Как срочно доставить лекарство на воздушный шар

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Как срочно доставить лекарство на воздушный шар

ного срока он начал чихать, кашлять, потеть… И немудрено: температура воздуха на такой высоте меньше 50 o C, а парацетамол (есть такие таблетки) весь вышел. Что делать? Не спускаться же – ведь в этом случае спор не выиграешь, полет будет прерван. И Отличник решил обратиться (конечно, по мобильнику) к Старому Приятелю: как бы доставить немедленно на воздушный шар хотя бы пару пакетов терафлю? Задумался Старый Приятель и стал в уме прикидывать уравнения динамики и решать их аналитически и численно.

В.ВЫШИНСКИЙ

1. Можно использовать дальнобойное орудие

Через полчаса мистер Вильям Болваниус, Джон Лунд и шотландец Том Бекас летели уже к таинственным пятнам на восемнадцати аэростатах. Они сидели в герметически закупоренном кубе… Джентльмены кутались в плащи и курили сигары. Термометр показывал ниже нуля… На третий день Джон Лунд заболел дифтеритом, а Тома Бекаса обуял сплин. А.П.Чехов, Летающие острова

Введем прямоугольную систему координат x, y, z (рис.1); обозначим u, v, w соответствующие компоненты скорости сна-

Однажды некий Отличник решил на спор провести каникулы на воздушном шаре, причем на высоте 22 километра, куда, бывало, залетали шары-зонды из дружественных стран. А заодно – решить все задачи по физике из школьных учебников. Да вот незадача – за неделю до истечения договор-

Рис. 1

ряда, так что $u^{2} v^{2} w^{2} V^{2}$ – квадрат модуля его скорости. Конечно, прежде всего разумно рассмотреть простейший случай одномерного (вертикального) движения, когда орудие находится точно под воздушным шаром. При этом u = w = 0, V = v. Тогда уравнение движения тела с постоянной массой m в поле тяготения с постоянным ускорением свободного падения (с постоянной напряженностью поля) g и с учетом аэродинамического сопротивления имеет вид m dv mg dt

F.

Но даже в этом случае решить уравнение не так-то просто, потому что аэродинамическое сопротивление снаряда F пропорционально коэффициенту сопротивления C, скоростно-

му напору

1 2 R v и площади поперечного 2

28

КВАНТ 2017/№11

Рис. 4

Рис. 5

350 м/с, когда сопротивление равно силе тяжести. Скорость выходит на «полку». По мере повышения плотности с уменьшением высоты равновесная скорость немного снижается.

энергии

2. Используем авиационную пушку

Установим пушку калибра 23 мм на самолете, у которого статический потолок 15,5 км, максимальная скорость полета 1050 км/ч, масса снаряда пушки 0,174 кг, скорость вылета 700 м/c. И тут возможны два сценария. • Самолет начинает стрелять, исчерпав скорость в наборе высоты. Результаты моделирования приведены на рисунке 5. Стрельба вверх производится с высоты 15,5 км. Штриховой линией нанесены результаты расчета без учета аэродинамического сопротивления. Как видно, для того чтобы снаряд достиг цели с нулевой скоростью, начать стрельбу можно с 12 км. • Самолет выходит на цель, разогнавшись до максимальной скорости 300 м/с на высоте 15 км, и стрельба производится с полупетли (рис.6). Пусть радиус петли 500 м, тогда, в соответствии с законом сохранения

$mv^{2} 2$ mg y const, на высоте 15,5 км самолет будет иметь скорость 140 м/с, которая добавится к скорости вылета снаряда. Результаты моделирования представлены на том же рисунке 6.

3. Можно использовать и зенитные ракеты…

Но тут задача несколько усложняется: появились тяга двигателя и изменение массы. Уравнение движения тела с переменной массой m в поле тяготения с постоянным g с учетом аэродинамического сопротивления и тяги двигателя имеет вид d m t v dt m t g f t

F.

На рисунке 7 качественно представлены изменение тяги двигателя в зависимости от времени f t и соответствующее изменение массы ракеты m t. При этом вводится еще одно важное понятие: удельная тяга. Это – характеристика реактивного двигателя, равная отношению создаваемой им тяги

29

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Для расчета были использованы следующие параметры: общее время работы твердотопливного двигателя 15 с, максимальная скорость полета 1000 м/с, тяга двигателя 52360 Н, диаметр ракеты 400 мм, масса 685 кг, удельная тяга 2500 Н – с кг, расход топлива 21 кг/c, масса топлива 315 кг. Величина коэффициента аэродинамического сопротивления взята в соответствии с рисунком 2. Результаты моделирования представлены на рисунке 8. Достижимая высота

Рис. 6

Рис. 8

более чем достаточна, придется даже тормозить. Результаты впечатляют!

Рис. 7

(Н) к массовому расходу топлива (кг/с), которая означает, сколько секунд данный двигатель сможет создавать тягу в 1 Н, истратив 1 кг топлива. Физик назвал бы эту величину удельным импульсом. Удельная тяга твердотопливных ракетных двигателей составляет 2500 3000 Н – с кг.

• • • Но что это?! Узнав о раздумьях Старого Приятеля (конечно, по мобильнику), Отличник на воздушном шаре внезапно выздоровел!

36

КВАНТ 2017/№11

Наши опыты с бусинками

$Нам^{1}$ удалось подобрать две подходящие цепочки пластиковых бус диаметром 3 мм и 5 мм – для украшения новогодних елок. Длины цепочек были 8 м и 15 м. Высота падения их из стакана составляла 2 м, линейная плотность обеих цепочек была L z 5 г/м. 1) Сначала мы провели опыт так, как он описан в интернете. Фонтан бусинок поднимается из стакана не сразу – сила растет по мере того, как нарастает импульс уже упавшей части. У нас получились практически одинаковые фонтаны для обеих цепочек. Высота наблюдаемого фонтана составляла от 10 до 20 см. Это около 10% от высоты, с которой падает цепочка. Полная длина цепочки влияет лишь на продолжительность наблюдения. В Кембриджском эксперименте высота фонтана была около 40 см. Существенно сказывается на высоте фонтана то, что уложенные в сосуд элементы цепочки цепляются друг за друга и дополнительно тормозят соскальзывание. У нас качество связок было неважным, бусы каждый раз нужно было аккуратно укладывать. 2) Затем мы видоизменили опыт. В новом варианте бусы не вылетали из стакана вверх, а соскальзывали с почти плоской тарелки

(рис.4). И все равно, через некоторое время поднимался фонтан – вверх и чуть вбок. Значит, дело не в необходимости вертикальной составляющей начальной скорости, а в резком изменении направления скорости – точнее, изменения направления (опрокидывания) импульса, в возникновении нормальной составляющей ускорения, или в другой трактовке – в возникновении центробежной силы (подобно рассмотренным примерам). Развитие фонтана в горизонтальном направлении связано с ускоренным поступательным движением бусинок вбок – прежде чем падать, они пролетают некоторое расстояние. Пренебрежение этим обстоятельством в школьных задачах о соскальзывании нити (цепочки) с края стола часто, и справедливо, подвергается критике. Чтобы оценить это расстояние, мы приближенно решили двумерное уравнение криволинейного движения с переменной массой – задача, необычная для школьников. Смещение вбок оказалось равным около 15 см. Это хорошо совпадает с экспериментом, однако ничего существенного для понимания сути явления такой результат не дает. Поэтому здесь мы и не будем усложнять расчеты, ограничившись описанием движения только вверх. 3) Следующее усложнение опыта понадобилось для того, чтобы отсечь первоначально возникшие соображения о влиянии обратной волны при ударе о землю. Этот эффект несомненно имеет место, но не в нашем случае. Мы проделали соответствующие оценки и измерения упругости нескольких цепочек и провели дополнительный опыт. Он состоял в том, что цепочки бросались с большой высоты (до 5 м) на разные подстилающие поверхности. Однако оказалось, что фонтан вполне может возникнуть, прежде чем конец цепочки ударится о поверхность земли. Здесь, при мягкой связи между звеньями, импульс отдачи теряется в неупругом ударе между отдельными шариками.

Модель и оценки

Рис. 4

1 Эксперименты проводились при участии

одиннадцатиклассника Физико-технического лицея 1 города Саратова Александра Крылова.

Когда соскальзывающая цепочка уже разогналась, то скорость ее в данный момент с хорошей точностью можно принять равной v 2 ax, где x – высота падения упавшей части, a – ускорение падения, отличающееся от ускорения свободного падения g. Расчет этого ускорения a не столь уж и сложен.