Письменный экзамен по физике в Московском автодорожном институте

51

ПИСЬМЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ПО ФИЗИКЕ В МОСКОВСКОМ АВТОДОРОЖНОМ ИНСТИТУТЕ

А. Н. Агеев, Ю. Г. Рудой

В этом году в Московском автодорожном институте впервые был проведен письменный экзамен по физике. Каждый билет состоит из теоретического вопроса по одному из разделов программы и четырех задач, годозванных так, чтобы охватить все разделы программы.

При ответе на теоретический вопрос и решении задач абитриенты должны были показать как значение физических законов и умение применять их в той или иной конкретной физической ситуации, так и значение единиц измерения физических величины и корректность в вычислениях. Поэтому все задачи требовалось начиная решить в общем виде, а затем получить численный ответ.

Как показали экзамены, ответы на теоретический вопрос не вызывали затруднений и подавляющие большимство абитриентов ответило на них хорошо. Задачи же давались, как правило, труднее.

Приведем для примера несколько задач, предлагавшихся в экзаменционных билетах и, рассказывая их решения, остановимся коротко на некоторых характеристиках ошибках построения. Для удобства мы разбили эти задачи по традиционным разделам.

В задачах по механике ошибки в основном были связаны с тем, что экзаменующейся не всегда умели выделить все силы, управляющие движением, правильно определить их точку приложения и направление. От сюда и неверно составлено уравнение движения. Например, в такой задаче:

Задача 1 (варнинт № 26). Два тела с массами $m_1=50$ e и $m_2=100$ e, связанные невероятно нитью, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому телу приложена сила $F=300\Gamma$, направленная вдоль плоскости. Найти наяжение ниги при движении тел. Изменится ли наяжение, если ту же силу приложить ко второй массе? Тренем о поверхность пренебречь (рис. 1).

Ускорение системы в первом и во втором случае одинаково. Действи-teльно, применяя 2-й закон Ньютона ко всей системе, получим:

в случае a) $F=(m_1+m_2)a_1$,
в случае b) $F=(m_1+m_2)a_2$.

Отсюда

$$a_1=a_2=a=\frac{F}{m_1+m_2}.$$

52

Рис. 2.

Натяжения нити, однako, различны: сила $T_1$ сообщает ускорение $a$ телу с массой $m_1$, и поэтому

$$T_1 = m_1 a = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cdot F = 100 \Gamma,$$

а сила $T_2$ сообщает это ускорение телу с массой $m_2$, и поэтому

$$T_2 = m_2 a = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cdot F = 200 \Gamma.$$

Много ошибок было и в такой задаче:

Задача 2 (варнант № 16). Груз с массой $m=140$ кг, лежащий на полу кабины опускающего лифтта, давит на пол с силой $N=147$ кг. Определить величины и направление ускорения лифтта.

Предположим, что ускорение направлено вверх (рис. 2). Тогда на основании 2-го закона Ньютона можем написать $F-P=ma$ (F — сила реакции опоры).

Отсюда

$$a = g \frac{F-P}{P}.$$

По 3-му закону Ньютона $F=N$. Поэтому

$$a = g \frac{N-P}{P} = 0,05g.$$

Итак, ускорение направлено вверх и равно 0,05 g.

Довольно больше число абитуриентов путает трене покоя и трене скольжения. Трене покоя всегда равно силе тги, а трене скольжения равно $kN$, где $N$ — сила нормального давления. Если к брусу, лежащему на горизонтальной поверхности, присоединить диамометр и медленно уве-

Рис. 3.

личивать слиу тги до тех пор, пока брусок не начинает скольнить по поверхности, то зависимости слиы трения от слиы тги будет графически изображаться так, как показано на рисунке 3. Точка $A$ соответствует началу движения.

Много было ошибок, связанных с недостаточным значением законов сохранения и неуменением пользоваться этим чрезвычайно мощными методами решения задач.

В тех случаях, когда применение законов сохранения энергии и имплываса позволяет получить простое и изящное решение, абитуриенты обычно выбирали сравнительно длинный путь решения, используя законы движения. Приведем для использования задачу из П тура олимпiadы по физике, которая проводилась в МАДИ в 1970 году.

Задача 3. Шайба массы $m$ движется горизонтально со скоростью $v_0$, попадает на платформу массы $M$ и продолжает движение по ее поверхности. Определить ско-

53

рост платформы к тому моменту времени, когда шайба остановится на ней. Коэффициент треня между шайбой и платформой равен $k$. Платформа может катиться по рельсам без треня.

Решим сначала эту задачу, используя законы движения.

На шайбу и платформу в горизонтальном направлении действует сила треня, равная $kmg$, под действием которого платформа и шайба движются сускорениями $a_{\pi\pi}$ и $a_{\pi}$ относительно земли. Направленияускорении показаны на рисунке, а их величины определяются 2-м законом Ньютона:

$$ma_{\pi}=kmg, \quad \text{и поэтому } a_{\pi}=kg,$$
$$Ma_{\pi\pi}=kmg, \quad \text{и поэтому } a_{\pi\pi}=kg\frac{m}{M}.$$

Ускорение шайбы относительно платформы равно

$$\vec{a}=a_{\pi}-\vec{a_{\pi\pi}}, \quad \text{или } a=a_{\pi}+a_{\pi\pi}=$$
$$=kg\left(1+\frac{m}{M}\right).$$

Так как скорость шайбы относительно платформы уменьшается со временем по закону $v=v_0-at$, то $v=0$ (то есть шайба остановится) через время

$$t=\frac{v_0}{a}=\frac{v_0}{kg\left(1+\frac{m}{M}\right)}.$$

К этому времени скорость платформы становится равной

$$v_{\pi\pi}=a_{\pi\pi}t=kg\frac{m}{M}\cdot\frac{v_0}{kg\left(1+\frac{m}{M}\right)}=$$
$$=\frac{mv_0}{m+M}.$$

Значительное решение эта задача, если воспользоваться законом сохранения импульса. Действительно, сила треня между шайбой и платформой является внутренней силой, и, следовательно, она не может изменить общий импульс системы. В то же время внешние силы в горизонтальном направлении на системе платформа — шайба не действуют (напомним, что платформа катится по рельсам без треня). Приравнивая им-

пульс системы в начальной момент, когда платформа еще поконтся, ее импульсу в момент, когда шайба остановляется на платформе, получим

$$mv_0=(m+M)v_{\pi\pi}.$$

Отсюда

$$v_{\pi\pi}=\frac{mv_0}{m+M}.$$

Много было ошибок при решении задачи на газовые законы. Здесь абитуренты довольно легко справлялись с теми задачими, для решения которых достаточно лишь формально знания законов, однако в тех случаях, когда для решения необходимо было как-то преобразовать запись законов или просто последовательно применить газовые законы для различных элементарных процессов, многое терялись. Приведем пример.

Задание 4 (варнант № 26). Газская искорениески от объема $V_1=8\lambda$ до объема $V_2=6\lambda$. Давление при этом возросло на $\Delta p=4\cdot10^3\frac{\mu}{M^2}$.

Каким было первоначальное давление?

Для решения достаточно записать закон Бойля — Мариотта в следующем виде:

$$\frac{V_1-V_2}{V_2}=\frac{P_2-P_1}{P_1}.$$

Отсюда

$$P_1=\Delta P\frac{V_2}{\Delta V}=12\cdot10^3\frac{\mu}{M^2}.$$

Экзамены показали, что абитуренты слабого значит диаграммные представления различных процессов. Поэтому мало кто верно решает задачи следующого типа.

Рис. 5.

55

Рис. 9.

Ошибки в задачах на определение работы перемещения заряда в основном связывании с плоским полиманем физической смысла такой характеристики электрического поля, как потенциал. Многие пытались найти работу по формуле $A = F \cdot S$, тогда как в неоднородном поле сила, действующая на заряд, меняется при перемещении и пользоваться этой формулой нельзя. Для решения подобных задач необходимо применить понятие разности потенциалов. Приведем в качестве примера следующую задачу.

Задание 7 (варнант 24). Какую работу надо совершить, чтобы перемещения точный заряд $q = 20$ ед. СГСЕ из бесконечности в точку $A$, находящуюся на расстоянии $L = 10$ см от поверхности металлического шарика (рис. 9)? Потенциаль шарика равен $\varphi_0 = 200$ $\theta$, радиус шарика $R = 2$ см. Шарик находится в воздухе (рис. 11).

По определению потенциал в точке $A$ равен численно работе по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данной точку. Поэтому исходная работа $W = q \cdot \varphi_A$. Так как поле заряженной сферы совпадает с полем точного заряда, равного заряду сферы и находится в центре сферы, то потенциал в точке $A$ равен $\varphi_A = \frac{Q}{R + L}$. Далее, так как

$$\varphi_0 = \frac{Q}{R}, \quad \text{то } \varphi_A = \varphi_0 \cdot \frac{R}{R + L} \quad \text{и}$$
$$W = q \cdot \varphi_A = q \cdot \varphi_0 \cdot \frac{R}{R + L} = 2,2 \text{ эрэ}.$$

Рис. 10.

В разделе «Постоянный ток» набольшое затруднение вызывали задачи на расчет цепи при заряде аккумулятора. Расмотрим, например, такой задачу.

Задание 8 (варнант 52). Аккумулятор, разряженный до $12\theta$, подключен для зарядаки к сети с напряжением $15\theta$ (рис. 10). Какое дополнительное сопротивление $R$ нужно подключит в цепь для того, чтобы слияя зарядного тока не превышала $1\alpha$? Внутреннее сопротивление аккумулятора $r = 2\Omega$.

В том случае, когда аккумулятор работает как источник тока и подключен на нагрузку $R$, ток определяется по закону Ома для полной цепи:

$$I_0 = \frac{E}{R + r}.$$

Внутри источника этот ток направлен от отрицательного электрода к положительнойому (рис. 10). При заряде аккумулятора ток в нем имеет противоположное направление, то есть от положительного электрода к отрицательному. Если аккумулятор положительно разряжен, то зарядный ток определяется формулой $I_3 = \frac{U_c}{R + r}$, где $U_c$ — напряжение сети.

В том случае, когда аккумулятор разряжен не полностью, как это имеет место в нашем случае, полный ток можно представить как разность

$$I = I_3 - I_0 = \frac{U_c}{R + r} - \frac{E}{R + r},$$ где $E$ — значение э. d. c. разряженного аккумулятора.

56

Рис. 11.

Таким образом, $U_c = I(R + r) + E$. Отсюда
$$R = \frac{U_c - E - Ir}{I} = 1 \text{ ом}.$$

В последнем разделе программы «Оптика», как правило, не решались задачи на построение изображения в линизах в тех случаях, когда требовалось воспользоваться понятным фокальной плоскости и побочного фокуса. Приведем примеры таких задач.

Задание 9 (варнант 78). Найти построением ход луча $AB$ после собирающей линии (рис. 11).

Проведем побочную оптическую ось, параллельную $AB$ и пересекающую фокальную плоскость. Точка пересечения побочной оси с фокальной плоскостью ($F'$) является побочных фокусом, в котором собираются все лучи, параллельные данной оси. Следовательно, луч $AB$ после преломления линии должны пройти через точку $F'$ (рис. 12).

Аналогично решается такая же задача с рассивающей линии. Нужно только помнить, что фокусы в этом случае минимые (рис. 13).

Рис. 12.

Рис. 13.

В заключение приведем один из вариантов билетов, которые предлагались на вступительных экзаменах.

Вариант 47

1. Магнитное взаимодействие прсводников с током. Понятие о магнитном поле, индукции и силовых линиях (на примере прямого и кругового тока).
2. Автомобиль весом $P = 1 \text{ t}$, развивающий мощность 60 л.с., поднимается в гору со скоростью $v = 36 \text{ km/час}$. Определить угол наклона горы $\alpha$. Тренние не учитываются.
3. В 480 e воды при температуре $-8^\circ \text{C}$. Чему равна температура смеси, если льда бросили 56 e? Уд. теплоемкость льда 0,5 кал/е·град, удельная теплота плавления 80 кал/е.
4. Какую скорость приобретает электрон, прошедший в электрическом однородном поле с напряженнойностью 0,01 единиц СГСЕ вдоль силовой линии расстояние 2 cm?
5. Построить изображение отрезка $AB$ в собирающей линии (рис. 14).