Решения задач М2786—М2793; Ф2793—Ф2796

19

ЗАДАЧНИК

Рис. 2

Коэффициент трения гаечки о плоскость P tg D, где D – угол трения (т.е. угол наклона, при котором начинается скольжение). Находящуюся в плоскости гаечку P отклоняют от линии OB, называемой линией наибольшего ската или линией наибольшего уклона, и отпускают без начальной скорости. На какой максимальный угол $M_{max}$ можно отклонить гаечку от линии наибольшего ската так, чтобы она не начала двигаться после того, как ее отпустят? А.Буров

Ф2811. Если при комнатной температуре ( 20 q C ) накачать в бутылку с прозрачными мокрыми изнутри стенками наружный воздух до давления, например, 2,33 атм, подождать некоторое время, чтобы внутри установились температура и давление насыщенного пара воды (2,33 кПа при 20°С), а затем открыть бутылку, то в ней сразу после вылета пробки и части содержимого появляется туман. Какая в этот момент будет температура содержимого (в центре бутылки)? Необходимые данные о воде, в частности о зависимости давления насыщенного пара воды от температуры, можно найти в физических справочниках. Б.Туманов

Ф2812. Трехфазный трансформатор имеет Ф-образный железный сердечник и три одинаковые обмотки с одинаковым количеством витков. Железо сердечника не насыщается и обладает очень большой и постоянной магнитной восприимчивостью. Если подать переменное напряжение с амплитудой $U_{0}$ на ту обмотку, которая охватывает срединный магнитопровод, то с любой другой обмотки снимается напря-

«КВАНТА»

жение половинной амплитуды. Если же подать такое же напряжение на одну из боковых обмоток, то на срединной обмотке напряжение будет равно $0,55U_{0}$. 1) На одну из обмоток подали напряжение U sin Z t, а на другую 2 U cos Z t. Какое напряжение снимается с третьей обмотки? (Вариантов несколько, укажите все возможные.) 2) Если с помощью этого трансформатора попытаться получить максимальное по амплитуде напряжение при наличии источника переменного напряжения с амплитудой $U_{0}$, то какой будет амплитуда этого напряжения? Нарисуйте схему подключения трансформатора к источнику и выводам напряжения. 3) С помощью этого же трансформатора и того же источника переменного напряжения нужно получить переменное напряжение с амплитудой, не равной нулю, но возможно меньшей в сравнении с $U_{0}$. Каково это минимальное по амплитуде напряжение? С.Варламов

Решения задач М2786–М2793, Ф2793–Ф2796 M2786. По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря – чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?

Ответ: 50. Всего в круге имеется 100 пар соседних точек. Достаточно показать, что Аня всегда может добиться, чтобы среди этих 100 пар разноцветных пар было не меньше 50, а Боря сможет добиться, чтобы среди этих 100 пар одноцветных пар было не меньше 50. Есть несколько подходящих стратегий за Аню и Борю. Возможно, наиболее простыми являются следующие стратегии.

21

ЗАДАЧНИК

все отмеченные точки на 111 линейных множеств? б) Тот же вопрос, если дополнительно требуется, чтобы каждое линейное множество представляло из себя отрезок отмеченных точек (т.е. если две различные отмеченные точки входят в одно линейное множество, то и все отмеченные точки на отрезке между ними – тоже).

2

3

Ответ: а) $2^{3} n$; б) $C_{2} nn$, где n 111 3 37. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной k, разобьем его на правильные треугольнички со стороной 1 и отметим все вершины этих треугольничков; полученную конструкцию назовем k-треугольником. В дальнейшем под прямыми мы всегда будем понимать прямые, параллельные сторонам этого треугольника и проходящие через хотя бы одну отмеченную точку. а) Лемма. Пусть A – отмеченная точка в k-треугольнике. Тогда существует единственный способ провести k прямых так, что все отмеченные точки, кроме, возможно, A, покрыты этими прямыми. А именно, для каждой стороны k-треугольника надо провести все прямые, параллельные ей и лежащие между этой стороной и точкой A (включая саму сторону, но исключая прямую, содержащую A Рис. 1 (рис. 1). Доказательство. Индукция по k. База при k 1 проверяется легко: надо провести прямую, содержащую две оставшихся точки, кроме A. Для перехода рассмотрим сторону k-треугольника, на которой не лежит A. Если прямая, содержащая эту сторону, не проведена, то все k + 1 отмеченных точек на этой прямой должны быть покрыты различными прямыми; это невозможно, так как прямых k. Значит, эта прямая проведена. Выкинув ее и точки k-треугольника, лежащие на ней, получаем k 1 -треугольник, в котором проведено k 1 прямых с теми же условиями. Осталось при-

«КВАНТА»

менить предположение индукции. Лемма доказана. Перейдем к задаче. Рассмотрим одно из разбиений на линейные множества. Для каждого множества проведем прямую, его содержащую. Тогда эти прямые покрыли все отмеченные точки нашего данного (3n)-треугольника, где n 37, кроме, возможно, его центра A. Значит, эти прямые устроены так, как описано в лемме, и для любого разбиения этот набор прямых один и тот же. Заметим, что наш (3n)-треугольник разбился на 6 областей: три «ромба» в углах, состоящие из точек, покрытых нашими прямыми дважды, и три «трапеции» у сторон, в которых каждая точка покрыта одной прямой (рис. 2). Тогда каждая точка в «трапеции» относится к множеству, лежаще- Рис. 2 му на этой прямой; каждую же точку в «ромбе» можно отнести к любому из двух множеств, лежащих на проходящих через нее прямых. Все такие выборы можно сделать независимо друг от друга. Поскольку в каждом из трех «ромбов» всего $n^{2}$ точек, получаем, что требуе- мых разбиений ровно $2^{n}$

2

3

.

б) Для решения задачи б) повторим все рассуждения выше вплоть до распределения точек по множествам в «ромбах». Рассмотрим, например, левый нижний «ромб», и пусть S – множество из $n^{2}$ отмеченных точек в нем (рис. 3). Покрасим красным горизонтальные прямые, проходящие через точки множества S, и занумеруем их от 1 до n снизу вверх. Аналогично покрасим синим и занумеруем наклонные прямые, проходящие через точки множества S. В соответствии с покраской и нумерацией прямых покрасим и занумеруем лежа- Рис. 3

25

ЗАДАЧНИК

ползти наверх с одинаковой постоянной скоростью по нашим правилам (при этом по палочкам они будут переползать мгновенно), жуки на горизонтальных палочках будут меняться местами, и никакие два жука не окажутся на одном столбике в одно и то же время. Значит, на вершине каждого из столбиков в конце будет по жуку. Назовем жука, стартовавшего с первого столбика, красным, а того, кто финиширует на вершине центрального столбика, зеленым. Заметим, что красный жук стартует левее зеленого, а финиширует правее. Значит, хотя бы на одной из палочек они меняются местами. Уберем эту палочку: тем самым мы перенаправим красного жука по маршруту зеленого, чем и добьемся желаемого. Приведем схему несколько другого возможного решения. Изначально посадим синего жука на вершину пятого столбика, и пусть он ползет сверху вниз. Его траектория пересечется с траекторией красного жука на горизонтальной палочке. Эту палочку и уберем. Г.Караваев

M2793*. В остроугольном треугольнике ABC (AB AC) точка O – центр описанной окружности: (рис. 1). Пусть касательная к:, проведенная в точке A, пересекает прямую BC в точке D. Пусть прямая DO пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Точка G построена так, что AEGF – параллелограмм. Пусть K и H – точки пересечения отрезка BC с отрезками EG и FG соответственно. Докажите, что окружность (GKH) касается окружности:.

Рис. 1

«КВАНТА»

Рис. 2

Пусть точка T симметрична точке A относительно DO (рис.2). Тогда DT – касательная к окружности:, симметричная касательной DA относительно DO. Имеем ‘ ETF ‘ FAE ‘ EGF. Отсюда следует, что точки E, F, T и G лежат на одной окружности. Далее ‘ ETD ‘ DAE ‘ ACB ‘ EKD. Отсюда вытекает, что точки D, E, K и T лежат на одной окружности. Получается, что T – это точка Микеля для четверки прямых DBC, DEF, EKG, FHG. Значит, точки T, K, H и G также лежат на одной окружности. Для завершения решения остается доказать, что DT – касательная к окружности (TKHG). Пользуясь равенством вписанных углов, параллельностью и симметрией относительно DO, имеем ‘ DTK ‘ FEK ‘ EFA ‘ TFE ‘ TGK. Полученное равенство ‘ DTK ‘ TGK означает, что DT касается окружности (TKHG). Донг Луу

От редакции. В геометрической конструкции из задачи М2793 можно обнаружить также следующие интересные свойства. (1) Если окружность (EFG) вторично пересекает AB и AC в точках P и Q, то PQ пройдет через ортоцентр треугольника ABC; (2) AG пересекает окружность (TKHG) вторично в точке X такой, что касательная к (TKHG), проведенная через X, проходит через D. При этом (1) справедливо для любой пары точек E и F, лежащих на AB и AC и таких, что EF проходит через O, а (2) справедли-

28

КВАН T 2024/№7

криволинейному, то следует отметить, что в прямолинейном участке давления во всех точках одинаковые, а в криволинейном они разные. Но скачком давление измениться не может; таким образом, в решении должна присутствовать зависимость от расстояния, которое прошла порция жидкости в криволинейном участке, а эта зависимость в решении отсутствует. Правда, в условии сказано, что место, где нужно найти скорость, находится далеко от прямого участка. Значит, полученное решение качественно верное, но не точное.

Ф2795. Кольцо имеет радиус R, толщина кольца мала в сравнении с его радиусом, масса кольца m равномерно распределена по его периметру. Кольцо раскрутили вокруг его оси симметрии, положили на шероховатую, коэффициент трения равен P, наклонную поверхность с углом наклона D к горизонту и толкнули его вверх. Ось симметрии кольца перпендикулярна наклонной поверхности. Кольцо всеми точками его периметра прижимается к поверхности. В какой-то момент центр кольца имел нулевую (по отношению к поверхности) скорость и кольцо вращалось с угловой скоростью Z. С каким ускорением движется центр кольца в указанный момент времени? С какой скоростью в этот момент уменьшается угловая скорость вращения кольца?

В указанный момент все точки кольца, контактирующие с поверхностью, движутся и скорости их движения направлены по касательной к кольцу. Это означает, что суммарная сила трения, действующая на кольцо, равна в этот момент нулю. Следовательно, ускорение центра кольца равно $а_{ц} = g$ sin D. Угловая скорость вращения кольца уменьшается и в указанный момент соответствующее угловое ускорение (на самом деле – замедление) равно d Z dt g P cos D. R

В дополнение к этому простому решению можно предложить читателям более сложные вопросы, чем заданные в условии зада-

чи: какой путь пройдет центр кольца от указанного момента времени до момента, когда вращение кольца прекратится; на какой угол за этот промежуток времени успеет повернуться кольцо? Для ответа на эти вопросы, по-видимому, придется использовать компьютер, поскольку для нахождения зависимости ускорения и скорости движения центра кольца от времени, а также для установления зависимости от времени угловой скорости вращения кольца нужно решать дифференциальные уравнения, в которых требуется вычислять непростые интегралы, а подынтегральные выражения содержат и скорость движения центра кольца, и угловую скорость его вращения.

Ф2796. Очень длинный тонкостенный закрепленный короб сделан из непроводящего ток материала. Поперечное сечение короба – это квадрат со стороной a. На оси симметрии короба находится очень длинный тонкий стержень с равномерно распределенным по его длине электрическим зарядом. Линейная плотность заряда V. К ребру короба прикреплен один конец тонкой непроводящей невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на короб, образуя N одинаковых витков. Плоскости витков перпендикулярны оси симметрии короба. На другом конце нити прикреплен точечный предмет (шарик) с массой m и электрическим зарядом q. В начальный момент этот предмет находится рядом с местом закрепления конца нити на коробе и его скорость в этот момент равна нулю. Эта конструкция находится в вакууме и гравитацией можно пренебречь. В процессе движения предмета он в какой-то момент приобретает максимальную скорость. Какова величина этой скорости и какова в этот момент сила натяжения нити?

Стержень создает в окружающем пространстве электрическое поле, вектор напряженности которого в любой точке пространства перпендикулярен стержню, а величина этого вектора определяется расстоянием от стержня до соответствующей точки. Найти эту величину можно с помощью теоремы Гаусса: