Педальные отрезки: где максимум?

Квант 2021, №6 с. 18 Тег 1POL

КВАН T 2021/№6

М.ДИДИН, П.КОЖЕВНИКОВ

Пусть на плоскости дан треугольник ABC и точка X. Проекции точки X на стороны BC, CA, AB обозначим соответственно $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ . Как известно, точки $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ будут лежать на одной прямой тогда и только тогда, когда X лежит на описанной окружности треугольника ABC (в таком случае прямая $X_{a} X_{b} X_{c}$ называется прямой Симсона). Далее считаем, что X не лежит на окружности (ABC), тогда проведем через точки $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ окружность – так называемую педальную окружность точки X (рис.1). Вторые точки пересечения окружности $X_{a} X_{b} X_{c}$ со сторонами треугольника обозначим $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$ . Педальными отрезками точки X назовем отрезки $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$ . В этой небольшой статье мы изучим, какой из педальных отрезков будет макси-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210603

мальным или минимальным по длине, в зависимости от положения точки Х. По результатам этого небольшого исследования мы рассмотрим некоторые интересные частные случаи и дадим решение задачи М2621 из «Задачника «Кванта» (см. «Квант» №9 за 2020 г.). Авторское решение этой задачи опиралось на вычисление длин педальных отрезков. Будем использовать следующий известный факт (см., например, статью П.Кожевникова «Изогонально сопряженные точки» в «Кванте» №1 за 2016 г.): перпендикуляры к прямым BC, CA, AB, проведенные в точках $Y_{a}, Y_{b}, Y_{c}$ соответственно, всегда пересекутся в одной точке Y, изогонально сопряженной точке X, т.е. в точке Y такой, что прямые AX и AY симметричны относительно биссектрисы угла BAC, прямые BX и BY симметричны относительно биссектрисы угла ABC, прямые CX и CY симметричны относительно биссектрисы угла ACB. Иначе говоря, точки X и Y в наших рассмотрениях равноправны, они имеют общую педальную окружность. Точке Y мы также запретим лежать на окружности (ABC) (в этом случае X не определена, или, как говорят, «ушла в бесконечность»), кроме случая, когда X лежит на одной из прямых AB, BC, CA – тогда педальная окружность точки X определена и проходит через вершину треугольника ABC, а Y совпадает с этой вершиной. Основная идея будет в следующем. Мы найдем геометрическое место точек X, для которых найдутся два равных педальных отрезка, это ГМТ окажется объединением нескольких прямых и окружностей, которые разобьют плоскость на области. Далее позволим точке X непрерывно двигаться по плоскости, не пересекая «критической окружности» (ABC); при этом длины педальных отрезков будут меняться непрерывно, а значит, пока X находится внутри одной из определенных выше областей, упорядоченность по длине педальных отрезков $X_{a} Y_{a}, X_{b} Y_{b}, X_{c} Y_{c}$ сохранится. Далее проведем внутренние и внешние биссектрисы треугольника; пусть точки их