Задачи М71—М75; Ф83—Ф87

30

ЗАДАЧИ

M71. Прямоугольная таблица из $m$ строк и $n$ столбцов заполена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Докажите, что если после этого переставить числа в каждой стольце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания.

Подумайте, что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом — в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

M72. Решите уравнение

$$\sqrt[3]{1-x} + \sqrt[3]{1+x} = p,$$

где $p$ — произвольное вещественное число.

Ю. И. Ионин

M73. На логерийном билете требуется отметить 8 клеточки из 64. Какова вероятность того, что после резыгрыша, в котором также будет выбран 8 каких-то клеток из 64 (причем все такие возможности мы считаем равноверятными), окажется, что угаданыровно 4 клетки? 5 клеток?… все 8 клеток?

M74. Многочлен $p$ обладает таким свойством: для неокоторого числа $a$

$$p(x) = p(a-x).$$

Докажите, что $p(x)$ можно представить в виде многочлена от $\left(x - \frac{a}{2}\right)^2$. Например, если $p(x) = x^5 + (1-x)^5$, то, очевидно, $p(x) = p(1-x)$ и, как не трудно проверить,

$$p(x) = 5y^2 + \frac{5}{2}y + \frac{1}{16},$$

где $y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$.

M75. a) Доказать, что в любом выпуклом многограннике сумма длины всех ребер больше утроенного диаметра. (Диаметром многогранника называется наиболее издиним из длины всех возможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

6. Доказать, что для любых двух вершин $A$ и $B$ выпукло многогранника найдет три ломаны, каждая из которых идет по ребрам многогранника из $A$ в $B$ и никакие две не проходят по одному ребру.

b) Доказать, что если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин $A$ и $B$ найдется ломана, идушая из $A$ в $B$ по оставшимся ребром.

г) Доказать, что в задаче 6) можно выбрать три ломаны, попарно не имеющие общих вершин, за исключением концов $A$ и $B$.

А. Г. Кушиниренко

Ф83. Доска массы $m$ и длины $l$ лежит на горизонтальном полу. Коэффициент треня доски о пол равен $k$. Какую работу надо совершить для того, чтобы повернуть доску в горизонтальном плоскости на малый угол $\alpha$ вокруг одного из ее концов?

Ф84. «Черный ящик» (коробка с неизвестной схемой внутри) имеет две пары выводов Если к выводам I приложить наряжение $U$, то