А так ли хорошо знакомы вам размерность и подобие?

…что хорошего можно сделать с вещами, не приведенными к степени и мере, особенно в физике? Алессандро Вольта

Произведенное с большей точностью измерение длины дуги меридиана … было положено в основу наиболее простой и естественной метрической системы мер. Пьер Симон Лаплас

…каждая молекула во Вселенной носит на себе печать меры и числа настолько же ясную, как и метр парижских архивов или как двойной царский локоть карнакского храма. Джеймс Клерк Максвелл

Я часто удивляюсь тому незначительному вниманию, которое уделяется великому принципу подобия даже со стороны весьма крупных ученых. Джон Уильям Рэлей

В физике … нет места для путаных мыслей… Действительно понимающие природу того или иного явления должны получать основные законы из соображений размерности. Энрико Ферми

Будьте осторожны! Проверяйте систему единиц, когда открываете новую книгу об электричестве! Яков Смородинский

?

А так ли хорошо знакомы вам размерность и подобие

Перевод мер, измерения, размерность – одни из первых терминов, встречающихся в самом начале изучения физики. В их основании – понятие МЕРЫ, с которым стоит крепко подружиться и как с необходимым инструментом для грамотного решения задач, и как с опорой для качественного анализа разнообразных физических ситуаций. Понять, что «скрепляет» описывающие явление величины, что лежит в фундаменте используемых вами систем единиц, каков баланс между интуицией и расчетом – это и еще очень многое дает владение методом размерностей и тесно связанным с ним принципом подобия. Разговор об этом займет не один выпуск «Калейдоскопа». Пока же, подобно нашим наставникам из эпиграфов, займемся развитием чувства меры в физике.

Вопросы и задачи

1. Что общего между морской милей (равной 1852 м) и $секундой?^{2.}$ До отхода поезда 2 мин, а путь до вокзала 2 км. Если первый километр спортсмен бежал со скоростью 30 км ч, то с какой скоростью он должен пробежать второй километр?

2. Может ли самолет за 1 секунду пролететь $1 километр?^{4.}$ Девочки слепили снеговика, а мальчики соорудили точную его копию, но в два раза большей высоты. Какова масса копии, если масса оригинала 50 кг? Плотность снега считайте $неизменной.^{5.}$ Баскетбольный мяч нужно накачать на 8 фунтов на квадратный дюйм (PSI, pound per square inch). Манометр насоса измеряет давление в паскалях. Что покажет прибор после $накачки?^{6.}$ Одной из характеристик писчей бумаги является ее плотность V, для измерения которой используют внесистемную едини- цу г $м^{2}$. Какое давление оказывает на стол лист бумаги плотностью $V ?^{7.}$ Как, пользуясь соображениями размерности, определить зависимость скорости звуковых волн в стержне от модуля Юнга и плотности $материала?^{8.}$ Металлическое кольцо разорвалось кулоновскими силами, когда заряд кольца был равен q. Новое кольцо таких же габаритов сделано из материала, плотность которого в 10 раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо?

9. Какая физическая величина может измеряться в единицах Дж $Кл^{2}$. с? 10. Потенциал в вершине кубика, заряженного равномерно по объему, равен 12 В. Чему равен потенциал в центре кубика? 11. В каких единицах выражается интенсивность электромагнитного излучения?

Микроопыт

Изобразите, например с помощью транспортира, центральный угол величиной в 10 градусов, затем рассмотрите его через лупу. Изменится ли величина угла?

Любопытно, что…

… с древних времен индейцы при покупке земли в качестве единицы измерения принимали территорию, которую человек мог обойти за один день. Поэтому покупатели обычно нанимали для этого самого быстрого бегуна. … размеры многих монументальных сооружений, в том числе и знаменитого Стоунхенджа, кратны особой мере длины, названной мегалитическим ярдом и равной 82,9 сантиметра. … Галилей с помощью анализа размерностей впервые пришел к выводу, что величина безопасной нагрузки на единицу объема балки обратно пропорциональна ее длине. … в решении Галилеем задачи о колебаниях маятника уже содержались соображения о подобном поведении подобных систем. Принцип же подобия в ясном виде впервые сформулировали Ньютон и Гук. … к понятию размерности физической величины и принципу однородности по размерностям в 1822 году первым прибегнул французский ученый Жан Фурье, а развил и распространил Джеймс Максвелл. … в 1832 году немецкий математик и физик Карл Гаусс создал абсолютную систему мер, введя три основные единицы для трех основных велечин – времени, длины и массы. А в 1881 году в Париже был созван Международный конгресс, впервые учредивший общепринятые единицы измерения для физических величин, присвоив им названия в честь великих физиков.

… по сей день некоторые внесистемные единицы не утрачивают своей актуальности и удобства и продолжают активно использоваться – как, например, «лошадиная сила», «астрономическая единица длины» и «миллиметр ртутного столба». … Макс Планк, введший в 1900 году свою знаменитую постоянную, отмечал, что его константа вместе со скоростью света и ньютоновской гравитационной постоянной образуют абсолютную систему единиц. Принципиально, что с точным определением и фиксацией величины фундаментальных констант тесно связаны современные значения эталонов единиц измерения. … основополагающее открытие квантовой физики – идея квантования – родилось на основе анализа Нильсом Бором размерностей физических величин, характеризующих движение электрона вокруг ядра атома. …подлетевший в 1999 году к Марсу космический аппарат НАСА прошел слишком низко над поверхностью планеты и сгорел в ее атмосфере. К аварии привела постыдная ошибка: одна группа специалистов использовала при расчетах британские единицы измерения (фунт-сила), а другая – метрические (ньютон).

Что читать в «Кванте» о размерности и подобии

(публикации последних лет) 1. «Из записной книжки учителя» – 2014, №5/6, с. 18; 2. «Сила в один буратино» – 2015, №2, с.30; 3. «Размерности и … правило квантования Бора» – 2016, Приложение №2, с.144; 4. «Объять необъятное, или Ее преПодобие Размерность» – 2019, №2, с.2; 5. «Зачем плющить зерна, или О плотности потоков» – 2019, №11, с. 27; 6. «Вычисления без вычислений» – 2020, №1, с.21; 7. «Белые карлики – кристаллические звезды» – 2021, №5, с.17.

Материал подготовил А.Леонович