Bài toán M81—M85; F93—F97

30

Bài toán

M81. Bên trong hình vuông $A_1 A_2 A_3 A_4$ lấy một điểm tùy ý $P$. Từ đỉnh $A_1$ hạ đường vuông góc xuống đường thẳng $A_2 P$, từ đỉnh $A_2$ — xuống $A_3 P$, từ $A_3$ — xuống $A_4 P$, từ $A_4$ — xuống $A_1 P$. Chứng minh rằng cả bốn đường vuông góc ấy (hoặc các phần kéo dài của chúng) cắt nhau tại một điểm.

A. N. Vilenkin

M82. Trên một đường ô tô vòng có đặt несколько xe ô tô giống nhau. Biết rằng nếu toàn bộ xăng có trong các xe này được đổ vào một xe, thì xe đó có thể đi hết đường ô tô vòng và trở về chỗ cũ. Chứng minh rằng ít nhất một trong các xe đứng trên đường có thể đi hết vòng, lấy xăng của các xe ô tô còn lại trên đường đi.

M83. Chứng minh rằng các số 1, 2, …, $n$ với không một $n$ nào không thể chia thành hai nhóm sao cho tích các số trong một nhóm bằng tích các số trong nhóm kia.

M84. Gọi $A$ là chân đường vuông góc hạ từ tâm của đường tròn đã cho xuống đường thẳng đã cho $l$.

Trên đường thẳng này lấy thêm hai điểm $B$ và $C$ sao cho

$$AB = AC.$$

Qua các điểm $B$ và $C$ kẻ hai cát tuyến tùy ý, trong đó một cát tuyến cắt đường tròn tại các điểm $P$ và $Q$, cát tuyến kia — tại các điểm $M$ và $N$. Giả sử các đường thẳng $PM$ và $QN$ cắt đường thẳng $l$ tại các điểm $R$ và $S$. Chứng minh rằng

$$AR = AS.$$

Bài toán này (hoặc một số biến thể của nó) đôi khi được gọi là «bài toán con bướm»; nguồn gốc của tên gọi này rõ từ hình 1.

M85. Chứng minh rằng nếu $a_1, a_2, ..., a_m$ là các số tự nhiên đôi một khác nhau, không số nào trong chúng chia hết cho bình phương của một số nguyên lớn hơn một, còn $b_1, b_2, ..., b_m$ là các số nguyên khác không, thì

$$b_1 \sqrt{a_1} + b_2 \sqrt{a_2} + \ldots + b_m \sqrt{a_m} \neq 0.$$

L. N. Vasershtein

31

F93. Trong thành bên của một bình chứa đầy chất lỏng có chiết suất $n$, có một lỗ nhỏ bán kính $r$. Từ bình, theo trục của lỗ, hướng một chùm tia sáng mảnh nằm ngang. Chất lỏng phải chảy ra đến mức $h$ nào phía trên lỗ để tia sáng đi ra khỏi dòng chảy mà không lần nào chịu phản xạ toàn phần?

Bỏ qua sự thay đổi tiết diện của dòng chảy, coi chiết suất của chất lỏng đủ lớn.

I. F. Ginzburg

F94. Một mol khí lí tưởng thực hiện một chu trình (một quá trình kín gồm hai đẳng tích và hai đẳng áp (hình 2)). Nhiệt độ tại các điểm 1 và 3 lần lượt bằng $T_1$ và $T_3$. Xác định công do khí thực hiện trong chu trình, nếu biết rằng các điểm 2 và 4 nằm trên cùng một đường đẳng nhiệt.

F95. Mặt sông tạo thành một mặt phẳng nghiêng. Một vật có thể trôi tự do theo sông với vận tốc lớn hơn vận tốc dòng chảy hoặc vận tốc cực đại của dòng chảy không?

F96. Hai quả cầu giống nhau được nối bằng một sợi dây. Tìm độ cao nâng lên của hệ này, nếu một trong các quả cầu được ném lên với vận tốc $v$.

A. Drozdov

F97. Một vòng dây cách điện được uốn thành hình số tám, các vòng của nó có bán kính $r_1 = 1$ cm và $r_2 = 3$ cm. Vòng dây nằm trong từ trường có cảm ứng $B = 10^4$ ec, vuông góc với mặt phẳng của vòng dây.

Lớp cách điện của dây được tính cho điện áp 10 e. Lớp cách điện có bị đánh thủng không nếu từ trường bị tắt đột ngột? Thời gian tắt từ trường là $10^{-3}$ sec.

L. G. Aslamaov

Hình 2.