающий себя математик не готов поставить подпись под Кеплер
23
ТЕОРЕМЫ
СОФИСТА
ГОРГИЯ
верждением, что «да, все верно, и гипотеза Кеплера доказана». И это не единственная ситуация, и в других областях математики такое тоже встречается. Совсем недавно я напоролся на список нерешенных проблем в теории множеств, в теории моделей, в разных областях. И вот к одной гипотезе там комментарии такие: она якобы опровергнута в статье вот такой-то, но никто в это не верит. Вот такая ситуация. Человек доказал утверждение, но передать это другому, рассказать это другому он не в силах. Самый страшный пример – это, конечно, классификация конечных простых групп. Я не буду формулировать точно, что это такое, что такое группы, что такое конечные группы, если захотите – узнаете сами. Конечные группы все в некотором смысле собираются из простых блоков, которые называются простыми группами, а те уже нельзя разобрать на более мелкие блоки. Этих конечных простых групп бесконечно много. Полный их список выглядит так: это семнадцать бесконечных серий, к которым еще в конце добавлены 26 отдельных групп, которые построены каким-то отдельным способом и ни в какую серию не входят. Утверждается, что этот список содержит все конечные простые группы. Задача страшно нужная для математики. Поэтому в 70-е годы, когда появились некоторые особенные идеи и надежды на ее решение, на задачу накинулись несколько сот математиков из разных стран, из разных институтов, каждый брался за свой кусочек. Были и, так сказать, архитекторы этого проекта, которые примерно представляли, как все это вместе потом будет собрано в единое доказательство. Понятно, что люди торопились, конкурировали. В результате, кусочки, которые они делали – это в совокупности около 10000 журнальных страниц, и это только то, что опубликовано. А есть еще и статьи, которые существовали или в виде препринтов, или в виде машинописных копий. Я сам одну такую статью читал в свое время, она так никогда и не была опубликована, хотя включает в себя заметный кусочек этого полного доказательства. И вот эти 10000 страниц разбросаны в разных журналах, написаны разными людьми, с разной степенью понятности, и обычному математику, не связанному с этим и не являющемуся одним из архитекторов этой теории, мало того что невозможно прочитать все 10000 страниц, так еще и очень трудно понять само устройство доказательства. К тому же с тех пор некоторые из этих архитекторов просто умерли. Объявили, что классификация завершена, хоть доказательство и существует лишь в виде текста, который никто прочитать не может, и это привело к следующей неприятности. Новые математики с меньшей охотой стали идти в теорию конечных групп. Все меньше и меньше людей этим занимается. И вполне может случиться, что через 50 лет уже вообще на Земле не найдется человека, который будет способен что-то понять в этом доказательстве. Будут ходить легенды: наши великие предки умели доказывать, что все конеч-
И
СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
ные простые группы перечислены вот в этом списке, и что других нет, но сейчас это знание утеряно. Вполне реалистичная ситуация. Но, к счастью, не один я считаю эту ситуацию реалистичной, поэтому с ней борются, и я слышал, что даже организовали специальный проект «Философские и математические проблемы, связанные с доказательством классификации конечных простых групп». Есть люди, которые пытаются это доказательство привести к читаемому виду, и, может быть, когда-нибудь это действительно получится. Есть люди, которые пытаются разобраться, что же делать со всеми этими трудностями. Человечество помнит об этой задаче, и, значит, оно с ней в конце концов справится. Но тем не менее вполне может быть, что будут появляться другие такие же сложные теоремы, которые могут быть доказаны, но доказательство которых никто не способен прочитать, никто не способен никому рассказать.
Четвертая теорема
Ну и теперь четвертая теорема, о которой я немного расскажу, может быть даже самая страшная – «ежели даже и сможет рассказать, то никто не заинтересуется». Некий осколок от этой проблемы уже прозвучал. Людям перестало интересно заниматься конечными группами. Все меньше и меньше людей этим занимаются, и масса знаний, которая сохранилась в виде текстов, уже никому не нужна, ее никто не умеет читать. Это тоже беда, которая грозит многим областям математики. Понятно, что некоторым областям математики везет. Например, та же самая теория графов и комбинаторика. Чтобы серьезно начать ими заниматься, нужно знать совсем немного. Вы немножко узнали, порешали олимпиадные задачки, один шаг – и перед вами уже нерешенная проблема. Есть за что взяться – ура, беремся, интересно, занимаемся… Но есть области математики, в которых даже для того, чтобы почувствовать, что эта область действительно красива, и что ей хочется заниматься, нужно очень многое узнать. И при этом по дороге еще много другого красивого узнаешь. Но тебя не должны эти красоты, встреченные по дороге, отвлечь, и в конце концов ты добираешься вот туда, в самые дебри, уже там видишь красоту, и уже тогда, узнав очень многое, становишься способен заниматься этой областью математики. И вот эта трудность – проблема для таких областей. Чтобы область математики развивалась, нужно, чтобы ею занимались. Достаточному числу людей это должно быть настолько интересно, чтобы они преодолели все трудности, забрались туда и уже после этого продолжили этим заниматься. И сейчас математика доходит до такого уровня сложности, что для многих областей именно это становится основной проблемой. Как человечество со всеми этими проблемами будет справляться – я не знаю, но посмотреть будет интересно. Вот, собственно, и все.