Полуправильные многоугольники

25

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ

Л. М. Лоповок МНОГОУГОЛЬНИКИ

По определению выпуклый многоугольник называется правильным, если он равноугольный и равносторонний. Однако существует интересный класс фигур, не обладающих этим двумя свойствами одновременно. Мы будем называть полуправный и следующее многоугольники:

a) равноугольные, у которых стороны равны через один;
b) равносторонние, у которых углы равны через один.

Примером полуправного многоугольника первого рода является прямоугольник, а второго — ромб. Из описания полуправных многоугольников видно, что у каждой из них четное число вершин; обозначим его через $2n$.

Свойства полуправных равноугольных многоугольников

1. Противоположные стороны равноугольного многоугольника параллельны.

Действительно, выполняя обход многоугольника, заменаем, что каждая сторона повернута относительно предыдущей на внешний угол, то есть на $\frac{180^\circ}{n}$ (рис. 1). Следовательно, сторона $A_{n+1}A_{n+2}$ повернута относительно стороны $A_1A_2$ на сумму $n$ внешних углов, то есть на $180^\circ$.

2. Если соединить вершины полуправного равноугольного многоугольника через один (все нечетные или все четные вершины), то получится правильный многоугольник (рис. 1).

Доказательство несложно: треугольники $A_1A_2A_3$, $A_3A_4A_5$, $A_5A_6A_7$, … равны по первому признаку, значит, $A_1A_3=A_3A_5=\dots$. С другой стороны, из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Обозначим внутренний угол равного $2n$-угольника через $\alpha_{2n}$. Находим внутренние углы получшегося у нас многоугольника: они равны

$$\alpha_{2n} - (\beta + \gamma) = \alpha_{2n} - (180^\circ - \alpha_{2n}) =$$

$$= 2\alpha_{2n} - 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ \left( 1 - \frac{1}{n} \right) -$$

$$- 180^\circ = 180^\circ \left( 1 - \frac{2}{n} \right),$$

Рис. 1.

4. Квант № 3

26

как и должно быть у правильного $n$-угольника.

3. Около полуправильного равноугольного многоугольника можно описать окружность.

Опишем окружность около правильного $n$-угольника $A_1A_3A_5\dots$ (рис. 2). Внутренний угол равноугольного $2n$-угольника равен $180^\circ \left(1 - \frac{1}{n}\right)$. Легко подсчитать, что $\Rightarrow A_1A_2A_3$ вдвое меньше градусной величины дуги $A_3A_5A_1$, значит, точка $A_2$ лежит на построенной окружности. Это относится и к другим вершинам: $A_4$, $A_6$,…

На свойстве 3 основаны два способа построения полуправильных равноугольных многоугольников.

a) Строим правильный $n$-угольник $A_1A_3A_5\dots A_{2n-1}$, описываем около него окружность. Затем находим (с помощью циркуля) на окружности точки $A_2$, $A_4$, $A_6$,…, $A_{2n}$, удаленные на одно и то же расстояние от соответствующих вершин $n$-угольника: $A_1A_2=A_3A_4=..$

b) Строим треугольник $A_1A_2A_3$ по двум сторонам (произвольной длины) и известному углу между ними, описываем около этого треугольника окружность. Затем, зная размеры всех сторон, засечками циркуля последовательно находим остальные вершины.

4. Если число вершин полуправильного равноугольного многоугольника кратно 4, то больше диагонали пересекаются в одной точке и делятся его пополам.

Для доказательства использования 2: эти диагонали являются также диагоналями правильного многоугольника с четырьмя числом сторона, поэтому они пересекаются в одной точке — центре описанной около многоугольника окружности—and делятся этой точкой пополам.

Если же число вершин полуправильного равноугольного многоугольника не кратно 4, то нетрудно построить пример (рис. 3), когда больше диагонали пересекаются в несколько точках.

5. Центр окружности, описанной около полуправильного равноугольного $4n$-угольника, является его центром симметричным.

Из свойства 4 следует, что при центральной симметричности относительно окружности вершины многоугольника переходит в вершины; следовательно, стороны тоже переходят в стороны.

6. Прямая, проходящая через середины двух параллельных сторона полуправильного равноугольного многоугольника, является его осью симметричным.

По свойству параллельных хорд окружности эта прямая проходит через центр описанной окружности. Из равенства соответствующих хорд по обе стороны от прямой следует симметричность соответствующих вершин

27

Многоугольника относительно проведенной прямой (см. далее рис. 6).

7. Пусть полуправильный равноугольный многоугольник имеет 2n вершин, тогда центр описанной около него окружности является его центром симметричной порядка n.

Это означает, что при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный $\frac{360^\circ}{n}$, многоугольник совмещается с собой. Это следует из свойств 2 и 3.

8. Сумма расстояний от внутренней точки до сторона (или их продолжений) полуправильного равноугольного многоугольника построена.

Как известно, таким свойством обладает полуправильный многоугольник.

Если соединить внутреннюю точку равноугольника с вершинами, то сумма площадей полученных треугольников равна площади многоугольника. Обозначив сторону многоугольника через $a$, а расстояния до сторона через $x_0, x_1, x_2, x_3, \dots$, получим

$$S = \frac{ax_0}{2} + \frac{ax_1}{2} + \frac{ax_2}{2} + \frac{ax_3}{2} + \dots;$$

$$x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + \dots = \frac{2S}{a} = \text{const.}$$

Пусть в данной многоугольнике сторона $A_1A_2$ больше стороны $A_2A_3$. Построим на $A_1A_2$ правильный 2n-угольник (рис. 4). Тогда все стороны исходного многоугольника (кроме трех) соответственно параллельны сторонам равильно многоугольника, а три ($A_1A_2$ и смешные с ней) лежат на сторонах равильно многоугольника. Следовательно, расстояния от внутренней точки $M$ до сторона равильно многоугольника таковы:

$$x_0 = y_0, \ x_1 = y_1, \ x_2 = y_2, \ x_3 = y_3 + b_1,$$

$$x_4 = y_4 + b_2, \ x_5 = y_5 + b_3, \dots,$$

где $b_1, b_2, b_3$ постоянны, а искомая сумма

$$y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + \dots = (x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots) - (b_1 + b_2 + \dots) = \text{const.}$$

9. Если последовательно соединить стороны равноугольного равноугольного многоугольника, то получится полуправильный равносторонний многоугольник.

Действительно, по свойству 2 все malые диагонали полуправильного равноугольного многоугольника равны между собой. Стороны равноугольника (рис. 5) вдвое меньше этих diagonалей, так как является средним линейным треугольников $A_1A_2A_3, A_2A_3A_4, A_3A_4A_5, \dots$. Используя свойство 7, легко установо-