Московская олимпиада школьников по физике 2021 года

42

К В А НT 2021/№6

Московская олимпиада школьников по физике 2021 года

Заключительный этап

7 класс

1. Обычные и «Ласточки» (7 баллов) На железнодорожной ветке, связывающей город М с областным центром T, есть (кроме прочих) остановки в городке З и поселке П. От М до З проложены два пути для движения поездов в направлении Т, а от З до П – один путь (рис.1). Расстояние от М до З

2. Губка Менгера (10 баллов) На рисунке 2 воспроизведен компьютерный рисунок из «Википедии» (автор: Niabot),

Рис. 2

Рис. 1

равно 45 км, а от З до П – 15 км. Начиная с 17:00 и до 21:00 от М в направлении Т каждые пятнадцать минут отправляются скоростные электропоезда «Ласточка», которые останавливаются в З, но не останавливаются в П, а также хотя бы раз в час отправляются обычные электрички, останавливающиеся и в З и в П. Ласточки движутся со средней скоростью 120 км ч, а обычные электрички – со средней скоростью 45 км ч. На пути от М до З Ласточки и обычные электрички движутся по разным путям, не мешая друг другу. Электричка не отправляется из З, если на пути до П ее может догнать Ласточка, выжидая в З удобного момента для отправления (так, чтобы можно было доехать до П, не мешая Ласточкам). Можно считать, что посадка, высадка и пересадка пассажиров с одного электропоезда на другой на остановках происходят за пренебрежимо малое время. A. За какое минимальное время можно доехать до поселка П по железной дороге, отправившись из М в интервале времени от 18:00 до 19:00 включительно, в случае наиболее удобного расписания электричек? (3 балла) B. В какое время (часов, минут) в интервале от 18:00 до 18:30 включительно следует назначить отправление электричек от М, чтобы они приходили в П, не задерживаясь в З? Укажите все значения. (4 балла) П.Крюков, А.Бычков на котором изображены первые итерации построения фрактала под названием «Губка Менгера». На первой итерации в кубе делают три сквозных отверстия квадратного сечения. Оси отверстий взаимно перпендикулярны, перпендикулярны граням куба и проходят через середины граней. Длина стороны квадрата, лежащего в сечении отверстия, равна 1 3 длины стороны грани куба. На второй итерации подобные отверстия проделывают в маленьких кубиках, образовавшихся на гранях большого куба, и так далее. Пусть имеется заготовка в виде куба с длиной стороны 1 м, изготовленная из пластика плотностью 1000 кг $м^{3}$, а также устройство, при помощи которого можно делать в этой заготовке отверстия квадратного сечения сколь угодно малого размера. Из куба решили изготовить n-ю итерацию Губки Менгера. A. Чему равна средняя плотность куба на четвертой итерации (последний кубик на рисунке)? (4 балла) B. Представим себе, что образующиеся на n-й итерации полости заполняют пластиком плотностью 2000 кг $м^{3}$. Чему может быть равна средняя плотность куба на n-й ( n t 0 ) итерации? В ответе укажите границы диапазона возможных значений плотности. (2 балла) С. Нам не нравится, что губка белая. Решили покрасить все грани губки на второй итерации (в том числе все внутренние) синей краской, расход которой составляет 100 г $м^{2}$. Хватит ли для этого одной банки, содержащей 1 кг краски? А двух банок? (4 балла) П.Крюков, А.Бычков

44

К В А НT 2021/№6

и направлены так, как показано на рисунке 6. A. 1) Если бы второй и четвертой бусинок не было, то как выглядел бы график зависимости угла $M_{3} t$, определяющего положение третьей бусинки, от времени для первых двух секунд движения? (1 балл) 2) Изобразите график зависимости угла $M_{2} t$, определяющего положение второй бусинки, от времени для первых двух секунд движения (на кольце четыре бусинки). (3 балла). B. В какой точке кольца будет находиться через 2 секунды после начала движения первая бусинка? Сколько столкновений она испытает за это время? (2 балла) С. Верно ли, что углы, характеризующие положение бусинок, а также их скорости через некоторое время T будут такими же, как в начальный момент? Если да, то найдите время T. (5 баллов) П.Крюков

2. См. задачу Ф2658 «Задачника «Кванта» (8 баллов). 3. Про электросамокат (6 баллов) В электросамокате в качестве источника энергии используется батарея литий-ионных аккумуляторов. При помощи специального устройства, которое называется контроллером, и мотора электрическая энергия, запасенная в аккумуляторе, преобразуется в механическую работу без потерь. Можно считать, что при движении с постоянной скоростью вся механическая работа совершается мотором самоката против силы сопротивления воздуха, которая пропорциональна квадрату скорости самоката. Уровень заряда батареи пропорционален электрической энергии, запасенной в аккумуляторе. При движении на самокате со скоростью 15 км ч по горизонтальной дороге уровень заряда батареи уменьшается от 80% до 70% за 20 минут. За какое время произойдет такое же уменьшение заряда батареи при движении со скоростью 18,9 км ч по той же дороге на том же самокате того же самого человека, что и в первом случае?

3. См. задачу Ф2659 «Задачника «Кванта» (10 баллов).

9 класс

1. Диско-шар (10 баллов) Диско-шар – это шар с зеркальной поверхностью, состоящей из сотен или тысяч граней, каждая из которых – маленькое плоское зеркало. Обычно он подвешивается на потолке к устройству, которое равномерно вращает его вокруг вертикальной оси. Когда шар освещается прожекторами, зрители видят многочисленные отблески («зайчики»), бегущие по полу, стенам и потолку помещения (фото на рисунке 7). Зеркальные шары

Рис. 7

приобрели популярность в период расцвета музыкального стиля диско в конце 70-х годов 20 века, когда их стали устанавливать в залах дискотек и ночных клубов. Пусть шар радиусом R вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (точка A на рисунке 8, вид сверху), совершая n оборотов в секунду. Расстояние от центра шара до вертикальной стены, совпадающей с горизонтальной осью x, равно H, при этом H ≫ R. Шар освещается пучком параллельных лучей, который формируется прожектором, расположенным на стене на той же высоте, что и центр шара. Лучи света от прожектора идут перпендикулярно стене, поперечный размер пучка равен 2d.

Пояснение. Когда мы говорим «работа совершается против силы сопротивления воздуха», то имеем в виду, что работа сил, заставляющих самокат двигаться, равна по абсолютной величине работе силы сопротивления.

М.Ромашка, П.Крюков

Рис. 8

45

О Л ИМ П ИА Д Ы

Рассмотрим «зайчики», бегущие по стене на той же высоте, что и прожектор. A. Чему равно максимальное значение координаты зайчика $x_{max}$? (2 балла) B. Определите скорость v x движения «зайчика», проходящего точку с координатой x. (4 балла) С. Пусть одинаковые маленькие плоские зеркала, покрывающие поверхность шара, имеют форму квадратиков с длиной стороны a ( a ≪ R ). Пусть пучок света прожектора, падающий на шар, имеет небольшую расходимость, определяемую углом 2M ( M ≪ 1 ). Оцените максимальное значение угла M, при котором хотя бы в некоторых точках стены можно будет различить отдельные «зайчики». (4 балла)

Указание. При решении могут оказаться полезными следующие приближенные соотношения для тригонометрических функций малых углов D ( D ≪ 1, > D @ рад): sin D | D, cos D | 1, tg D | D.

П.Крюков

2. См. задачу Ф2657 «Задачника «Кванта» (10 баллов). 3. См. задачу Ф2660 «Задачника «Кванта» (8 баллов). 4. Плотность мантии (6 баллов) По существующим представлениям о строении Земли под слоем земной коры небольшой толщины находится мантия, состоящая из силикатных пород и простирающаяся примерно до глубины 2900 км, мантия окружает жидкое внешнее ядро. С небольших глубин из-за высоких давлений твердое вещество мантии начинает проявлять пластические свойства, поэтому при расчетах можно считать его жидким. На основе анализа данных о скоростях распространения сейсмических волн возникли модельные представления о распределении давления внутри Земли. В первом приближении график зависимости давления р от глубины h (при h Щ 3500 км) состоит из двух линейных участков (рис.9), при этом гравитационная сила, действующая на тело массой m со стороны Земли на глубинах до 3000 км, определяется по той же формуле, что и на поверхности: F mg. Можно считать, что ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Изобразите графически зависимость плотности вещества Земли от глубины, соответствующую участку прямой пропорциональности на графике давления. На сколько

Рис. 9

изменяется плотность в точке излома графика давления? А.Бычков, П.Крюков

5. Планирование (9 баллов) На крыло летательного аппарата со стороны натекающего на него потока воздуха, движущегося со скоростью v (относительно крыла), действуют силы, зависящие от скорости v: подъемная сила L v, ортогональная скорости, и сила сопротивления D v, сонаправленная скорости (рис.10). Отноше-

Рис. 10

L v называется аэродинами- D v ческим качеством. В этой задаче рассмат- ние K v ривается полет планера (безмоторного летательного аппарата), для которого аэродинамическое качество можно считать постоянным, не зависящим от направления и величины скорости v. Известно, что в неподвижном (относительно земли) воздухе планер может лететь, снижаясь, с постоянной скоростью, так что уменьшение высоты будет составлять 20 метров на каждый километр перемещения по горизонтали (рис.11).

Рис. 11

47

О Л ИМ П ИА Д Ы

2. Подул встречный (для тазика) ветер, так что горизонтальная составляющая скорости капель вблизи земли оказалась равна w, а вертикальная равна u. Какое расстояние $L_{2}$ пройдет тазик до остановки, если время движения равно t? (2 балла) B. В этой части задачи считается, что дырок в тазике нет, вся попадающая в таз дождевая вода остается в нем. За рассматриваемое время вода не заполняет таз целиком и не переливается через борт. Ветра нет, скорость капель вертикальна. 1) Определите зависимость скорости таза от времени v t в этом случае. (2 балла) 2) Если таз проходит расстояние s к моменту, когда масса воды в нем становится равна массе таза M, то какое расстояние он пройдет к моменту, когда масса воды в нем станет равна 3M? (3 балла) Фольклор

2. Изобразите характеристику (7 баллов) В схеме специального источника напряжения, показанной на рисунке 14, диоды –

емкостью 3C не заряжен, ток в цепи равен нулю. Другие параметры схемы равны $R_{1} 10$ МОм, $R_{2} 10$ Ом, E 12 В. Внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов можно пренебречь. Ключ замыкают. Определите токи $i_{1}$ и $i_{2}$, текущие через резисторы сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно, через одну секунду после замыкания ключа. М.Ромашка

4. Рассматривая монеточку (9 баллов) На дне сосуда глубиной h, заполненного жидкостью с показателем преломления n, в точке с координатами (0, h) (направление осей показано на рисунке 16) располагается

Рис. 16

Рис. 14

идеальные (открываются при близком к нулю напряжении), значения ЭДС и внутреннего сопротивления равны E 1,5 В и r 1,0 Ом соответственно. Изобразите графически зависимость i U (ВАХ источника), где i – ток, возникающий при подключении к источнику нагрузки, а U – разность потенциалов выводов A и $B: U M_{A} M_{B}$. По мотивам задачи А.Зильбермана Ф753

3. Токи через секунду (8 баллов) В схеме, показанной на рисунке 15, ключ K изначально разомкнут, конденсатор емкостью C 100 мкФ заряжен, а конденсатор

Рис. 15

Рис. 17

монеточка S. Наблюдатель видит изображение монеточки $S_{1}$ в точке с координатами (x, y). Множество значений (x, y) для разных углов зрения изображено на графике (рис.17). Используя график, найдите показатель преломления жидкости n и глубину сосуда h. П.Крюков

5. О капле (12 баллов) В этой задаче рассматривается эффект уменьшения температуры капли воды вследствие испарения с ее поверхности при близких к комнатным давлении и температуре.