[Bài toán M6—M10; F7—F11]

47

Trong mục này, tiếp tục từ số này sang số khác, chúng tôi đăng một số bài toán, thường là khá khó. Những lời giải tốt nhất cho các bài toán này do bạn đọc gửi đến sẽ được đăng trên tạp chí sau vài tháng.

Về toán học

M6. Trước mặt bạn là một chiếc đồng hồ. Có bao nhiêu vị trí của các kim mà không thể xác định thời gian, nếu không biết kim nào là kim giờ, kim nào là kim phút?

(Coi rằng có thể xác định chính xác vị trí của mỗi kim, nhưng không được theo dõi sự chuyển động của các kim.)

M7. a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

$$\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{c+a-b} + \frac{c}{a+b-c} \geq 3.$$

C. Berkolaiko

M8. Hai người chơi một trò chơi như sau. Từ một đống có 25 que diêm, mỗi người lần lượt lấy cho mình một, hai hoặc ba que diêm. Người thắng là người mà ở cuối trò chơi — sau khi tất cả các que diêm đã được lấy hết — có số que diêm chẵn.

Ai thắng khi chơi đúng — người đi trước hay đối thủ của người đó? Người đó phải chơi thế nào để thắng? Câu trả lời thay đổi thế nào nếu coi người lấy số que diêm lẻ là người thắng?

Hãy khảo sát trò chơi này trong trường hợp tổng quát, khi có 2n+1 que diêm và được phép lấy bất kỳ số que diêm nào từ 1 đến m.

M9. Xét các tính chất sau của tứ diện (tứ diện ở đây được gọi là một hình chóp tam giác bất kỳ):

a) tất cả các mặt có diện tích bằng nhau;
b) mỗi cạnh bằng cạnh đối diện;
b) tất cả các mặt bằng nhau;
г) tâm của mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp trùng nhau;
d) tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh của tứ diện bằng nhau.

Chứng minh rằng tất cả các tính chất này tương đương.

Hãy cố gắng tìm những tính chất khác của tứ diện tương đương với chúng.

M10. Bốn đường tròn có tâm là các đỉnh của một tứ giác lồi phủ kín hoàn toàn tứ giác này. Chứng minh rằng có thể chọn ra ba đường tròn trong số đó phủ kín tam giác có các đỉnh là tâm của các đường tròn này.

G. Galperin

48

Ф7. Một thanh ngang $O_1A$ dài $l$ quay quanh trục thẳng đứng $O_1$ (xem hình 1). Trên một trục gắn ở đầu thanh $O_1A$ có lắp một bánh xe bán kính $r$. Trục bánh xe nằm ngang và tạo với thanh $O_1A$ một góc $\alpha$. Bánh xe quay không ma sát trên trục và lăn trên mặt đất. Lực ma sát giữa bánh xe và mặt đất đủ lớn. Bánh xe sẽ quay bao nhiêu vòng khi thanh $O_1A$ quay một vòng quanh trục thẳng đứng?

G. Komkin

Ф8. Một thanh dài $AB$ có lỗ ren ở đầu được vặn lên một vít thẳng đứng (xem hình 2). Thả thanh ra. Ma sát giữa vít và thanh không đáng kể. Thanh sẽ chuyển động thế nào sau khi tuột khỏi vít?

Olympiad Vật lý-Toán học MIEM

Hình 1

Hình 2

Ф9. Trên một bàn nằm ngang có một vật nhỏ được gắn với bàn bằng một lò xo dài. Ban đầu lò xo không bị kéo dãn. Sau đó vật nhỏ được dịch đi 20 cm khỏi vị trí cân bằng và thả ra. Vật nhỏ bắt đầu dao động dọc theo lò xo. Do ma sát, biên độ dao động của nó giảm 7% sau mỗi chu kỳ. Tổng cộng vật nhỏ sẽ thực hiện bao nhiêu dao động trước khi dừng lại? Nó sẽ dừng ở khoảng cách nào so với vị trí cân bằng?

Olympiad Vật lý-Toán học toàn Liên bang qua thư năm 1967

Ф10. Từ bốn lò xo dây mảnh có điện trở 10 ôm, 20 ôm, 30 ôm và 40 ôm, được tính để tỏa công suất không quá 2 oát trên mỗi lò xo, hãy ghép thành một bộ nung có công suất lớn nhất có thể, nếu có một nguồn điện có suất điện động 20 vôn và điện trở trong 20 ôm? B. Bukhovtsev

Bài 11. Ba thùng hở chứa đầy nước và được đặt ở các độ cao khác nhau (xem hình 3). Từ mỗi thùng dẫn lên trên các ống nối với nhau. Các ống cũng được chứa đầy nước. Nước sẽ chảy theo các ống về đâu nếu đồng thời mở các van $K_1$, $K_2$ và $K_3$?