Удивительные катки

21

Доска движется на круглых катках. При этом она сохраняет горизонтальное положение и остается на той же высоте. Почему это происходит? Да потому, что окружность имеет одну и ту же ширину при любом повороте.

А будет ли дока движется так же, если воспользоваться некруглыми катками? В первый момент кажется, что это невозможно. Не будем, однako, спешить. Оказывается, есть кривые, которые, подобно окружности, имеют одинаковую ширину во всех направлениях. Они так и называются линями одинаковой ширины.

Одна из простейших кривых такого рода показана на рисунке 1. Она состоит из двух $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$ радиуса $r$ и двух $B_1A_3, B_3A_2, B_2A_1$ радиуса $R$, центры которых находится в вершинах правильного треугольника $O_1O_2O_3$. Легко видеть, что ширина этой кривой одинаковая во всех направлениях и равна $R+r$. Следовательно, катки, профили которых очередны по таким кривым, будут работать ничуть не хуже круглых (рис. 2).

Кривую, изображенную на рисунке 1, можно получить так. Возьмем отрезок $A_1B_3$ и, повернуть его на $60^\circ$ вокруг точки $O_1$, переведем в положение $B_1A_2$. Затем, повернуть отрезок $B_1A_2$ на $60^\circ$ вокруг точки $O_2$, получим отрезок $A_3B_2$ и, наконец, повернуть отрезок $A_3B_2$ на $60^\circ$ вокруг точки $O_3$, вновь придем к отрезку $A_1B_3$. В процессе этих поворотов один конец расматривается отрезка опшет дуг $A_1B_1A_3B_3$, а другой — дуг $B_3A_2B_2A_1$. Следовательно, кривую, показанную на рисунке 1, можно расматривать как траекторию, описываемую концами неокоторого

22

Рис. 3.

Ширина всех этих кривых построена и равна длине поворачиваемого отрезка. Можно поворачивать отрезок вокруг одного из его концов. Так мы получим простейшую кривую равной ширины, отличную от окружности (рис. 4). При этом отрезок $AB$ поворачивается сначала вокруг точки $A$, переходя в положение $AB'$, затем вокруг точки $B'$, переходя в отрезок $B'B$, и, наконец, вокруг точки $B$, замыкая кривую.

Рассмотрим теперь неокторный отрезок $AB$. Пусть он катися без скольжения по кривой SS. Тогда в каждой

Рис. 4.

отдельный момент такое движение можно рассматривать как вращение отрезка относительно точки касания. Точка касания, относительно которой в данной момент совершается поворот, называется мгновенным центром вращения (например, точка $C$ на рисунке 5).

Представление о мгновенном центре вращения позволяет легко вычислить скорости различных точек отрезка $AB$. Например, для скорости точек $A$ и $B$ будем иметь

$$v_A = \omega \cdot CA,$$
$$v_B = \omega \cdot CB,$$

где $\omega$ — угловая скорость отрезка $AB$ в его «мгновенном» вращении вокруг центра $C$. При этом скорости рассматриваемых точек будут перепендикулярны соответствующим радиусом вращения, то есть отрезкам $CA$ и $CB$. Таким образом можно вычислить скорость любой точки, лежащей на этом отрезке или жестико связанной с этим отрезком. Если, например, с отрезком $AB$ жестко связана неокторная фигура, то скорость любой точки $P$ равна произведению $\omega \cdot CP$.

Вернемся теперь к кривым построенной ширины. Пусть отрезок $AB$ катися по кривой SS. Так как скорости $v_A$ и $v_B$ перепендикулярны радиусом $CA$ и $CB$, то они параллельны между собой. Но скорость $v_A$ направ-

23

Рис. 6.

лена по касательной к траектории точки $A$, а скорость $v_B$ — по касательной к траектории точки $B$. Следовательно, эти касательные параллельны друг друга, и расстояние между ними все время остается равным $AB$. Но это значит, что траектории $A_1A_2$ и $B_1B_2$ можно рассматривать как участики некоторой кривой постояной цирины.

Однако нам нужно построить не два участика, а всего такую кривую. Если мы хотим сделать это с помощью описываемой операции, то должны выбрать линию $SS$ так, чтобы, обказывая ее, отрезок $AB$ повернулся на $180^\circ$, то есть чтобы точка $A$ пришла в положение $B$, а точка $B$ — в положение $A$. Однако из таких линей — $PQRP$ — показана на рисунке 6. Проследим более подробно, как отрезок $AB$ обказывает ее.

Сначала он катися по участику $PQ$ и приходит в положение $A'B'$. При этом его концы описывают дуги $AA'$ и $BB'$. Затем он катися по участику $QR$, а его концы описывают дуги $A'A''$ и $B'B''$. Наконец, он обказывает участик $RP$, а его концы движутся по дугам $A''B$ и $B''A$. В результате точка $A$ приходит в положение $B$, а точка $B$ — в положение $A$, и кривая построенной цирины замыкается. При этом дуги $PQ$, $QR$

и $RP$ могут иметь любую форму и не обязательно должны быть одинаковыми. Единственное, что от них требуется, — это чтобы они были выпуклыми и касались друг друга так, как это показано на рисунке. Что касется отрезков $AP$ и $PB$, то их длина не может быть произвольной, либо тогда дуга, описываемая точкой $A$, не «вольется» вдугу, описываемую точкой $B$. Здесь можно построить следующим образом. Проведем через точку $P$ прямую, касающуюся дуги $PQ$, и поставим на ней точку $A$. Заставим теперь эту прямую обказывать линию $PQRP$. Тогда конец дуги, которое опшет при этом точка $A$, определяет положение точки $B$.

Линия $PQRP$, показанная на рисунке 6, состоит из трех дуг. Но число дуг может быть и больше. Например, на рисунке 7 изображена кривая построенной цирины, полученная при обказывании линии $PQRSTP$, состоящей из пяты дуг.

Кривые построенной цирины обладают еще одним свойством, родняшим их с окружностью. Они выражается следующей теоремой:

Периметр кривой построенной цирины $l=\pi D$, где $D$ — ширина этой кривой.

Докажем эту теорему.

24

Рис. 8.

Пусть горизонтальная прямая $PQ$ перемещается с помощью катков постояной ширины (рис. 8). Расстоянием один из этих катков, например левый. Пусть его ширина равна $D$, а перimetр — $l$. Когда прямая $PQ$ перевиется настолько, что этот каток сделает один оборот, он смеется относительно прямой $MN$ на расстояние $l$ вправа. Но так как он катится не только по прямой $MN$, но и по прямой $PQ$, то после одного оборота он оказывается смецным относительно прямой $PQ$ на расстояние $l$ влево. Следовательно, перемещение прямой $PQ$ относительно прямой $MN$ будет равно $2l$.

Но так как это же смешение равно $vt$, где $t$ — время, за которым каток делает один оборот, то

$$2l = vt. \tag{1}$$

(Mы считаем, что прямая $PQ$ движется с постояной скоростью.) Мгновенный центр врашения катка находится в точке $A$, значит, скорость перемещения

$$v = \omega \cdot AB = \omega D,$$

где $\omega$ — угловая скорость катка. Подставив это выражение в равенство (1), получим

$$2l = \omega Dt. \tag{2}$$

Но $\omega t$ есть угол поворота катка за один оборот. Следовательно,

$$\omega t = 2\pi,$$

и равенство (2) прибретает вид

$$2l = 2\pi D,$$

откуда

$$l = \pi D.$$

Таким образом, перimetр кривой постояной ширины вычисляется так же, как перimetр окружности. А какова площадь, ограниченная кривой постояной ширины? Можно ли вычислять так же, как площадь круга? Оказывается, нет. Однако площадь колчаца постояной ширины можно вычислять, как площадь колчаца между двумя концентрическими окружностями. Более точно это означает следующее.

Рассмотрим кривую постояной ширины (рис. 9). Через произвольную точку $C$ на ней проведем нормаль (нормально называется прямая, перпендикулярная касательной) и отложим вдоль нее отрезок $CC'$ заданной длины $d$. Отложив такие отрезки от каждой точки данного кривой, получим новую кривую, являющийся геометрическим местом концов отложенных отрезков. Очевидно, она тоже будет иметь постояную ширину. Если теперь обозначить через $S$ площадь, заключенную между этим кривыми, то будет справедливо равенство

$$S = \frac{\pi D_2^2}{4} - \frac{\pi D_1^2}{4},$$

где $D_1$ — ширина внутренней кривой, а $D_2$ —наружной.

Попробуйте доказать это сами.