Unusual activity has been detected from your device. Try again later. (72c90491-630f-4ee3-913b-de2336b0c96b)

37

Trong số này chúng tôi tiếp tục in các bài toán đã được đề ra tại các kỳ thi Olympic toàn Liên Xô về toán học và vật lý năm 1970. (Trong ngoặc sau bài toán ghi lớp mà bài toán được đề ra.)

M46. Trong một đa giác lồi có thể có bao nhiêu cạnh bằng nhau về độ dài với đường chéo lớn nhất? (VIII)

G. Galperin

M47. Từ các chữ số 1 và 2 lập một tập hợp các số có $n$ chữ số sao cho với mỗi hai số, các chữ số trùng nhau đúng ở $m$ hàng, nhưng không có một hàng nào mà cả năm số đều trùng chữ số. Chứng minh rằng

$$\frac{2}{5} \leq \frac{m}{n} \leq \frac{3}{5}.$$

(IX-X)

M48. Trong tam giác nhọn $ABC$ đường phân giác $AD$, trung tuyến $BM$, và đường cao $CH$ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng góc $BAC$ lớn hơn 45°. (IX)

M49. Trên các tấm thẻ viết tất cả các số có năm chữ số từ 11111 đến 99999 kể cả hai số này. Sau đó các tấm thẻ được đặt thành một dãy theo thứ tự tùy ý. Chứng minh rằng số có 444 445 chữ số nhận được không thể là lũy thừa của hai. (X)

M50. Các đỉnh của đa giác đều $n$ cạnh được tô bằng một số màu (mỗi đỉnh — một màu) sao cho các điểm cùng màu là các đỉnh của một đa giác đều. Chứng minh rằng trong số các đa giác này sẽ tìm được hai đa giác bằng nhau. (X)

N. Vasiliev

Ф55. Hãy ước lượng độ cao mà mũi tên bắn thẳng đứng lên từ cung sẽ đạt tới. Khối lượng của mũi tên là 20 $e$, chiều dài dây cung là 1 $m$. Dây cung được kéo ra 5 $cm$. Coi lực căng của dây cung là không đổi và bằng 25 $ke$. (IX)

Ф56. Vì sao lá cờ «phấp phới» trong gió? (IX-X)

Ф57. Hai quả cầu giống nhau, được nối với nhau bằng một lò xo không khối lượng, chuyển động trên mặt phẳng ngang nhẵn với cùng vận tốc, vuông góc với bức tường thẳng đứng. Hãy mô tả sự va chạm của hệ với tường diễn ra như thế nào. Các quả cầu sẽ chuyển động ra sao sau va chạm? Va chạm của quả cầu với tường là hoàn toàn đàn hồi, thời gian va chạm không đáng kể so với chu kỳ dao động của các quả cầu bên trong lò xo. (IX)

Ф58. Trong từ trường, từ một độ cao lớn, một vòng dây có đường kính $d$ và điện trở $r$ rơi xuống. Mặt phẳng của vòng dây luôn nằm ngang. Tìm vận tốc rơi ổn định của vòng dây, nếu cảm ứng từ của trường thay đổi theo độ cao theo quy luật $B=B_0(1+\alpha h)$. (X)

Ф59. Cần loại bỏ cạnh nào của khối lập phương dây dẫn để điện trở giữa các điểm $A$ và $B$ (xem hình vẽ) thay đổi mạnh nhất có thể? Điện trở của tất cả các cạnh của khối lập phương là như nhau. (VIII)

Б. Б. Буховцев

Ф60. Trong gương phẳng nhìn thấy ảnh của một cây nến. Điều gì sẽ xảy ra với ảnh đó nếu đặt một tấm kính phẳng song song giữa gương và cây nến? (VIII)