Показательные уравнения

40

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых неизвестная величины содержится в показатель степени (а основания степени ее не содержат).

Решение показательных уравнений основано на следующем свойстве степени:

если две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны, то равны и их показатели.

Согласно этому свойству простейшее показательное уравнение

$$a^x = b \quad (a > 0, a \neq 1, b > 0)$$

решается следующим образом:

$$a^x = a^{\log_a b}, \quad x = \log_a b.$$

Трудность при решении показательных уравнений часто состоит в том, что нужно уметить видеть общее основание левой и правой части уравнения. Если в уравнение

$$\left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3}$$

общее основание $\frac{2}{3}$ (или $\frac{3}{2}$) левой и правой части сразу бросается в глаза, то в уравнения

$$(0,4)^{x-1} = (6,25)^{6x-5}$$

для отыскания общего основания $\frac{2}{5}$ (или $\frac{5}{2}$) необходимо предварительно обратить десятичные дроби в обычные. (Доведите до конца решения приведенных примеров; в уравнения (1) вы получите ответ $x=2$, а в уравнения (2) $x = \frac{11}{13}$.)

Для сведения многох показательных уравнений к простейшем часто бывают полезна следующая формула:

$$a^p \cdot b^p = (ab)^p.$$

Пример 1. Решить уравнение

$$\sqrt{3^x} \cdot \sqrt{5^x} = 225.$$

Решение е. Запишем уравнение в виде

$$3^x \cdot 5^x = 225.$$

Пользовать формулой (3), получим

$$15^x = 15^2,$$

откуда находим $x=4$.

Пример 2. Решить уравнение

$$2^3x \cdot 5^x = 1600.$$

Решение е. Имеем следующую целочкувую эквивалентных уравнений:

$$(2^3)x \cdot 5^x = 1600, \quad 8^x \cdot 5^x = 1600, \quad 40^x = 40^2, \quad x=2.$$

Легко свести к простейшем уравнение вида

$$a^{\varphi(x)} = 1 \quad (a > 0, a \neq 1).$$

Для этого достаточно единицу представить как $a$ в нулевой степени: $1 = a^0$.

Пример 3. Решить уравнение

$$5^{x^2+x-2} = 1.$$

Решение е. Последовательно находим

$$5^{x^2+x-2} = 5^0, \quad x^2+x-2=0, \quad x_1=-2, \quad x_2=1.$$

42

Пример 9. Решить уравнение
$$3 \cdot 16^x + 36^x = 2 \cdot 81^x.$$
Решен и е. Мы видим, что в этом уравнении основания 16, 36, 81 образуют геометрическую прогрессию и возводятся в одну и ту же степень $x$. Для решения разделим обе части уравнения на $81^x$. Получаем
$$3 \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^{2x} + \left(\frac{4}{9}\right)^x = 2.$$
Обозначив $\left(\frac{4}{9}\right)^x$ через $y$, приходим к квадратному уравнению $3y^2 + y - 2 = 0$ с корнями $y_1 = -1, y_2 = \frac{2}{3}$. Расматриваем два случая:
a) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = -1$ (решений нет);
b) $\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}, \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1, 2x = 1, x = \frac{1}{2}$.
Пример 10. Решить уравнение
$$27^x + 12^x = 2 \cdot 8^x.$$
Это уравнение близко к только что рассмотренному: показатель степени у оснований один и тот же, однако основания 27, 12 и 8 геометрической прогрессии не образуют. Геометрическую прогрессию образуют числа 27, 18, 12 и 8 — мы можем считать, что член, содержащий $18^x$, входит в уравнение с нулевым коэффициентом.

Решен и е. Дelimм все члены на $8^x$, получаем
$$\left(\frac{3}{2}\right)^{3x} + \left(\frac{3}{2}\right)^x = 2.$$
Обозначив $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ через $y$, приходим к кубическому уравнению
$$y^3 + y - 2 = 0,$$
левую часть которого легко разложить на множители:
$$(y^3 - 1) + (y - 1) = 0,$$
$$(y - 1)(y^2 + y + 2) = 0.$$

Единственный действительный корень этого уравнения $y = 1$ приводит к уравнению $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$, откуда находим $x = 0$.

Пример 11. Решить уравнение
$$5 \cdot 2^{3x - 3} - 3 \cdot 2^{5 - 3x} + 7 = 0.$$
Решен и е. Перепишем уравнение в виде
$$\frac{5}{8} \cdot 2^{3x} - \frac{96}{2^{3x}} + 7 = 0.$$
Обозначим $2^{3x}$ через $y$, тогда получим:
$$\frac{5}{8} y - \frac{96}{y} + 7 = 0,$$
$$5y^2 + 56y - 768 = 0,$$
$$y_1 = -19,2; y_2 = 8.$$
a) $2^{3x} = -19,2$ — уравнение не имеет решения.
b) $2^{3x} = 8, 2^{3x} = 2^3, 3x = 3, x = 1.$
В разобранном примере произведение оснований равно единице, и это сразу бросается в глаза; в следующем примере этот факт заметить не так просто *).

Пример 12. Решить уравнение
$$\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^x = 10.$$
Решен и е. Перемножим основания:
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \cdot \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{25 - 24} = 1.$$
Если обозначить $\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x$ через $y$, то $\left(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\right)^x = \frac{1}{\left(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\right)^x} = \frac{1}{y}$. Следовательно
*) Заметим, что уравнения, разобраные в примерах 11 и 12, можно отнести к тому же типу, что и уравнения примеров 9 и 10: основания степени в них 2, 1, $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$, 1, $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ образуют геометрическую прогрессию и возводятся в одну и ту же зависимости от $x$ степень.

44

4. $4^x - 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x+\frac{1}{2}} - 2^{2x-1}$.
5. $3 \cdot 2^x + 2 \cdot 3^x = 2^{x+3} + 3^{x-2}$.
6. $9^x - 2^{x+\frac{1}{2}} = 2^{x+\frac{7}{2}} - 3^{2x-1}$.
7. $3^{x+1} + 3^{x-1} + 3^{x-2} = 5^x + 5^{x-1} + 5^{x-2}$.
8. $9^{x-1} + 3^x = 2 \cdot 3^1, 5^x$.
9. $4^x + \sqrt{x^2-2} - 5 \cdot 2^{x-1} + \sqrt{x^2-2} = 6$.
10. $8^x + 18^x = 2 \cdot 27^x$.
11. $3^{1-x} - 3^{1+x} + 9^x + 9^{-x} = 6$.
12. $\sqrt[x]{\left(\frac{2}{3}\right)^3} - \sqrt[x]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} - \sqrt[x]{\frac{2}{3}} + \sqrt[x]{\frac{3}{2}} = 3$.
13. $6 \sqrt[x]{9} - 13 \sqrt[x]{6} + 6 \sqrt[x]{4} = 0$.
14. $4^x = 2 \cdot 14^x + 3 \cdot 49^x$.
15. $(\sqrt{a + \sqrt{a^2-1}})^x + (\sqrt{a - \sqrt{a^2-1}})^x = 2a$ ($a > 1$).

Проверьте, что уравнение примера 12 получается из этого уравнения при $a = 5$. Напишите, какой вид принимает это уравнение при $a = \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, 3, 4, 6$.

16. $2^x - 3^{\frac{x}{2}} = 1$.
17. $(\sin 1)^x + (\cos 1)^x = 1$.
18. $3^{x-1} + 5^{x-1} = 34$.
19. $5^{\sqrt{x}} + 12^{\sqrt{x}} = 13^{\sqrt{x}}$.
20. $10^{x^2} = 2 \cdot 100^x$.
21. $2^{x+3} - 3^{x^2} - 2 = 3^{x^2} + 1 - 2^{x-1}$.
22. $3^{x^2} + 4^{x^2} = 5^{x^2}$.
23. $x^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^x$.
24. $x^{\sqrt{x^2}} = (\sqrt{x})^x$.
25. $8^x + 9 \cdot 2^{x+2} = 208$.

(Начало см. на стр. 31.)

Следующий важный шаг в усвоенииствовании электромагнитов был сделан американским физиком Джоэфом Генри в 1827 году. Он первый договора на железный сердечник не один, а много слоев проводки, а сами витки укладывают вплотную друг к другу. Возможно, что это это допущимся бы и другие, но в то время еще не было проводки, покрытой изоляцией. Генри и был первым, кто сделал такую проводку. В продаже проводов с изоляцией тогда, да и много позже, конечно, не было. По свидетельству сотрудника Генри, изобретателя телефонфа Ф. Морзе, даже в 1837 году не голыми проводками пользовались только … модистики для изготовления каркасов дамских шляп. Провода, покрытые изоляцией, Генри изготовил сам. В качестве изоляционного материала он использовал полосы из шелка, нарезанного из … нарядов его женьи (в те времена женщины носили длиные и пышные одежды). Так впервые появились и были использованы изолированные проводы. Судя по сохраняющимся в музее электромагнитам Генри, ему пришлось намотать шелковые полосы на многое клюометры проводки. Но это уже в 1831 году он мог сообщить, что самый большой его электромагнит способен удерживать груз в 930 килюраммов!