Đồ thị thế năng

8

ĐỒ THỊ
THẾ NĂNG

R. G. MINTS

Làm thế nào để xác định chuyển động của một vật có bị giới hạn hay không và trong những giới hạn nào? Có những vị trí cân bằng hay không, và nếu có thì chúng là những vị trí nào — bền hay không bền?

Trong bài này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng những câu hỏi như vậy dễ trả lời nếu biết thế năng của vật. Chúng tôi sẽ thảo luận khi nào việc nói về thế năng là có ý nghĩa và cách tính giá trị của nó tại mỗi điểm.

Một khi đã nói về thế năng, thì chúng ta muốn nghiên cứu chuyển động của vật, chính xác hơn là của các chất điểm *), dựa trên định luật bảo toàn cơ năng.

Định luật này khẳng định rằng đối với một hệ kín các chất điểm (vật), đại lượng sau được bảo toàn

$$E = T + U.$$

(1)

Tổng

$$T = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} + \dots + \frac{m_n v_n^2}{2}$$

được gọi là động năng của hệ, còn $U$ — thế năng tương tác của các vật. Động năng trong công thức (1) phản ánh chuyển động riêng của các vật, còn thế năng, phụ thuộc vào khoảng cách giữa các vật, phản ánh ảnh hưởng lẫn nhau của chúng.

Về sau, để đơn giản, chúng ta sẽ chỉ xét chuyển động

*) Như thường lệ, dưới khái niệm chất điểm, chúng tôi hiểu một vật có kích thước riêng trong bài toán này nhỏ đến mức có thể bỏ qua.

của một trong các chất điểm *), giả sử rằng tất cả các chất điểm còn lại đứng yên. Trong những trường hợp như vậy, người ta thường nói về chuyển động của một hạt trong trường lực ngoài, và công thức (1) có dạng

$$E = \frac{mv^2}{2} + U.$$

(2)

Khi nói về chuyển động của một hạt trong trường ngoài, chúng ta xét ảnh hưởng của các hạt đứng yên lên hạt chuyển động, đồng thời toàn bộ hệ các hạt nói chung là kín. Tuy nhiên, ở đây có một điều tinh tế. Hãy theo dõi kỹ điều đó qua ví dụ về hai chất điểm có khối lượng $m$ và $M$. Giả sử hạt có khối lượng $M$ tại một thời điểm nào đó đứng yên. Hãy xác định trong điều kiện nào nó sẽ tiếp tục đứng yên, tức là khi nào có thể nói về chuyển động của hạt có khối lượng $m$ trong trường ngoài. Ta sẽ sử dụng định luật bảo toàn động lượng

*) Bài toán về chuyển động của một số lớn các vật tương tác với nhau là vô cùng phức tạp. Cho đến nay, mới chỉ giải được tổng quát bài toán hai vật.

9

lượng (vì hệ vật của chúng ta là kín): $M\vec{v} + m\vec{v}_1 = m\vec{v}_0$. (Ở đây $\vec{v}_0$ — vận tốc ban đầu của hạt có khối lượng $m$, $v_1$ — vận tốc của nó sau một thời gian nào đó, còn $v$ — vận tốc mà hạt có khối lượng $M$ nhận được.)

Từ đây $\vec{v} = \frac{m}{M} (\vec{v}_0 - \vec{v}_1)$. Nếu $\vec{v}_1 \neq \vec{v}_0$, thì $\vec{v} = 0$ chỉ khi $M \to \infty$ Về mặt vật lí điều này có nghĩa là $m \ll M$. Như vậy, trường ngoài là kết quả tác dụng của hạt nặng đứng yên lên hạt nhẹ. Nhắc lại hai ví dụ điển hình về trường ngoài: vệ tinh trong trường hấp dẫn của Trái Đất, electron trong trường của hạt nhân. Trong mỗi ví dụ này, tất nhiên điều kiện $m \ll M$ được thỏa mãn.

Nếu năng lượng toàn phần $E$ của hạt đã cho, thì hệ thức (2) đặt ra những hạn chế đối với việc hạt có thể ở trong vùng không gian nào. Thật vậy, vì động năng $E_{\text{kin}} = \frac{mv^2}{2}$ cho phép trên cơ sở $\sqrt{\frac{2}{m}} E_{\text{kin}}$ phải là cực tiểu!), và từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra rằng

$$\frac{mv^2}{2} = E - U.$$

Như vậy, $E \geq U$; ta đã thu được tiêu chuẩn để xác định vùng mà chuyển động với năng lượng toàn phần $E$ là có thể. Tại những điểm mà $E = U$, động năng, và do đó cả vận tốc, đều bằng không.

Xét chuyển động của một vật dọc theo đường thẳng (trục $x$) làm ví dụ. Khi đó thế năng chỉ phụ thuộc vào vị trí trên đường thẳng này: $U = U(x)$. Trong trường hợp này, tiêu chuẩn của chúng ta rất thuận tiện để áp dụng bằng đồ thị. Trên đồ thị thế năng, vẽ đường thẳng ngang $U(x) = E$. Mọi nơi đồ thị thế năng nằm dưới đường thẳng, $E > U$ và chuyển động là có thể. Tại các điểm giao nhau, vận tốc

10

Hình 2. Vật chuyển động sang trái tiến đến điểm $x_1$, nơi vận tốc của nó bằng không. Nó không thể ở lại tại điểm này, vì có lực tác dụng lên nó (xem quy tắc xe trượt ở tr. 12). Vì vậy sau đó nó sẽ chuyển động sang phải, tăng vận tốc.

Biết thế năng, dễ dàng xác định vận tốc của hạt tại mỗi điểm. Vì $\frac{mv^2}{2} = E - U$, nên $v = \pm \sqrt{\frac{2}{m} [E - U]}$.

Hai dấu của vận tốc tương ứng với hai hướng chuyển động có thể dọc theo trục $x$. Trên hình 2, bằng đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc hạt vào vị trí của nó trong trường hợp năng lượng và thế năng tương ứng với hình 1a. Hướng chuyển động được chỉ trên đồ thị bằng mũi tên.

Như vậy, ta thấy rằng với sự trợ giúp của các đồ thị thế năng có thể đơn giản và trực quan xác định nơi chuyển động là có thể, quỹ đạo có dạng nào và vận tốc của vật phụ thuộc vào vị trí của nó như thế nào. Khi làm rõ các vấn đề này, chúng ta cần biết sự biến thiên của thế năng như một hàm của tọa độ «nói chung», tức là nó biến thiên như thế nào trên toàn bộ quỹ đạo.

Bây giờ hãy xem tốc độ biến thiên của thế năng, tức là đại lượng

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1},$$

trong đó $\Delta x = x_2 - x_1$ rất nhỏ

Theo định luật bảo toàn cơ năng

$$\Delta U = U(x_2) - U(x_1) = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m}{2} (v_1 + v_2) (v_1 - v_2)$$

trong đó $v_1$ là vận tốc của vật tại điểm $x_1$, còn $v_2$ là vận tốc của nó tại điểm $x_2$. Trên đoạn nhỏ $\Delta x$ có thể coi lực tác dụng lên vật là không đổi. Chuyển động dưới tác dụng của lực không đổi, ký hiệu là $F$, là chuyển động có gia tốc, và gia tốc $a = F/m$. Trong trường hợp đó $v_2 - v_1 = a \Delta t = \frac{F}{m} \Delta t$ ($\Delta t$ là thời gian chuyển động), còn $\frac{v_1 + v_2}{2}$ bằng vận tốc trung bình $\frac{v_1 + v_2}{2} = v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. Thay các biểu thức này vào công thức (4):

$$\Delta U = m \frac{\Delta x}{\Delta t} \left( -\frac{F}{m} \Delta t \right) = -F \Delta x.$$

Suy ra

$$\frac{\Delta U}{\Delta x} = -F.$$

Công thức (5) cũng có thể nhận được bằng cách khác, nếu lưu ý rằng khi chuyển động đều chỉ có thế năng của vật thay đổi và độ biến thiên của nó bằng công của lực tác dụng lên vật.

Hãy làm rõ ý nghĩa hình học của công thức (5). Giả sử ta cho đồ thị thế năng. Rõ ràng rằng các đại lượng $x_2 - x_1$ càng nhỏ thì tốc độ biến thiên của thế năng càng trùng khớp chính xác với tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đường cong thế năng (hình 3). Tác dụng

11

do đó, $tg\alpha_1 = \frac{a}{b} = \frac{U(x_2) - U(x_1)}{x_2 - x_1}$, và $x_2 - x_1$ càng nhỏ thì góc $\alpha_1$ càng gần bằng góc $\alpha$. Như vậy, chúng ta đi đến kết luận rằng tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị thế năng, lấy với dấu ngược lại, bằng lực tác dụng lên vật. Điều đó có nghĩa là thế năng tăng càng dốc thì độ lớn của lực càng lớn, và ngược lại.

Sau khi công thức (5) có được ý nghĩa hình học trực quan, chẳng hạn có thể dễ dàng xác định liệu có các vị trí cân bằng hay không và chúng là những vị trí nào. Ta gọi vị trí cân bằng là điểm mà vật có thể ở lại lâu tùy ý, nếu dĩ nhiên ban đầu nó có vận tốc bằng không. Khi nào điều đó có thể? Sự thay đổi vận tốc được đặc trưng bởi gia tốc: nếu nó bằng không thì vận tốc của vật không đổi. Gia tốc lại tỉ lệ với lực tác dụng lên vật. Vậy các vị trí cân bằng là những điểm mà lực bằng không.

Hãy lại xét đồ thị thế năng. Như ta đã thấy, lực tác dụng lên vật bằng tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với đường cong thế năng, lấy với dấu ngược lại. Nếu góc này bằng không thì lực cũng bằng không. Như vậy, trên đồ thị thế năng, các vị trí cân bằng tương ứng với những điểm mà tại đó
Hình 4

Hình 5a,b

tiếp tuyến song song với trục hoành. Chẳng hạn, hiển nhiên các vị trí cân bằng là các cực đại và cực tiểu của thế năng (hình 4).

Các vị trí cân bằng có thể bền và không bền. Điều đó có nghĩa gì? Giả sử ta làm lệch vật một chút khỏi vị trí cân bằng. Nếu khi đó lực tác dụng lên vật đưa nó trở lại, thì cân bằng được gọi là bền, nếu không thì không bền.

Hãy khảo sát tính bền của vị trí cân bằng tương ứng với cực tiểu trên đường cong thế năng (điểm $A$ trên hình 4). Giả sử vật dịch chuyển từ điểm $A$ sang phải. Ở vị trí mới $A_1$ (hình 5 a), tang của góc nghiêng của tiếp tuyến là dương, còn lực là âm, nghĩa là hướng ngược với chiều dịch chuyển và đưa vật trở lại

12

điểm $A$. Nếu dịch chuyển sang trái từ điểm $A$, thì ở vị trí đó ($A_2$ trên hình 5 a) tang của góc nghiêng của tiếp tuyến là âm, lực là dương, nghĩa là hướng về điểm $A$ và buộc vật trở về vị trí ban đầu. Như vậy, vị trí cân bằng tại cực tiểu của thế năng là bền. Tương tự có thể xét tính bền của vị trí cân bằng khi thế năng cực đại (hình 5 b).

Vậy, ta thấy rằng từ đường cong thế năng có thể tìm được độ lớn của lực tác dụng lên vật, dễ dàng xác định các vị trí cân bằng ở đâu và chúng là loại nào. Theo nghĩa này, đồ thị thế năng có thể so sánh với một máng trượt băng mà từ đó xe trượt đi xuống. Ở những chỗ máng dốc, xe trượt tăng tốc nhanh hơn, ở chỗ dốc thoải — chậm hơn. Đỉnh máng và các chỗ lõm trên đó là các vị trí cân bằng. Quả vậy, nếu đặt xe trượt ở đó, chúng sẽ ở nguyên tại đó. Trong đó, đỉnh là vị trí cân bằng không bền, còn các chỗ lõm là vị trí cân bằng bền.

Bây giờ, có lẽ nên nói về cách tính độ lớn của thế năng. Để làm điều đó, ta lại trở về công thức (5) và viết lại nó dưới dạng

$$U(x_2) - U(x_1) = -F \cdot (x_2 - x_1).$$

Nhắc lại rằng độ dài $\Delta x = x_2 - x_1$

Hình 6

13

Năng lượng của vật bằng diện tích lấy với dấu ngược *) dưới đồ thị sự phụ thuộc của công của lực tác dụng lên vật vào tọa độ **). Khi đó đồ thị của nó là một đường thẳng song song với trục hoành. Diện tích dưới nó bằng $F \cdot (x - x_0)$, từ đó đối với hiệu các năng lượng thế ta có

$$U(x) - U(x_0) = -F \cdot (x - x_0)$$

(hình 7a,b).

Dùng sự tương ứng (8), ta có

$$\frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = F \cdot (x - x_0).$$

$$\frac{mv^2}{2} - Fx = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0,$$

nghĩa là năng lượng thế $U = -Fx$. Tuy nhiên, đó không phải là khả năng duy nhất, với cùng cơ sở ấy ta cũng có thể viết đẳng thức sau

$$\frac{mv^2}{2} - Fx + C = \frac{mv_0^2}{2} - Fx_0 + C,$$

trong đó $C$ là một số không đổi. Nhưng khi đó năng lượng thế $U = -Fx + C$. Như vậy, ta thấy rằng năng lượng thế được xác định chính xác đến một hằng số tùy ý. Điều này suy ra ngay từ chính định luật bảo toàn cơ năng. Quả vậy, nếu ta nói rằng đại lượng $E = \frac{mv^2}{2} + U$ được bảo toàn, thì $E' = \frac{mv^2}{2} + U + C$ cũng được bảo toàn, trong đó $C$ là một hằng số nào đó. Nhưng trong trường hợp ấy $U' = U + C$. Điều đó có nghĩa là năng lượng thế chỉ có thể được xác định với độ chính xác đến một hằng số tùy ý, hằng số này luôn được chọn vì lý do thuận tiện *). Dĩ nhiên, sự không xác định như vậy của năng lượng thế hoàn toàn không ảnh hưởng đến các kết luận mà ta đã rút ra về đặc trưng của chuyển động trong trường đã cho, về sự có mặt trong đó của các vị trí cân bằng và về sự phụ thuộc của vận tốc vật vào tọa độ. Bạn có thể dễ dàng tự kiểm tra điều này, chỉ cần đồng thời với việc thay đổi năng lượng thế một đại lượng $C$ cũng thay đổi toàn năng lượng của vật một đại lượng như vậy. Vấn đề là để mô tả đầy đủ chuyển động của vật, cần cho biết vị trí và vận tốc của nó tại một thời điểm nào đó

*) Cần lưu ý rằng nếu lực âm, thì đoạn tương ứng phải được gán dấu trừ.

*) Trường trong đó lực tác dụng lên vật ở mọi nơi đều không đổi được gọi là trường đồng nhất. Chẳng hạn, trường trọng lực gần bề mặt Trái Đất $F = mg$ và điện trường bên trong tụ điện phẳng là các trường đồng nhất.

14

Hình 8

thời gian, do đó ta sẽ biết
$\frac{mv_0^2}{2}$ và $U(x_0)$. Khi đó toàn bộ năng lượng
$E = \frac{mv_0^2}{2} + U(x_0)$. Vì vậy, khi thêm vào $U$ một hằng số nào đó, năng lượng $E$ cũng sẽ tăng đúng bằng chừng ấy.

Bây giờ hãy xét chuyển động của khối lập phương trên lò xo khi không có ma sát (hình 8) và tính năng lượng thế trong trường hợp này bằng bao nhiêu. Theo định luật Hooke, lực tác dụng lên khối lập phương bằng $F = -kx$, trong đó $k$ là độ cứng của lò xo, $x$ là biến dạng của nó. Trong trường hợp này, đồ thị lực là một đường thẳng, tang của góc nghiêng của nó so với trục $x$ bằng $k$ (hình 9a).

Hiệu các năng lượng thế $U(x_1) - U(x_0)$ bằng diện tích hình thang $ABCD$ được tô bóng ở hình 9a, có chiều cao $BC = x_1 - x_0$. Ta thu được các đáy $\frac{AB + CD}{2} = \frac{kx_0 + kx_1}{2}$. Dùng công thức diện tích hình thang, ta tìm được rằng $U(x_1) - U(x_0) = \frac{(x_1 - x_0)(kx_0 + kx_1)}{2} = \frac{k(x_1^2 - x_0^2)}{2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_0^2}{2}$.

Kết quả, đối với $U(x)$ ta nhận được biểu thức sau: $U(x) = \frac{kx^2}{2}$

*) Tương tự như trường hợp trường đều, hằng số $C$ ở đây được chọn sao cho $U(0) = 0$.

15

trường hợp ($F = \text{const.} \quad F = -kx$), không thể tính diện tích này nếu không biết phép tính tích phân. Nhưng nếu tìm được nó, thì hóa ra rằng đối với lực biến thiên theo quy luật $F = \frac{\alpha}{r^2}$, thế năng là

$$U = \frac{\alpha}{r}$$

Hãy chú ý rằng trong công thức (10), ta đã chọn hằng số $C$ sao cho thế năng bằng không ở vô cực. Vì sao điều này thuận tiện và khi nào? Hãy nhớ rằng thế năng đặc trưng cho tác dụng của các vật lên nhau—sự tương tác; nếu ở vô cực lực bằng không, thì các vật càng cách xa nhau, ảnh hưởng lẫn nhau của chúng càng yếu. Chính điều này quyết định việc chọn hằng số trong trường hợp của ta và các trường hợp tương tự ($F(\infty) = 0$).

Từ công thức (10) suy ra rằng dạng của thế năng phụ thuộc một cách đáng kể vào dấu của $\alpha$ (xem hình 106). Nếu $\alpha > 0$, thì lực $F = \frac{\alpha}{r^2} > 0$, và ta có lực đẩy (các điện tích cùng dấu, $\alpha = q_1 q_2 > 0$). Nếu $\alpha < 0$, thì lực $F = -\frac{|\alpha|}{r^2} < 0$, tương ứng với lực hút (các điện tích trái dấu, $\alpha = -q_1 |q_2|$). Ở đây, cần một lần nữa quay lại phép tương tự với chiếc xe trượt tuyết trượt xuống dốc băng. Hãy chú ý rằng nếu đặt xe trượt tuyết lên ngọn đồi có biên dạng của thế năng đang xét, thì chúng chỉ theo hướng tác dụng của lực. Quy tắc đơn giản này cho phép lập tức xác định đang có lực hút hay lực đẩy. Thật vậy, nếu xe trượt tuyết chỉ về điểm $r = 0$ (chẳng hạn, đường cong dưới ở hình 106), thì có lực hút; nếu ngược lại (chẳng hạn, đường cong trên), thì có lực đẩy.

Quy tắc ấy cũng cho phép dựng định tính dạng của thế năng

16

Tiếp theo. Ở những khoảng cách lớn, lực hút nhanh chóng triệt tiêu, còn lực đẩy khi các nguyên tử lại gần nhau, bắt đầu từ một khoảng cách nào đó, tăng lên rất mạnh. Bức tranh tương tác nguyên tử đã mô tả tương ứng với đồ thị thế năng. Được chỉ ra-

16

trên hình 11. Hãy kiểm tra điều đó bằng cách dùng phép tương tự với dốc băng. Điểm $r=r_0$ tương ứng với vị trí cân bằng bền, và vì vậy $r_0$ bằng khoảng cách giữa các nguyên tử trong phân tử.

Cuối cùng, hãy tổng kết một số kết quả. Ta đã thấy rằng từ đồ thị thế năng có thể xác định một số đặc trưng quan trọng của chuyển động (số các quỹ đạo khác nhau tùy theo năng lượng, chuyển động có bị giới hạn hay không, có những vị trí cân bằng hay không và chúng là loại nào: bền hay không bền). Hóa ra mỗi đặc trưng trong số đó đều có một ý nghĩa hình học đơn giản. Cũng dễ xác định độ lớn và hướng tác dụng của lực lên vật (“quy tắc xe trượt tuyết”). Ta đã chỉ ra rằng diện tích dưới đồ thị lực, lấy với dấu ngược lại, bằng thế năng của vật. Điều này cho phép trong một số trường hợp tính trực tiếp thế năng. Điều đó làm nhẹ đáng kể việc giải các bài toán khác nhau.

Và cuối cùng, ta đã thấy dạng định tính của thế năng cho phép làm sáng tỏ cái đang tồn tại và trả lời cho nó.

Bây giờ hãy tự giải các bài tập sau.

Bài tập

1. Xác định miền chuyển động có thể có khi
   $E<U_0$ và $E>U_0$.
   nếu thế năng có dạng được biểu diễn trên hình 12.

2. Tìm các vị trí cân bằng theo đường cong thế năng (hình 13) và xác định tính bền của chúng.

Vẽ đồ thị sự phụ thuộc của lực vào tọa độ.

3. Chứng minh về mặt hình học rằng khi thế năng thay đổi một lượng không đổi $C$ thì lực tác dụng lên vật tại mỗi điểm không thay đổi.

4. Một khối lập phương cạnh $a$, có khối lượng riêng $\rho_1$, nổi trên bề mặt chất lỏng có khối lượng riêng $\rho_2$. Vẽ đồ thị lực tác dụng lên khối lập phương và thế năng theo độ sâu nhúng chìm.