Các bất đẳng thức hình học

23

Bất đẳng thức hình học

M. I. BASHMAKOV

Trên các trang của tạp chí chúng ta bắt đầu chuyên mục toán học. Các chủ đề của chuyên mục này chủ yếu sẽ có thể tiếp cận được với học sinh lớp tám, nhưng chúng tôi hy vọng rằng chúng sẽ thú vị đối với tất cả độc giả của «Kvant».
Buổi học đầu tiên của chuyên mục được dành cho các bất đẳng thức hình học.

Ngay từ đầu khi học hình học, chúng ta làm quen với một sự kiện quan trọng: cạnh của tam giác nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại (hình 1). Tuy nhiên, bất đẳng thức được gọi là bất đẳng thức tam giác cho phép giải quyết một số bài toán hình học thú vị.

Bài toán 1. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm bên trong tam giác đến các đỉnh của nó lớn hơn một nửa chu vi của tam giác này.

Lời giải. Xét các tam giác AOB, BOC và COA (hình 2) và viết ba bất đẳng thức

tam giác:
$$AO + OB > AB,$$
$$BO + OC > BC,$$
$$CO + OA > CA.$$

Cộng các bất đẳng thức này và chia đôi, ta được
$$AO + BO + CO > \frac{1}{2}(AB + BC + CA),$$

đó chính là điều cần chứng minh.

Hãy thử tự giải thêm một vài bài toán chứng minh bất đẳng thức. Cần lựa chọn các tam giác một cách hợp lý, viết ra các bất đẳng thức cho các cạnh của chúng và biến đổi các bất đẳng thức này về dạng cần thiết.

Chứng minh rằng:
Bài toán 2. Tổng các đường chéo của một ngũ giác lồi nhỏ hơn hai lần chu vi.
Bài toán 3. Tổng các đường chéo của một ngũ giác lồi lớn hơn chu vi.

Hình 1
$$AC < AB + BC$$

Hình 2

24

Bài toán 4. Trung tuyến của tam giác nhỏ hơn nửa tổng của hai cạnh mà nó nằm giữa.

Bài toán 5. Tổng các trung tuyến của tam giác nhỏ hơn chu vi, nhưng lớn hơn ba phần tư chu vi.

Có lẽ các bạn đã chú ý rằng trong mỗi bài toán cần phải lựa chọn riêng cách thức, hướng tiến hành đánh giá (thiết lập bất đẳng thức). Đồng thời không phải lúc nào cũng có thể nhận được ngay kết quả cần thiết. Chẳng hạn, trong bài toán cuối cùng, dễ dàng nhận được rằng tổng các trung tuyến lớn hơn một nửa chu vi. (Chỉ cần xét các tam giác ABD, BCF và CAE trong hình 3.) Đồng thời, từ các tam giác khác có thể nhận được đánh giá chính xác hơn, cần thiết trong bài toán. Nảy sinh câu hỏi: hằng số chính xác nhất mà đánh giá

$$k_1 p < m_a + m_b + m_c?$$

đúng là bao nhiêu?

(ở đây $m_a, m_b, m_c$ — là các trung tuyến ứng với các cạnh $a, b$ và $c$, còn $p$ — là chu vi của tam giác). Tương tự, cũng thú vị khi nhận được đánh giá chính xác từ phía kia: tìm hằng số $k_2$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức

$$m_a + m_b + m_c < k_2 p$$

đúng với mọi tam giác.

Bài toán 6. Chứng minh rằng khi so sánh tổng các trung tuyến của tam giác, có thể xét, chẳng hạn, cả các tam giác cân có

25

đỉnh tiến gần đến đáy (hình 4). Rõ ràng rằng chu vi của chúng gần với hai lần cạnh đáy, còn tổng các trung tuyến gần với $\frac{3}{2}$ đáy. Đẳng thức sẽ xảy ra khi đỉnh rơi xuống đáy, và tam giác «suy biến» thành một đoạn thẳng kép.

Nói chung, với mọi số $x$ thuộc khoảng
$$\frac{3}{4} < x < 1$$

có thể chỉ ra một tam giác đồng dạng cân bằng như vậy, đối với nó
$$\frac{m_a + m_b + m_c}{p} = x.$$

Điều này cho phép giải bài toán 6.

Bài toán 7. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ bên trong tam giác đến các đỉnh của nó nhỏ hơn chu vi.

Bài toán 8. So sánh các bài toán 1 và 7, 2 và 3; đặt ra và nghiên cứu một vấn đề tương tự như vấn đề mà chúng ta đã thảo luận về các đường trung tuyến.

Bài toán 9. Xét tất cả các đa giác lồi $n$-cạnh ($n$ — một số xác định). Lấy một điểm bên trong một đa giác như vậy và lập tỉ số giữa tổng các khoảng cách từ nó đến các đỉnh với chu vi. Tỉ số này có thể nhận những giá trị nào? *)

Trong các bài toán sau cần sử dụng, ngoài bất đẳng thức tam giác, một số bất đẳng thức đơn giản khác, ví dụ như trong hai cạnh của tam giác thì cạnh nằm đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn, đặc biệt là cạnh huyền của tam giác vuông lớn hơn cạnh góc vuông, v. v.

Bài toán 10. Chứng minh rằng đối với mọi tam giác vuông

*) So sánh bài toán 4 ở trang 59 của số đầu tiên của «Квант».

đúng các bất đẳng thức sau:
$$0,4 < \frac{r}{h} < 0,5, где r — радиус вписанного кругга, h — высота, опущенная из вершины прямого угла. Являются ли написанные границы точными?$$

Bài toán 11. Trên tia phân giác của góc ngoài $C$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$, khác với $C$. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách của nó đến các đỉnh $A$ và $B$ lớn hơn tổng các khoảng cách từ điểm $C$ đến chính các đỉnh đó.

Bài toán 12. Để góc $A$ trong tam giác $ABC$ là góc nhọn, điều kiện cần và đủ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ lớn hơn hai lần cạnh $BC$. $A$, lớn hơn hai lần cạnh $BC$.

3. Bài toán 13. Trong tam giác nhọn $ABC$, đường cao lớn nhất (ký hiệu là $AH$) bằng đường trung tuyến $BM$. Chứng minh rằng góc $ABC$ nhỏ hơn $60^\circ$.

4. Bài toán 14. Trên phần kéo dài của cạnh lớn nhất $AC$ của tam giác $ABC$ lấy đoạn $CD=BC$. Chứng minh rằng góc $ABD$ là tù.

5. Bài toán 15. $A, B, C, D$ — các đỉnh liên tiếp của tứ giác lồi $ABCD$. Chứng minh rằng nếu
   $$AB+BD \leq AC+CD,$$
   thì
   $$AB \leq AC.$$

TÀI LIỆU THAM KHẢO

В. Делоне và О. Житомирский, Các bài toán hình học. Физматгиз, 1959.

3. А. Скопец, В. А. Жаров, Các bài toán và định lý về hình học. Hình học phẳng. Учредгиз, 1962.

И. Е. Сивашинский, Bất đẳng thức trong các bài toán.