«Лёгкое решение одной трудной геометрической задачи»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

«Легкое решение одной трудной геометрической задачи»

К.КОЗЕРЕНКО, А.ГЕРАСИМОВА, А.ЛУЗГИНА

КАВЫЧКИ В ЗАГЛАВИИ СТАТЬИ МЫ поставили потому, что это цитата. Так называлась статья Л.Эйлера [1], которую он опубликовал в 1767 году. В ней Эйлер поставил вопрос о восстановлении треугольника по точке пересечения высот H, точке пересечения медиан M, точке пересечения биссектрис I и центру описанной окружности O (рис. 1). Тот факт, что точка M лежит на отрезке HO, как раз появился в этой статье (см. [2]). Рис. 1 Прошло 215 лет, и в 1982 году американский математик Вильям Верник опубликовал список из 139 задач [3], в котором попытался систематизировать задачи восстановления треугольника по некоторым трем его точкам с помощью циркуля и линейки. Среди этих задач под номером 80 упоминалась, как до тех пор нерешенная, и задача Эйлера. В 1996 году Майерс объявил о решении еще 29 задач из списка Верника [4], среди которых была и задача $№80.^{1}$ В качестве примера Майерс привел решение

одной из 29 задач. Это решение использовало следующую теорему (см. [7], глава 5). Теорема. Пусть дан отрезок длины 1. Тогда, если кубическое уравнение с рациональными коэффициентами не имеет рациональных корней и имеет положительный (вещественный) корень a, то отрезок длины a не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Доказательство этой теоремы непросто и использует алгебраический аппарат, который выходит далеко за пределы школьной программы, поэтому мы его не приводим (однако советуем читателю в нем разобраться). В этой статье мы, опираясь на ту же теорему, приведем доказательство того, что ответ в задаче 80 из списка Верника – отрицательный, т.е. что не существует алгоритма восстановить треугольник циркулем и линейкой по точкам H, I и O. Но, если не хватает циркуля и линейки, то возникает естественный вопрос: существует ли инструмент, добавив который к циркулю и линейке, можно решить задачу? Мы дадим ответ и на этот вопрос. Для начала заметим (и это просто поразительно!), что циркулем и линейкой, исходя из треугольника HIO, можно восстановить много элементов треугольника: построить описанную окружность:, вписанную окружность Z, окружность девяти точек H (окружность Эйлера) и даже найти полупериметр p искомого треугольника (рис. 2). Когда мы это обнаружили, нам показалось, что это почти все! На этом этапе работы мы еще не знали ответа и никак не могли понять, почему, продвинувшись так далеко, мы не можем завершить алгоритм восстановления треугольника по точкам H, I и O. Масла в

(Продолжение см. на с. 34)

1 Отметим статью [5], в которой речь шла про неразрешимость других задач списка Верника, но та же конструкция работает и для задачи 80. Что касается текущей ситуации со списком Верника, сейчас он до конца закрыт (см. [6]), причем авторы этой работы научились быстро решать такие задачи на компьютере.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240703

Рис. 2

39

ЛАБОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Рис. 3. Распределение периодов колебаний

данном конкретном случае представляющая собой функцию распределения периодов. Это – число колебаний, чьи периоды находятся в заданном интервале. Всякое измерение – вероятностный процесс. Чем выше вероятность, тем более достоверным, не сомнительным, представляется явление. В положении «проводник внизу» колебаний маятника с малыми периодами больше, чем с большими; период обратно пропорционален корню квадратному из ускорения «свободного падения», значит, система становится «тяжелее». Все верно: при малых периодах сила, действующая на незамкнутые токи, направлена туда, куда надо; так, как ожидалось (см. рис. 1,б). На проводник в таком расположении действует не только $сила_{r}$ гравитационного притяжения, но и сила f. При больших периодах все происходит с точностью до наоборот. Жаль, конечно, что максимумы вероятностей не раздвинулись еще больше. Причина понятна: кроме незамкнутых токов, есть и замкнутые, воздействие на них магнитного поля значительно. И еще одно подтверждение того, что частота колебаний проводника зависит от его положения. При отключенных электромагнитах маятника Вальтенгофена период колебаний оказался

близким к 1,051 с, т.е. между значениями, при которых происходит увеличение или уменьшение веса. Эффект пока слаб. Изменение измеряемой таким образом величины g составило около двух десятых процента. А что мы хотим? Чтобы при частоте колебаний в 1 герц вся система взлетела, в известном смысле ни от чего не отталкиваясь? В реальной жизни такого не бывает, нужны дополнительные условия и усилия, чтобы такое случилось.

Литература

1. А.Л. Дорофеев. Вихревые токи. – М.: Энергия, 1977. 2. П. Кузьмин. Парадоксы постоянного магнитного поля. – «Квант», 1995, № 3. 3. Дж. Орир. Физика. – М.: КДУ, 2019. 4. Т.А. Агекян. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. – М.: Наука, 1968.