Задачи М2486—М2489; Ф2493—Ф2496

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2486–М2489 предлагались на XXXIX Турнире городов. Задачи Ф2493–Ф2496 предлагались на олимпиаде «Шаги познания физики» (г.Пенза). Автор этих задач – А.Сеитов.

Задачи М2486–М2489, Ф2493–Ф2496

M2486. Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь,…, на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (т.е. если он предсказывал, что курс увеличится на x%, то курс падал на x%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс? А.Заславский

M2487. Вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC треугольника ABC в точках N, K и M соответственно (рис.1).

Прямые MN и MK пересекают биссектрису внешнего угла B в точках R и S соответственно. Докажите, что прямые RK и SN пересекаются на вписанной окружности треугольника ABC. М.Евдокимов

M2488. Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседние по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры: а) 20 s 20 клеток; б) 50 s 90 клеток? М.Мурашкин

M2489. Покажите, что для любой последовательности $a_{0}, a_{1}$, … $, a_{n}$, …, состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие n и k, что $a_{0}$ – $a_{1}$ – … – $a_{k} a_{1}$ – $a_{2}$ – … – $a_{k} 1$ …

$... + a_{n}$ – $a_{n} 1$ – … – $a_{n} k 2017$. И.Митрофанов

Рис. 1

Ф2493. На протяженной гладкой горизонтальной поверхности вдоль вертикальной

16

КВАНТ 2017/№11

оси скачет небольшой абсолютно упругий гладкий шарик. Максимальная скорость его равна v. На той же горизонтальной поверхности на расстоянии от места ударов этого шарика, равном максимальной высоте его полета, расположен второй такой же шарик. Ему сообщают горизонтальную скорость v в направлении первого. Шарики столкнулись так, что в момент соударения линия, проходящая через их центры, была горизонтальна и совпадала по направлению со скоростью второго шарика до удара. 1) Найдите максимальную высоту полета первого шарика. 2) Найдите период движения первого шарика до удара со вторым. 3) На какой высоте находился первый шарик в момент старта второго? 4) Найдите скорость первого шарика сразу после удара со вторым. 5) На каком расстоянии от места удара можно поставить вертикальную стенку так, чтобы после отражения от нее первый шарик вновь ударился о второй? Временем ударов можно пренебречь.

Ф2494. В системе, изображенной на рисунке 2, трения нет, пружина упругая и

Рис. 2

невесомая, небольшие шары одинаковые и упругие. Правая часть стержня плавно переходит в дугу окружности радиусом R, расположенную в вертикальной плоскости, а в месте перехода находится правый шар. Расстояние между шарами равно R. Если, не снимая шаров и не удерживая их внешними силами, систему расположить так, что прямолинейная часть стержня примет вертикальное положение, то в состоянии равновесия пружина сожмется на величину R. Из положения, показанного на рисунке, правый шар отклоняют так, что его угловое смещение вдоль дуги невелико и равно B ( B ≪ 1 ).

1. Найдите время, в течение которого правый шар первый раз вернется в указанное на рисунке начальное положение. 2) Найдите модуль скорости правого шара на горизонтальном участке. 3) Найдите максимальную величину сжатия пружины после удара шаров. 4) Найдите время движения левого шара между первыми двумя ударами шаров. 5) Найдите период колебаний этой системы.

Ф2495. В горизонтальной трубке длиной L постоянного сечения S, запаянной с одного конца, заперт жидкостью плотностью R столб воздуха при абсолютной температуре $T_{0}$ (рис.3). Если воздух в

Рис. 3

трубке нагреть до абсолютной температуры Т, то вся жидкость вытечет из трубки. Трубку поворачивают на $90\infty$ открытым концом вверх, жидкость при этом вниз не протекает и температура поддерживается постоянной. Атмосферное давление $p = R gH_{0}$, где $H_{0} > L$. 1) Найдите длину воздушного столба в горизонтальной трубке. 2) Сколько молекул газа находится в трубке? 3) Найдите давление воздуха в трубке в вертикальном положении. 4) Найдите длину воздушного столба в вертикальной трубке. 5) Найдите максимальную длину столба жидкости, которую можно получить после добавления жидкости в вертикальную трубку. Капиллярные эффекты не учитывать.

Ф2496. В однородном магнитном поле с индукцией, равной В и направленной от нас (рис.4), покоится вертикальный контур с дву-

Рис. 4