Задачи 6—10

35

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: [email protected] (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. В единичные треугольники фигуры впишите числа от 1 до 12 так, чтобы сумма четырех чисел в каждом треугольнике со стороной 2 была равна 20. Н.Авилов

7. Квартира представляет собой квадрат $3 \times 3$, разделенный стенами на квадратики $1 \times 1$ – комнаты. Между каждыми двумя соседними по стене комнатами есть дверь, но сейчас все двери заперты. Какое наименьшее число дверей нужно открыть, чтобы кот, сидевший в одной из комнат, мог гулять по всей квартире? Н.Стрелкова

8. Два одинаковых точечных шара движутся с разными скоростями по одной окружности в одну сторону. Запущенные с этими скоростями каждый в отдельности, они делали бы в минуту 7 и 12 оборотов соответственно. При совместном движении они сталкиваются, обмениваясь после удара своими скоростями. Докажите, что шары будут встречаться в конечном числе точек, расположенных в вершинах некоторого правильного многоугольника, и найдите число этих точек. Г.Гальперин

9. На плоскости даны два непересекающихся круга. Найдется ли вне этих кругов такая точка A, что любая прямая, проходящая через A, обязательно «заденет» хотя бы один них (т.е. пересечет или коснется)?

Фольклор

10. Фирма выпускает наборы из 7 теннисных мячиков в двух видах упаковок: длинный цилиндр толщиной в один мячик и плоский цилиндр высотой в 1 мячик, как показано на рисунке. Мячики касаются друг друга и стенок так, чтобы не болтались. Пустое место заполняется пластиковой крошкой. а) На заполнение какой упаковки – длинной или плоской – уходит больше крошки? б*) Сколько граммов крошки уходит на заполнение плоской упаковки, если на заполнение длинной требуется 90 граммов?

Указание. Для решения пункта б) вам понадобится интересный факт, который знал еще Архимед: шар занимает ровно 2/3 объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра).

Г.Гальперин, А.Шаповалов

«КВАНТ» УЛЫБАЕТСЯ

1. На табло горит верное равенство, только один пиксель сломан (либо горит, а должен быть погашен, либо погашен, а должен гореть):

2. Разгадайте шуточную загадку: 1 см бумаги – 9 метров, 2 см бумаги – 27 метров, а 3 см бумаги – сколько метров?

А.Тарасов

3. Вы находитесь на поляне, окруженной рвом шириной 10 м и глубиной 5 м. В вашем распоряжении только лестница длиной 2 м и неограниченный запас веревки толщиной 3 мм. Как выбраться? Фольклор

Какой пиксель сломан? Участники сообщества www.braingames.ru

4. Зачем ведра делают «скошенными» (нижний диаметр немного меньше верхнего), а не цилиндрическими? Фольклор