Đa giác bán đều

25

CÁC ĐA GIÁC NỬA ĐỀU

L. M. Lopovok

Theo định nghĩa, một đa giác lồi được gọi là đều nếu nó đều góc và đều cạnh. Tuy nhiên, có một lớp hình thú vị không đồng thời có cả hai tính chất này. Ta sẽ gọi các đa giác sau là nửa đều:

a) đều góc, có các cạnh bằng nhau cách một cạnh;
b) đều cạnh, có các góc bằng nhau cách một góc.

Ví dụ về đa giác nửa đều loại thứ nhất là hình chữ nhật, còn loại thứ hai là hình thoi. Từ mô tả các đa giác nửa đều thấy rằng mỗi đa giác có số đỉnh chẵn; ký hiệu số đó là $2n$.

Các tính chất của đa giác nửa đều góc

1. Các cạnh đối diện của một đa giác đều góc song song.

Thật vậy, khi đi quanh đa giác, ta nhận thấy rằng mỗi cạnh quay so với cạnh trước đó một góc ngoài, tức là $\frac{180^\circ}{n}$ (hình 1). Do đó, cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$ quay so với cạnh $A_1A_2$ một tổng bằng $n$ góc ngoài, tức là $180^\circ$.

2. Nếu nối các đỉnh của một đa giác nửa đều góc cách một đỉnh (tất cả các đỉnh lẻ hoặc tất cả các đỉnh chẵn), ta được một đa giác đều (hình 1).

Chứng minh không khó: các tam giác $A_1A_2A_3$, $A_3A_4A_5$, $A_5A_6A_7$, … bằng nhau theo trường hợp bằng nhau thứ nhất, do đó $A_1A_3=A_3A_5=\dots$. Mặt khác, từ sự bằng nhau của các tam giác suy ra sự bằng nhau của các góc tương ứng. Ký hiệu góc trong của đa giác đều $2n$ cạnh là $\alpha_{2n}$. Ta tìm các góc trong của đa giác thu được: chúng bằng

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

Hình 1.

4. Kvant số 3

26

như phải có ở một $n$-giác đều.

3. Có thể ngoại tiếp một đường tròn quanh một đa giác đều góc nửa chính quy.

Ngoại tiếp một đường tròn quanh $n$-giác đều $A_1A_3A_5\dots$ (hình 2). Góc trong của $2n$-giác đều góc bằng $180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$. Dễ tính được rằng $\Rightarrow A_1A_2A_3$ nhỏ hơn hai lần số đo độ của cung $A_3A_5A_1$, do đó điểm $A_2$ nằm trên đường tròn đã dựng. Điều này cũng đúng với các đỉnh khác: $A_4$, $A_6$,…

Hai cách dựng đa giác đều góc nửa chính quy dựa trên tính chất 3.

a) Dựng $n$-giác đều $A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$, dựng đường tròn ngoại tiếp nó. Sau đó tìm (bằng compa) trên đường tròn các điểm $A_2$, $A_4$, $A_6$,…, $A_{2n}$, cách các đỉnh tương ứng của $n$-giác một khoảng bằng nhau: $A_1A_2=A_3A_4=..$

b) Dựng tam giác $A_1A_2A_3$ theo hai cạnh (có độ dài tùy ý) và góc đã biết giữa chúng, dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác này. Sau đó, biết độ dài của tất cả các cạnh, lần lượt tìm các đỉnh còn lại bằng các cung compa.

4. Nếu số đỉnh của đa giác đều góc nửa đều chia hết cho 4, thì các đường chéo lớn hơn cắt nhau tại một điểm và bị điểm đó chia đôi.

Để chứng minh, sử dụng tính chất 2: các đường chéo này cũng là các đường chéo của một đa giác đều có số cạnh gấp bốn, vì thế chúng cắt nhau tại một điểm — tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác — và bị điểm này chia đôi.

Nếu số đỉnh của đa giác đều góc nửa đều không chia hết cho 4, thì không khó dựng một ví dụ (hình 3), trong đó các đường chéo lớn hơn cắt nhau tại vài điểm.

5. Tâm của đường tròn ngoại tiếp $4n$-giác đều góc nửa đều là tâm đối xứng của nó.

Từ tính chất 4 suy ra rằng khi đối xứng tâm qua tâm đường tròn, các đỉnh của đa giác chuyển thành các đỉnh; do đó, các cạnh cũng chuyển thành các cạnh.

6. Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh song song của đa giác đều góc nửa đều là trục đối xứng của nó.

Theo tính chất của các dây song song của đường tròn, đường thẳng này đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. Từ sự bằng nhau của các dây tương ứng ở hai phía của đường thẳng suy ra tính đối xứng của các đỉnh tương ứng

27

của đa giác đối với đường thẳng đã dựng (xem tiếp hình 6).

7. Giả sử đa giác đều góc nửa đều có 2n đỉnh, khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp nó là tâm đối xứng bậc n của nó.

Điều này có nghĩa là khi quay quanh tâm đường tròn một góc là bội của $\frac{360^\circ}{n}$, đa giác trùng với chính nó. Điều này suy ra từ các tính chất 2 và 3.

8. Tổng các khoảng cách từ một điểm trong đến các cạnh (hoặc phần kéo dài của chúng) của đa giác đều góc nửa đều là không đổi.

Như đã biết, đa giác nửa đều có tính chất ấy.

Nếu nối một điểm trong của đa giác đều góc với các đỉnh, thì tổng diện tích các tam giác nhận được bằng diện tích đa giác. Ký hiệu cạnh của đa giác là $a$, còn các khoảng cách đến các cạnh là $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$, ta được

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

Giả sử trong đa giác đã cho cạnh $A_1A_2$ lớn hơn cạnh $A_2A_3$. Dựng trên $A_1A_2$ một đa giác đều 2n cạnh (hình 4). Khi đó, tất cả các cạnh của đa giác ban đầu (trừ ba cạnh) lần lượt song song với các cạnh của đa giác đều, còn ba cạnh ($A_1A_2$ và các cạnh kề với nó) nằm trên các cạnh của đa giác đều. Do đó, các khoảng cách từ điểm trong $M$ đến các cạnh của đa giác đều là:

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

trong đó $b_1, b_2, b_3$ là các hằng số, còn tổng cần tìm là

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. Nếu nối liên tiếp các cạnh của một đa giác nửa đều đều góc, thì thu được một đa giác nửa đều đều cạnh.

Thật vậy, theo tính chất 2, tất cả các đường chéo nhỏ của đa giác nửa đều đều góc đều bằng nhau. Các cạnh của đa giác đều góc (hình 5) nhỏ hơn hai lần các đường chéo này, vì chúng là các đường trung bình của các tam giác $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$. Sử dụng tính chất 7, dễ dàng thiết lậ-