Об элементарном доказательстве теоремы Фейербаха

9

НАМ

на угол $90\infty$, поэтому B = ( - y, x ). Тогда вектор скорости муравья ( x ¢, y ¢ ) пропорционален вектору AB ( - y - x, x - y ). Получаем систему дифференциальных уравнений x ¢ = k ( - y - x ),

ПИШУТ

Решать эту систему мы не будем (это не очень просто), а вот систему, возникающую в упражнении 7, вполне можно решить.

Как все, оказывается, просто, когда умеешь решать дифференциальные уравнения! Нашел решение, подставил в него необходимые данные и ответил на все вопросы. Зачем же мы тогда так сложно все делали в первых четырех разделах? Неужели зря? Нет, не зря! На практике во многих задачах получаются очень сложные дифференциальные уравнения, которые не удается решить в явном виде. А свойства решения, тем не менее, нужно узнать. В этом случае ученые вынуждены анализировать свойства решений, не имея точных формул. Эта наука называется качественной теорией дифференциальных уравнений. Именно по ней мы с вами краешком прошлись.

Упражнение 10. Получите систему дифференциальных уравнений на траекторию муравья из упражнения 7 и постарайтесь решить ее.

Авторы благодарны редколлегии, в особенности В.М.Тихомирову, за вдохновляющее обсуждение текста статьи.

y ¢ = k ( x - y ), где k = v

(

$2 x^{2} + y^{2}$

)

.

НАМ ПИШУТ

Об элементарном доказательстве теоремы Фейербаха

И. КУШНИР, О. ЧЕРКАССКИЙ

Напомним, что в любом треугольнике середины сторон, основания высот, а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность носит название окружности девяти точек или окружности Эйлера (см., например, статью И.Шарыгина и А.Ягубьянца «Окружность девяти точек и прямая Эйлера» в «Кванте» №8 за 1981 г.). Одним из самых красивых результатов классической геометрии по праву считается теорема Фейербаха, утверждающая, что окружность девяти точек касается окружности, вписанной в треугольник, и трех вневписанных окружностей (рис 1). Большинство известных доказательств теоремы Фейебраха сложны и неэлементарны (используют инверсию и т.д.). Мы же приведем здесь совсем короткое элементарное доказательство, основанное на известных формулах и несложных вычислениях. Будем использовать следующие обозначения для элементов данного треугольника ABC: a, b,

Рис. 1

c – длины сторон BC, CA, AB соответственно, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, I – инцентр (т.е. центр вписанной окружности), O – центр описанной окружности, H – ортоцентр (т.е. точка пересечения высот). Как известно, радиус окружности Эйлера равен R 2, а ее центр E является серединой отрезка OH. Утверждение теоремы Фейербаха о касании вписанной окружности и окружности девяти точек будет доказано, если мы установим, что IE = R 2 - r. Это равенство соответствует внутреннему касанию рассматриваемых окружностей (на самом деле, можно показать, что R 2 всегда не меньше чем r).

10

КВАНТ 2017/№11

Рассмотрим треугольник OHI (рис. 2). Отрезок IE является медианой этого треугольни-

Рис. 2

ка. По формуле длины медианы имеем

$4 IE^{2} 2 OI^{2}$

$2 IH^{2}$

$OH^{2}$.

Воспользуемся известными формулами:

$OI^{2} R^{2}$

$IH^{2} 4 R^{2}$

2 Rr,

1 2 a 2

$2 r^{2}$

$OH^{2} 9 R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$,

$c^{2}$.

Объединив все четыре формулы, получаем

$4 IE^{2} 2 R^{2}$

8 R

2

4 Rr

$4 r^{2}$

$4 IE^{2} R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$c^{2}$

2

2

9R a

4 Rr

$b^{2}$

$c^{2}$

,

$4 r^{2}$, откуда

2 IE R что и требовалось!

2 r,

Вниманию наших читателей!

Издательство Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО) выпустило в свет две книги серии «Библиотечка «Квант». В книге В.М.Тихомирова «Рассказы о максимумах и минимумах» (выпуск 56, издание третье) прослеживается история методов нахождения наибольших и наименьших величин; излагаются решения многих замечательных задач на максимум и минимум, принадлежащие великим математикам прошлых эпох; говорится о зарождении многих идей, заложивших основания современного анализа; объясняются связи экстремальных задач с проблемами естество-

Читатель может, применив аналоги формул для центра вневписанной окружности, провести доказательство касания окружности девяти точек с вневписанными окружностями по той же схеме.

От редакции Теорема Фейербаха своей красотой привлекала внимание многих любителей геометрии и поэтому имеет много разных доказательств. Журнал «Квант» также неоднократно обращался к этой теореме. Например, в статьях В.Дубровского «Момент инерции в геометрии» (№7, 1984 г.), В.Протасова «Вокруг теоремы Фейербаха» (№9, 1992 г.), В.Дубровского и В.Сендерова «Ловушка для треугольника» (№3, 1999 г.), В.Протасова «Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха» (№4, 2008 г.). В отличие от многих известных доказательств, рассуждения, которые предлагают И.Кушнир и О.Черкасский, действительно выглядят прозрачно и доступно. Конечно, существенная трудность – доказательство используемых формул – здесь остается за кадром. Впрочем, эти формулы известны и содержатся во многих источниках. Формула для $OI^{2}$ часто употребима и известна как формула Эйлера, формула для вычисления длины отрезка IH имеется, например, в упомянутой статье В.Дубровского, а в статье А.Заславского, Д.Косова и М.Музафарова «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» (№2, 2003 г.) есть общий рецепт получения формул для длин IX и OX для произвольных точек X.

знания, техники и экономики. Книга рассчитана на школьников старших классов, учителей, студентов, преподавателей. Из книги В.Б.Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях» (выпуск 137) читатель узнает, как решать алгебраические уравнения третьей и четвертой степени с одним неизвестным, познакомится с двумя важными разделами современной математики – теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Книга представляет интерес для широкого круга читателей, интересующихся серьезной математикой, может служить пособием для работы математического кружка.

Спринтеры и стайеры

А.МИНЕЕВ

Будь ты спринтер, будь ты стайер, Трижды чемпионом, Не упустим, не отстанем, Все равно догоним. Песня

ЗАДАДИМСЯ ТАКИМ ВОПРОСОМ: КАКО- вы максимальная скорость и мощность, которые развивают легкоатлеты при беге? Воспользуемся данными нынешних мировых рекордов (раздел – легкая атлетика, бег) и построим график зависимости скорости лучших бегунов мира от дистанции пробега. Там же отложим по оси абсцисс и время забега. На рисунке 1 приведены рекорды бега мужчин и женщин на 100 м, 200 м, 400 м, 800 м, 1609 м (1 миля), 2 км, 3 км, 5 км, 10 км, 20 км, 25 км, 30 км и 100 км. Данные марафонского бега помечены звездочками. Взгляд на эти кривые позволяет заметить несколько важных особенностей: i у спринтеров (дистанция 100–200 метров) скорость бега достигает 10 м/с; столь

Рис. 1. Зависимость максимальной скорости и времени бега от расстояния для мужчин (М) и женщин (Ж)

высокая скорость может поддерживаться в течение 20–30 секунд; i у стайеров (1–10 км) средняя скорость бега составляет около 6–7 м/с; с такой скоростью они могут бежать в течение получаса; i у бегунов на сверхдальние расстояния

14

КВАНТ 2017/№11

скоростью 7 м/с: 3 МДж = 1500 с = 25 мин. 2 кВт

Стайеры и марафонцы. Роль окисления жиров

Полный запас энергии в жировой ткани спортсмена массой 75 кг составляет более 300 МДж, и он очень далек от исчерпания. Но для того чтобы существенно истратить запас жиров, требуется много времени. Это могут подтвердить все, кто старается похудеть. На стайерской дистанции затрачивается мощность 1–1,5 кВт, а затраты энергии составляют 4–5 МВт за каждый час бега. Рекордсмены потребляют в день около 5000 ккал энергии ( ª 20 МДж). Если принять, что половину этой энергии допустимо затратить в ходе бега, то доступными являются только 10 МДж энергии. Как видно из наших оценок, такая энергия тратится примерно за два часа быстрого бега. На рисунке 1 это соответствует длительности марафонского забега. И действительно, марафонцы, не говоря уже о бегунах на более длинные дистанции, вынуждены пополнять запасы энергии в ходе бега смесями, богатыми углеводами. Обязательно ли марафонцу пить воду? Конечно. Поскольку для испарения литра воды требуется 2,3 МДж, то часовому бегу соответствует испарение около 2 литров воды. Но нужно ли полностью восполнять потери воды? Нет, это опасно. Вода может не успеть усвоиться организмом стайера во время бега, и задачу восполнения потерь решают уже после финиша. А как чемпионы среди людей по бегу выглядят на фоне быстроты передвижения других млекопитающих? Скажем прямо – весьма посредственно. Во многом это плата за прямохождение и связанный с этим бег на двух ногах. Четвероногие бегут быстрее. Чемпион среди них – гепард, у которого зафиксирована максимальная скорость бега 35 м/с в течение 10 секунд. Скорее всего, больше ему и не нужно для удачной охоты. Остальное время он отдыхает или перемещается с существенно более низкой и экономной «крейсерской»

скоростью в поисках очередной жертвы. Да и строение тела гепарда более приспособлено для быстрого бега, и относительная масса мышц повыше. Наиболее быстрые спринтеры – хищники (типа кошачьих) и копытные. Как выглядит человек на их фоне, показано на рисунке 3. А на рисунке 4 приведена

Рис. 3. Спринтеры: зависимость максимальной скорости бега млекопитающих от массы тела

Рис. 4. Стайеры: зависимость максимальной скорости длительного бега млекопитающих от массы тела

соответствующая информация для стайеров – тех, кто способен на быстрый длительный бег. Из этих рисунков видно, насколько сильно человек уступает животным, особенно в спринте.