Удар и его окрестности
Л.АШКИНАЗИ
В любом школьном учебнике физики рассмотрен случай прямого центрального соударения двух шаров – абсолютно упругого и абсолютно неупругого. Соответствующие уравнения, по два для каждого случая, вы, конечно, можете написать и решить. В реальной жизни не бывает «прямого центрального» и не бывает «шаров» – какие-то отклонения есть всегда. Кстати, раз нет шаров, то как нам формулировать условие «прямизны» и «центральности» и будет ли нам с этой формулировки прок? Ну и, конечно, не бывает «абсолютно упругого» и, более того, не бывает «удара». Вводя это понятие, мы обычно пренебрегаем временем взаимодействия, а для изменения импульса за бесконечно малое время нужна (вспомните уравнение m ’ v F ’ t ) бесконечно большая сила, которая разрушит любой материал. Почему же все это есть в учебниках, и далеко не только в школьных? Когда в физике рассматривают модели, выбор конкретного упрощения определяется формальной возможностью получения решения и разумностью этого решения. Причем «разумность» зависит от того, как мы собираемся применять решение. Если речь идет о практическом применении, т.е. об инженерии, о создании вещей, то главное – достаточно ли точно полученное решение в тех условиях и при тех ограничениях, для которых оно нам нужно. Если речь о практике пока не идет, т.е. если это «внутрифизическая» модель, то ситуация сложнее. Тут важно, насколько модель опирается на фундаментальную физику, есть ли в ней непонятные подгоночные параметры и сколько их, насколько модель логична, допускает ли она развитие. Это менее четкие критерии, поэтому в физике могут в течение какого-то
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210602
времени сосуществовать несколько моделей одного и того же круга явлений. Инженерия таких ситуаций старается избегать, хотя это не всегда удается. Например, в дисциплине, название которой вы, наверное, слышали – «сопротивление материалов», есть несколько способов оценки предельных нагрузок на элементы конструкций, которые так и называют – «теории прочности». Но это редкая ситуация. Модель удара, изложенная в школьных учебниках, существует примерно три века (ее история рассказана, например, вот тут – http: physiclib.ru books item f00 s00 z0000053 st059.shtml). Поэтому она не «внутрифизическая», а вполне применимая на практике. Кроме того, у нее есть полезные и интересные расширения, которым и посвящена данная статья. Причем расширениям как школьным, встречающимся в задачах и вопросах на экзаменах, так и внешкольным. Но для начала, чтобы освежить эту модель в памяти и «закрепить на панели быстрого доступа», обозначим массы шаров и , их скорости, соответственно, до до после и после и для ситуации до 0 построим красивые графики зависимости v 1 после v 1 до и после от для обоих типов соударений (рис.1). Кстати, подумайте, почему мы строили зависи-
Рис. 1. Поведение шаров после соударения. Кривая 1 относится к первому шару в случае упругого удара; кривая 2 – к обоим шарам при неупругом ударе; кривая 3 – ко второму шару в случае упругого удара
7
УДАР
И
ЕГО
ция нормальная – у любой модели есть границы, их полезно знать. В идеальном учебнике они должны быть указаны, или – если мы их не знаем – должно быть указано, какова область действия модели, т.е. до каких значений параметров она работоспособна и с какой точностью проверена. В данном случае у нас есть, однако, лазейка – если в условии сказано, что соударение абсолютно упругое, то работа силы трения равна нулю. Но для импульса такой лазейки нет, и некорректность остается. Правда, иногда «удар» определяют иначе и аккуратнее – как взаимодействие достаточно короткое, чтобы можно было пренебречь внешними силами. В этом случае время соударения не равно нулю, силы не равны бесконечности и то, во что мы уперлись в предыдущем абзаце, мы обошли. Но все равно при абсолютной упругости соударения нет работы силы трения, а значит – или нет этой силы или нет перемещения. Однако импульсом шарики обмениваться могут, а следовательно, могут и изменять свои угловые скорости, и разлетаться вбок. Отсюда мораль – внимательно читать определения, ибо это тоже часть модели, а разные определения означают, что у нас разные модели. К поведению вращающегося шарика с трением мы еще вернемся. Следующий шаг в глубину задачи – прямой не центральный удар (рис.2,б), шарики радостно летят по параллельным прямым и прикидывают, столкнутся ли они. Тут в игру вступают три параметра – два радиуса и расстояние между прямыми. Если оно равно нулю, имеем предыдущую задачу – центральный удар. Если расстояние больше суммы радиусов, то соударения вообще нет. Если столкновение происходит, то эти три параметра – точнее, отношение между ними – определяют положение точки столкновения и направление действующих на шарики при столкновении сил. Если соударение абсолютно неупругое, то все это не имеет значения – у нас опять два уравнения и две неизвестные величины, например скорости после соударения.
ОКРЕСТНОСТИ
Если соударение упругое, полностью или частично, то новые параметры – точка столкновения и направления сил – делаются важны. Если трения нет, то силы – это только силы реакции, они перпендикулярны поверхности и проходят через центры шаров. Их компоненты, направленные вдоль параллельных прямых, влияют на продольные скорости, а поперечные компоненты вызывают разлет шариков поперек прямых. Задача вполне решаемая, но в таком виде ее в школе не дают, а поступают проще – убивают одно неизвестное. Действительно, у нас теперь три уравнения (для энергии, импульса вдоль и поперек), а неизвестных величин четыре. В естественной ситуации это компоненты скоростей после соударения, и найти их, не зная наших новых параметров, нельзя. Но то в природе, а в школе поступают просто, делают неизвестными три любые величины – по числу уравнений. Например, полагают «известной» минимум одну из компонент одной из скоростей после соударения. Либо поступают немного приличнее – просят найти не сами компоненты, а отношение каких-то двух, опять же искусственно уменьшая количество неизвестных. Если ввести коэффициент трения, то столкновение перестает быть абсолютно упругим, и у нас возникает выбор. Можно это игнорировать, применять закон сохранения кинетической энергии, а силу трения считать пропорциональной реакции опоры. В этом случае учет трения сведется к тому, что сила, с которой один шарик действует на другой, станет не перпендикулярна поверхности – у нее возникнет касательная компонента. И все было бы хорошо, но сила трения пропорциональна реакции опоры только при наличии движения. В начале столкновения шарики друг по другу действительно скользят, но не могут ли они в процессе взаимодействия остановиться? Если же мы отказываемся от абсолютной упругости, мы либо теряем одно уравнение, либо нам надо честно посчитать работу силы трения и вычесть результат из кинетической энергии. Это будет не простая задача, особенно с учетом
9
УДАР
И
ЕГО
Ядро этой задачи таково. Имеется шар известного размера, который изначально покоится. По прямой, проходящей через его центр, летит тело много меньшей массы, которое сталкивается с этим шаром. Сила, действующая между телами, считается известной. Каковы дальнейшие события? Условие на массы означает, что большой шар покоится, точнее – двигается много медленнее малого тела. Далее, если сила равна нулю (очень часто именно так проще всего начинать рассмотрение), то взаимодействие отсутствует – большое покоится, малое летит, удивляясь, что его скорость не изменилась. Начинаем увеличивать силу – начинается обмен импульсами, причем мы можем пользоваться и законом сохранения энергии, вычитая из кинетической энергии работу действующей между телами силы A FD, где D – диаметр. При дальнейшем увеличении силы мы приходим к «абсолютно неупругому удару», когда малое тело останавливается внутри большого. Вы сами можете написать соответствующие уравнения и получить решение. Если отказаться от условия на соотношение масс, то придется учитывать, что большое тело тоже перемещается, и тогда движение малого тела происходит не до остановки, а до совпадения скоростей. Можно рассмотреть и ситуацию, когда большое тело имеет начальную скорость, это не сильно усложнит задачу. У этой модели существуют несколько симпатичных вариантов усложнения, некоторые из них встречаются в задачниках. Например, малое тело может лететь по прямой, не проходящей через центр большого тела. В этом случае у силы F возникает момент, и большое тело начинает, очевидно, вращаться. Менее очевидно, что при этом у большого тела возникает компонента скорости, направленная поперек исходного направления движения малого тела. Другой вариант усложнения – если начальная скорость большого тела направлена не вдоль прямой, по которой изначально летит малое тела, а, например, перпендикулярно. Рассмотрите эту ситуацию и убедитесь, что вращение возникает
ОКРЕСТНОСТИ
и в этом случае. А вот если малое тело попадает в большое, летя по прямой, проходящей через центр не имеющего линейной скорости, но изначально вращающегося большого тела, то его вращение замедлится. «Все страньше и страньше», – сказала бы Алиса. (Помните такую?) Если изложенное выше показалось вам интересным, почти наверняка вам будут интересны и статьи об ударе, ранее опубликованные в журнале «Квант» – А.Панова (1990, №8), В.Козлова (1988, №9 и 1995, №4), С.Хорозова (1997, №4) и А.Гросберга и М.Каганова (1993, №9 10 и 1996, №2). Причем полезно прочесть их все, потому что авторы подходят к явлению с разных сторон и строят разные его модели – иногда более математические, иногда более физические. А из последней статьи вы еще и узнаете, почему при столкновении слышен звук и какую долю энергии он уносит. В заключение… оторвемся от книги или монитора и посмотрим наверх. Как написал Станислав Лем, космос не пуст – «его непрерывно пронизывают взгляды миллионов живых существ». Может быть, сейчас ваш взгляд пересекается с чьим-то взглядом с другого конца Галактики. В космосе тоже есть столкновения, известен один случай столкновения спутников, и вообще для космических аппаратов существует опасность столкновения со всяким мусором, летающим над нами. Правда, при этих скоростях рассмотренные нами модели не работают, механизм взаимодействия выглядит иначе и всегда происходит разрушение. Если человечество будет продолжать осваивать космос, то важность соответствующих задач будет расти, так что, если вы получите серьезное образование и займетесь этим классом задач, скучать вам не придется. Кстати, в статье мы не раз упоминали вращение. А галактики, как вы знаете, вращаются. Не связано ли это со столкновениями чего-то, из чего образовались галактики?