Заключительный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

ОЛИМ П ИА ДЫ

Заключительный этап L Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап юбилейной, пятидесятой Всероссийской математической олимпиады проходил с 19 по 25 апреля 2024 года в Нижнем Новгороде. Главным организатором олимпиады выступил Мининский университет. Участникам олимпиады была предложена интересная экскурсионная программа, а также посещение научно-популярных лекций от математиков – представителей ведущих вузов страны. В олимпиаде приняли участие 471 школьников, представивших почти все регионы России. Также, по традиции, в олимпиаде участвовала команда из Китая: в онлайнрежиме олимпиаду написали шестеро школьников из провинции Чжэцзян. О сложности задач можно судить по следующим таблицам (решившим задачу считается участник, набравший по этой задаче не меньше 5 баллов из 7 возможных):

9 класс

,

10 класс

,

11 класс

,

Опрос участников олимпиады выявил наиболее красивые, по их мнению, задачи олимпиады. В параллели 9 классов первые три места заняли задачи 6 (1 место), 8 (2 место) и 3 (3 место), в параллели 10 классов – задачи 2 (1 место), 6 (2 место) и 3 (3 место), в параллели 11 классов – задачи 3 (1 место), 7 (2 место) и 2 (3 место). Ниже приводятся условия задач и список победителей заключительного этапа L Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач

9 класс

1. Петя и Вася знают лишь натуральные числа, не превосходящие $10^{9} 4000$. Петя считает хорошими числа, представимые в виде abc ab ac bc, где a, b и c – натуральные числа, не меньшие 100. Вася считает хорошими числа, представимые в виде xyz x y z, где x, y и z – натуральные числа, большие 100. Для кого из них хороших чисел больше? И.Богданов

2. У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100? Методкомиссия по мотивам задачи А.Чиронова

3. Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а сво-

47

ОТВЕТ Ы,

УКАЗАНИЯ,

направлена горизонтально. Во сколько раз масса машинки больше массы шарика? Трением пренебречь, движение поступательное, tg 42 q 0,9, удар абсолютно упругий. 4. Одноатомный идеальный газ в сосуде под поршнем совершает циклический процесс. Датчики фиксируют давление p газа и его температуру T в зависимости от времени t. Графики этих зависимостей приведены на рисунке 16. Определите: 1) отношение максимального объема газа к минимальному в данном процессе; 2) работу, совершенную над газом при его изобарном сжатии, если при изохорном нагреве к газу подведено Q 300 Дж теплоты. 5. Два одинаковых маленьких заряженных шарика удерживают на гладкой горизонтальной поверхности. В точку А, в которой модуль вектора напряженности электрического поля заряженных шариков равен $E^{1000} В^{м}$, поместили точеный заряд q 1 мкКл и шарики одновременно отпусти-

РЕШЕНИЯ

Рис. 16

ли. Их ускорения в начале движения оказались взаимно перпендикулярными и равными по величине $a_{1}^{3} м^{с} 2$ и $a_{2} 4^{м} с^{2}$. Определите массу шарика. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый, В.Гундырев

ОТВЕТ Ы, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №5–6)

1. В первой норке живет рыжая мышка, во второй – желтая, в третьей – черная, в четвертой – белая, в пятой – серая. Белая мышка живет между двумя другими, но не в третьей норке (иначе белый сыр перед ней был бы съеден). Значит, белая мышка живет либо во второй норке, либо в четвертой. Если во второй, то ее соседка серая мышка живет не в первой, а в третьей норке, черная – в первой, а рыжая живет не рядом с серой – т.е. не в четвертой, а в оставшейся пятой норке. Но тогда в четвертой должна жить желтая, а желтый сыр перед ней оказался не съеден – противоречие. Значит, белая мышка живет не во второй, а в четвертой норке. В таком случае ее соседка черная живет в третьей норке, серая – в пятой; рыжая из оставшихся двух может жить только в первой, а тогда желтая – во второй. 2. Несколько примеров пришивания и разрезания показаны на рисунках 1–3. Комментарий. Части одинаковые, а значит, можно одну из частей переместить как единое целое, чтобы она наложилась на другую. В первом примере для этого надо ее сдвинуть параллельно самой себе, во втором повернуть вокруг некоторой точки, а в третьем сначала сдвинуть, а потом

Рис. 1

Рис. 2

перевернуть на другую сторону. Эти перемещения называют движениями плоскости – они не меняют расстояния между точками фигуры, и поэтому фигура сохраняет свою форму Рис. 3 и размеры. Движения, которые мы видим в этих примерах, называются соответственно параллельным переносом, поворотом и скользящей симметрией. Теорема Шаля гласит, что всякое движение плоскости относится к одному из трех данных типов. Мишель Шаль – известный французский геометр XIX века. 3. 8. Пусть М – середина АС $(рис.^{4).}$ Тогда AM MC 1; BM – медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, поэтому она также является высотой. Треугольники AKH и ABM равны по стороне и двум прилежа-