Bài toán về các định luật Newton

Kvant 1971, số 5 tr. 50-57 Thẻ N4LE

Bản dịch máy từ tiếng Nga. Chưa được người kiểm tra. Bản gốc →

Các bài toán kiểu này thường được ra trong các kỳ thi tuyển sinh vào đại học, và người dự thi nên làm quen với một số phương pháp giải chúng.

Vài lời về chính các định luật. Có thể phát biểu chúng theo nhiều cách khác nhau, và không phải đó là điều cốt yếu. Điều quan trọng là hiểu nội dung vật lý của chúng. Hãy nhắc lại những điều cơ bản nhất.

Định luật thứ nhất của Newton khẳng định rằng một vật không có gia tốc (đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều), nếu không có lực tác dụng lên nó hoặc tổng tác dụng của các lực bằng không. Nói cách khác, gia tốc $\vec{a}=0$ và vận tốc $\vec{v}$ không đổi, nếu $\Sigma F=0$ .

Ý nghĩa vectơ của định luật là quan trọng. Chính tổng vectơ của các lực phải bằng không (hình 1), chính vectơ vận tốc trong trường hợp này vẫn không đổi: vận tốc không đổi cả về độ lớn lẫn hướng.

Nếu hợp lực của tất cả các lực tác dụng lên vật $\vec{R}=\Sigma F$ khác không, thì tất yếu xuất hiện gia tốc tỉ lệ thuận với hợp lực này và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật $m$ .

$\vec{a} = \frac{\Sigma F}{m}$

Đó là định luật thứ hai của Newton. Và ở đây nữa tính chất vectơ của nó rất quan trọng: đẳng thức vectơ $\vec{a} = \frac{\Sigma F}{m}$ có nghĩa là gia tốc tổng cộng không chỉ tỉ lệ với hợp lực của các lực tác dụng lên vật, mà còn cùng hướng với nó. Dĩ nhiên, cũng có thể xét như sau: mỗi lực gây ra một gia tốc riêng, cùng hướng với nó, còn gia tốc tổng cộng bằng tổng vectơ của các gia tốc ấy (hình 2).

Cần nhớ rằng gia tốc, chứ không phải vận tốc, cùng hướng với lực; vận tốc nói chung có thể hướng theo bất kỳ hướng nào, tùy thuộc vào vật đã chuyển động như thế nào trước đó. Chẳng hạn, khi một hòn đá được ném xiên so với phương ngang bay đi, vận tốc của nó liên tục thay đổi độ lớn và hướng, trong khi lực gây ra những thay đổi này

là trọng lực $\vec{P} = m\vec{g}$ và gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ hầu như không đổi (hình 3).

Định luật thứ ba khẳng định rằng mọi lực trong cơ học đều là lực tương tác giữa các vật, bằng nhau về độ lớn, ngược nhau về hướng và tác dụng lên các vật khác nhau (hình 4). Điều cuối cùng này đôi khi bị quên đi, khi chẳng hạn người ta khẳng định rằng một vật đứng trên mặt đất được cân bằng, theo định luật thứ ba của Newton, bởi các lực tác dụng lên nó: trọng lực $\vec{P}$ và lực phản ứng của giá đỡ $\vec{N}$ (hình 5). Thực ra sự bằng nhau của các lực này không liên quan gì đến định luật thứ ba của Newton và, như chúng ta sẽ sớm thấy, thậm chí có thể hoàn toàn không đúng.

Tuy nhiên, mỗi lực trong số này, theo định luật thứ ba của Newton, có «cặp» của nó, bằng nhau về độ lớn, ngược nhau về hướng và tác dụng lên một vật khác, trong trường hợp của chúng ta — lên mặt đất: lực phản ứng của giá đỡ $\vec{N}$ — lực ép của vật lên mặt đất $\vec{N}'$ ; lực hút của vật đối với mặt đất $\vec{P}$ — lực $\vec{P}'$ , hút mặt đất về phía vật (hình 6).

Bây giờ hãy xem giải bài toán như thế nào. Các định luật Newton thường được dùng để tính lực và gia tốc. Để giải các bài toán này (cũng như bất kỳ bài toán nào khác) không có những phương pháp giải phổ quát, chỉ cần hiểu rõ các định luật được áp dụng, phân tích đúng hệ vật lý của các quá trình được nói tới trong bài toán, và biết những con đường tiếp cận chung nhất để giải nó. Chẳng hạn, có thể đề nghị trình tự hành động sau đây, dĩ nhiên hoàn toàn không bắt buộc:

thứ nhất — biểu diễn trên sơ đồ các vật đang chuyển động và các lực tác dụng lên chúng;

thứ hai — xác định hướng và tính chất của chuyển động (đôi khi, quả thật, chỉ có thể làm được điều này ở cuối);

thứ ba — chọn cho mỗi vật chuyển động hai trục (thường theo hướng chuyển động dự kiến và vuông góc với nó) và phân tích theo các trục này (chiếu lên chúng) các lực tác dụng lên vật;

thứ tư — viết định luật Newton thứ hai cho mỗi vật, riêng cho từng trục. Khi đó, hình chiếu của các lực và gia tốc

lên trục được coi là dương nếu hướng của chúng trùng với chiều dương của trục, và âm nếu chúng hướng ngược lại (hình 7);

thứ năm — giải các phương trình đã lập và tìm các đại lượng chưa biết.

Xét vài ví dụ.

Tìm lực căng của các dây và gia tốc của các vật trong hệ được biểu diễn ở hình 8. Coi dây không dãn, bỏ qua lực cản, khối lượng của ròng rọc và của dây.

Trước hết, xét xem những lực nào tác dụng lên mỗi vật. Thứ nhất, đó là trọng lực $P=mg$ . Nếu lấy $g=10\text{ m}/\text{сек}^2$ , thì $P_1=20\text{ н}, P_2=5\text{ н}, P_3=25\text{ н}$ .

Thứ hai, lên mỗi vật tác dụng lực căng dây: $T_1$ — lên vật thứ nhất và thứ hai, còn $T_2$ — lên vật thứ hai và thứ ba.

Nhân tiện, lưu ý rằng lực $T_1$ như nhau đối với vật thứ nhất và thứ hai chỉ khi có thể bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây. Nếu khối lượng của dây không nhỏ, thì gia tốc của mỗi đoạn dây sẽ do hiệu các lực căng dây gây ra. Vì vậy, các lực căng dây tác dụng lên những vật khác nhau không thể như nhau.

Tương tự đối với ròng rọc: nói đúng ra, chỉ có thể làm nó chuyển động nếu một phía dây bị kéo mạnh hơn phía kia.

Biểu diễn trên sơ đồ các lực tác dụng lên các vật (hình 9), ta thử xác định hướng và tính chất của chuyển động.

Phần bên phải của hệ nặng hơn, vì vậy các vật $m_2$ và $m_3$ sẽ hạ xuống, còn vật $m_1$ — đi lên. Chuyển động sẽ nhanh dần đều với cùng một gia tốc đối với mọi vật, bởi sự trội hơn về trọng lượng của phần bên phải khi không có lực cản và dây không dãn tương đương với tác dụng lên toàn hệ của một hợp lực không đổi, theo định luật Newton thứ hai phải gây ra gia tốc không đổi.

Ta cũng có thể ước lượng quan hệ giữa độ lớn các lực căng. Chẳng hạn, rõ ràng $T_1>P_1$ , bởi đối với vật thứ nhất gia tốc, và do đó hợp lực, phải hướng lên trên. Tương tự $T_2<P_3$ , còn $P_2+T_2>T_1$ (hình 9).

Việc chọn các trục là rõ ràng: đối với vật thứ nhất, thuận tiện hướng một trục lên trên, còn đối với vật thứ hai và thứ ba — xuống dưới (theo chiều chuyển động). Còn trục thứ hai (vuông góc) thì trong

bài toán này đơn giản là không cần: không lực nào được chiếu lên nó — tất cả chúng đều hướng lên hoặc xuống và vì vậy chỉ được chiếu toàn bộ lên trục thứ nhất.

Bây giờ có thể dễ dàng viết phương trình chuyển động (phương trình của định luật Newton thứ hai) cho mỗi trong ba vật:

$T_1 - P_1 = m_1 a,$
$P_2 + T_2 - T_1 = m_2 a,$
$P_3 - T_2 = m_3 a.$

Ta có ba phương trình, từ đó dễ dàng tìm được ba ẩn ( $a, T_1$ và $T_2$ ).

Thay, chẳng hạn, $T_1$ và $T_2$ từ (1) và (3) vào (2), ta được

$a \frac{P_2 + P_3 - P_1}{m_1 + m_2 + m_3} = 2 \pi / \text{giây}^2.$

Thay kết quả này vào phương trình (1) và (3), ta tìm được

$T_1 = P_1 + m_1 a = 24 \text{ N},$
$T_2 = P_3 - m_3 a = 20 \text{ N}.$

Dĩ nhiên, các trục cũng có thể được hướng theo cách khác, chẳng hạn đối với vật thứ nhất không hướng lên trên mà hướng xuống dưới. Khi đó thay vì $T_1 - P_1 = m_1 a$ ta sẽ viết $P_1 - T_1 = -m_1 a$ , điều này hoàn toàn không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.

Tìm gia tốc, áp lực của vật lên mặt phẳng nghiêng và lực ma sát (hình 10). Hệ số ma sát $k = 0,2$ . Lực $F = 10 \text{ N}$ hướng thẳng đứng lên trên.

Lên vật tác dụng bốn lực: lực $F$ — hướng lên, trọng lực $P$ — hướng xuống, phản lực của mặt tựa $N$ — vuông góc với mặt phẳng nghiêng và lực ma sát $f_{\text{тр}}$ , chiều của lực này chỉ có thể biết được sau khi xác định chiều chuyển động của vật. Trong những trường hợp như vậy, thường ước lượng xem vật sẽ chuyển động về đâu nếu không có ma sát dưới tác dụng của tất cả các lực còn lại, trong trường hợp của chúng ta — dưới tác dụng của các lực $F, P$ và $N$ (hình 11a). Rõ ràng lực ma sát không thể thay đổi chiều chuyển động, mà chỉ có thể làm giảm tốc độ của nó hoặc thậm chí hãm vật dừng hẳn.

Có thể cho rằng vật sẽ trượt dọc theo mặt phẳng nghiêng lên trên hoặc xuống dưới. Để chọn chiều chuyển động, ta chọn hai trục: trục $x$ hướng dọc theo mặt phẳng nghiêng, trục $y$ — vuông góc với nó (hình 11b). Phân tích theo các trục này các lực $F, P$ và $N^*$ ), ta sẽ thấ-

*) Nhân tiện lưu ý rằng, khi phân tích một lực theo các trục, cần nhớ rằng lực ấy đã được thay bằng các lực khác, và vì thế có thể hoặc gạch bỏ nó trên hình vẽ để không lại xem nó là lực tác dụng. Hoặc vẽ một hình mới chỉ với các lực “đã phân tích”

⟦trang 54⟧

y rằng dọc theo mặt phẳng vật chỉ có thể chuyển động xuống dưới, vì trong hai lực tác dụng dọc theo nó, $P\sin\alpha$ lớn hơn $F\sin\alpha$ . Do đó, lực ma sát chỉ có thể hướng lên trên dọc theo mặt phẳng nghiêng.

Trong ví dụ của chúng ta, tuy vậy, còn phải thừa nhận một khả năng nữa: lực $F$ có thể lớn đến mức vật hoàn toàn không trượt trên mặt phẳng, mà tách khỏi nó. Tuy nhiên, so sánh lực “ép” $P\cos\alpha=17,4$ và lực $F\cos\alpha=8,7$ , ta thấy lực thứ nhất lớn hơn lực thứ hai, vì vậy vật không thể tách khỏi mặt phẳng.

Cần nói rằng hiệu của các lực này $P\cos\alpha-F\cos\alpha=8,7\pi$ cho lực ép cần tìm của vật lên mặt phẳng và phản lực đỡ $N$ bằng nó về độ lớn.

Bây giờ ta viết định luật II Newton, nhớ rằng các lực hướng ngược với chiều dương của trục được coi là âm. Đối với trục $y$ ta được.

$F\cos\alpha+N-P\cos\alpha=0$

(1)

(không có gia tốc theo hướng này, vì vậy tổng các lực bằng không). Còn đối với trục $x$ ta được:

$P\sin\alpha-F\sin\alpha-f_{\text{тр}}=ma.$

(2)

Trong các bài toán kiểu này đôi khi người ta mắc sai lầm khi xác định độ lớn của lực ma sát. Quen với các bài toán về vật chuyển động theo phương ngang, thường không cần suy nghĩ lâu, người ta tính lực ma sát bằng tích của hệ số ma sát và trọng lượng của vật.

Thực ra $f_{\text{тр}}=k\cdot N$ , trong đó $N$ — lực ép pháp tuyến (phản lực đỡ), tức là lực tác dụng lên vật vuông góc với mặt phẳng trượt (hoặc lực ép của vật lên mặt phẳng bằng nó về độ lớn và ngược chiều).

Trong bài toán của chúng ta cần tính đến cả góc nghiêng của mặt phẳng lẫn lực $F$ , lực này làm giảm đôi chút lực ép pháp tuyến:

$f_{\text{тр}}=k(P\cos\alpha-F\cos\alpha)=k(P-F)\cos\alpha=0,2(20-10)0,87=1,74\pi$

Bây giờ từ phương trình (2) dễ dàng tìm được gia tốc của vật:

$a=\frac{(P-F)\sin\alpha-f_{\text{тр}}}{m}=\frac{(20-10)0,5-1,74}{2}=1,63\pi/cek^2.$

Trong tên lửa có lắp một chiếc cân lò xo, trên đó đặt một khối gỗ. Trước khi cất cánh, cân chỉ 10 $N$ . Trong khi bay, lúc đầu cân chỉ 30 $N$ , sau đó 10 $N$ , 5 $N$ , 0 $N$ . Có thể nói gì về gia tốc và hướng chuyển động của tên lửa ở những thời điểm này?

Trước hết hãy xét các lực.

Có hai lực tác dụng lên khối gỗ: trọng lực $P$ và phản lực của giá đỡ $N$ (hình 12). Khi tên lửa không có gia tốc theo phương thẳng đứng (chẳng hạn, trước khi cất cánh), hai lực này bằng nhau. Trong trường hợp của chúng ta, $P=N=10$ $N$ .

Nếu tên lửa (và do đó cả khối gỗ) chuyển động có gia tốc, chẳng hạn, lên trên, thì hợp lực của các lực này phải hướng lên trên ( $N>P$ ). Nếu gia tốc hướng xuống dưới thì $P>N$ .

Cân chỉ gì? Dĩ nhiên, không phải trọng lực, như đôi khi người ta nghĩ. Cân ghi nhận lực mà khối gỗ ép lên chúng. Lực này tác dụng lên cân và theo định luật III Newton, có độ lớn bằng và hướng ngược với phản lực của giá đỡ $N$ tác dụng lên khối gỗ

Từ điều kiện bài toán thấy rằng phản lực của giá đỡ $N$ và lực ép lên giá đỡ, tức là trọng lượng, bằng nó về độ lớn, thay đổi trong quá trình bay và nói chung không bằng trọng lực $P=mg$ , có thể coi thực tế là không đổi (nếu bỏ qua sự thay đổi của nó theo độ cao). Viết định luật II Newton cho chuyển động dọc theo trục hướng lên trên:

$N-P=ma$

Thay vào đây $N_1=30$ $\kappa$ , $P=10$ $\kappa$ , $m=1$ $\kappa \left( m=\frac{P}{g}=\frac{10}{10}=1 \kappa \right)$ , ta được: $a_1=\frac{N_1-P}{m}-\frac{30-10}{1}=20 \, m/cek^2$ . Gia tốc dương và do đó hướng lên trên.

Với $N_2=10$ $\kappa$ ta được $a_2=0$ , với $N_3=5$ $\kappa$ $a_3=-5 \, m/cek^2$ , với $N_4=0$ $a_4=-g$ . Trong hai trường hợp cuối, gia tốc âm, nghĩa là nó hướng xuống dưới, hoặc trong phương trình của chúng ta, ta đã coi $N$ và $a$ cùng hướng (cả hai đều dương).

Về hướng chuyển động, ở đây cần tránh những kết luận vội vàng. Chẳng hạn, sẽ là sai nếu khẳng định rằng tên lửa lúc đầu chuyển động lên trên ( $a_1>0$ ), rồi dừng lại ( $a_2=0$ ), bắt đầu chuyển động nhanh dần xuống dưới ( $a_3<0$ ) và cuối cùng chuyển sang rơi tự do ( $a_4=-g$ ). Thực ra tên lửa cũng có thể chuyển động theo cách khác, chẳng hạn luôn luôn đi lên: nhanh dần ( $a_1>0$ ), với vận tốc không đổi ( $a_2=0$ ), chậm dần ( $a_3,4<0$ ). Gia tốc bằng gia tốc rơi tự do chỉ có nghĩa là hợp lực của mọi lực tác dụng lên tên lửa bằng trọng lực; khi đó tên lửa cũng có thể chuyển động lên trên — với động cơ tắt, nếu không kể đến lực cản, hoặc khi động cơ hoạt động sao cho các lực này cân bằng trọng lực. Mọi vật ở trong tên lửa trong trường hợp này sẽ ở trạng thái không trọng lượng, tức là áp lực của chúng lên giá đỡ và phản lực của giá đỡ bằng không.

Toàn bộ vấn đề là ở chỗ chúng ta chỉ tìm được gia tốc, chứ không phải vận tốc và không phải hướng chuyển động; về chúng, tiếc thay, điều kiện bài toán không cho phép nói gì.

Một quả cầu khối lượng $m$ , treo trên sợi dây dài $R$ , được kéo lệch sang bên đến vị trí nằm ngang rồi thả ra (hình 13). Xác định lực căng của dây và gia tốc của quả cầu khi dây hợp với phương ngang một góc $\alpha$ . Tìm quy luật biến thiên của lực căng dây, vận tốc và gia tốc của quả cầu theo góc $\alpha$ . Bỏ qua lực cản.

Để giải, ta sẽ dùng phương pháp như trước: biểu diễn các lực trên hình, ước lượng hướng và tính chất có thể có của chuyển động, chọn các trục và phân tích các lực theo chúng, rồi viết phương trình chuyển động.

Có hai lực tác dụng lên quả cầu: trọng lực $P$ và lực căng dây $T$ (hình 14). Rõ ràng, nó sẽ chuyển động theo cung tròn bán kính $R$ .

Một trong các trục $(x)$ hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo, trục thứ hai $(y)$ vuông góc với nó — theo bán kính. Phân tích các lực theo các trục ấy, ta thấy rằng dọc theo trục $x$ tác dụng lực $Pcos\alpha$ , dọc theo trục $y$ — các lực $T$ và $Psin\alpha$ .

Lực $Pcos\alpha$ gây ra cái gọi là gia tốc tiếp tuyến, hay gia tốc theo tiếp tuyến, $a_t$ , làm thay đổi độ lớn của vận tốc.

$a_t$ là vectơ hướng, cũng như $P \cos \alpha$ , theo tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động của quả cầu (hình 15).

Hợp lực của các lực $T$ , $P \sin \alpha$ truyền cho quả cầu gia tốc hướng tâm (pháp tuyến), làm thay đổi vận tốc theo hướng (hình 16.).

Viết định luật II Newton, đối với chuyển động dọc theo các trục $x$ và $y$ ta được:

$P \cos \alpha = m a_t,$

$T - P \sin \alpha = m a_n.$

Từ phương trình (1) ta lập tức tìm được gia tốc tiếp tuyến $a_t$ và quy luật biến thiên của nó:

$a_t = \frac{P \cos \alpha}{m} = \frac{mg \cos \alpha}{m} = g \cos \alpha.$

Gia tốc hướng tâm, xuất hiện trong mọi chuyển động cong, cũng là một vectơ. Nó luôn hướng vào phía trong quỹ đạo theo bán kính và được gây ra bởi tổng đại số các hình chiếu theo bán kính của mọi lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc hướng tâm, như đã biết, được tính theo công thức $a_n = v^2 R$ . $R$ đã biết, còn vận tốc ta tìm được bằng cách viết định luật bảo toàn năng lượng:

$m g h = \frac{m v^2}{2},$

trong đó $h = R \sin \alpha$ (hình 17). Từ đây $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 g R \sin \alpha}$ và $a_n = 2 g R \sin \alpha$ . Vận tốc $v$ và gia tốc hướng tâm $a_n$ bằng không ở vị trí trên cùng ( $\sin \alpha = 0$ ) và đạt cực đại ở vị trí dưới cùng ( $\alpha = 90^\circ$ , $\sin \alpha = 1$ ).

Gia tốc tiếp tuyến $a_t$ , ngược lại, có giá trị lớn nhất ở đầu chuyển động tại điểm trên cùng ( $\cos \alpha = 1$ ) và bằng không khi sợi dây thẳng đứng

(với $\alpha = 0$ ). Sau khi quả cầu đi qua điểm thấp nhất của quỹ đạo, $a_t$ trở thành âm (với $\alpha < 0$ ). Nó hướng ngược với vận tốc (hình 18) và làm giảm vận tốc đó (điều này, nhân tiện, cũng rõ từ định luật bảo toàn năng lượng — $h$ trong công thức (3) triệt tiêu).

Chúng ta đã tìm được độ lớn của vận tốc, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc hướng tâm ứng với một góc $\alpha$ bất kỳ, cũng như quy luật biến đổi của chúng theo sự thay đổi của góc này. Hướng của chúng tại mọi thời điểm cũng đã biết ( $a_t$ và $v$ — theo tiếp tuyến, $a_n$ — theo bán kính). Bây giờ còn có thể xác định gia tốc toàn phần, bằng tổng vectơ của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc hướng tâm ( $a_t + a_n$ ) (hình 19).

Không khó tìm lực căng của sợi dây và quy luật biến đổi của nó theo góc từ phương trình (2): $T = P\sin\alpha + ma_n$ .

Thay $a_n$ bằng giá trị đã tìm được $2g \sin\alpha$ , ta có $T = P\sin\alpha + 2mg\sin\alpha$ , hay $T = 3P\sin\alpha$ .

Lực căng dây là lớn nhất khi quả cầu đi qua vị trí thấp nhất (sin $\alpha$ có giá trị lớn nhất, bằng 1).

Hãy tự giải các bài toán sau.

Xét ví dụ 2 trong trường hợp lực $F$ hướng không lên trên mà hợp với mặt phẳng nghiêng một góc $\beta = 45^\circ$ (hình 20) và bằng: $15\, \text{kg}$ , $20\, \text{kg}$ , $30\, \text{kg}$ (tính toán được thực hiện cho cả ba trường hợp).
Tiếp tục giải ví dụ 4, xác định khi quả cầu chuyển động thì hướng của hợp lực các lực tác dụng lên quả cầu và của gia tốc toàn phần thay đổi như thế nào.
Tìm lực căng dây, gia tốc và lực ma sát của vật $m_2$ với mặt phẳng nghiêng (hình 21) khi hệ số ma sát $k_1 = 0,1$ và khi $k_2 = 0,2$ . Coi dây không dãn, bỏ qua khối lượng của ròng rọc và dây.
Giải bài toán tương tự bài thứ ba, nhưng với những thay đổi sau: thay cho vật $m_2$ — hai vật $m_2 = 2\, \text{kg}$ và $m_3 = 5\, \text{kg}$ , nối với nhau bằng một sợi dây (hình 22); hệ số ma sát của vật thứ hai $k_2 = 0,1$ , của vật thứ ba $k_3 = 0,05$ . Ngoài ra cần xác định lực căng của sợi dây giữa vật thứ hai và thứ ba.

Hình 20
Hình 21
Hình 22