Ghi chú cờ vua và toán học

55

Cờ vua và toán học có khá nhiều điểm chung. Ghi chú của chúng tôi sẽ tập trung chủ yếu vào các bài toán trên bàn cờ.

Lật qua những cuốn sách có tựa đề hấp dẫn như “Kính vạn hoa toán học”, “Trong thế giới bí ẩn và kỳ quan”, “Những con số và quân cờ thú vị và thú vị”, bạn có thể nhận thấy rằng mỗi cuốn đều chứa rất nhiều bài toán về các quân cờ trên bàn cờ.

Mặt khác, đây là những câu đố mà bất kỳ người hiểu biết nào cũng có thể giải được; thường xuyên hơn không, điều này đòi hỏi kinh nghiệm và kiến ​​​​thức toán học nhất định. bài toán như vậy không chỉ có thể tìm thấy trong những cuốn sách phổ thông, chúng còn thường xuyên xuất hiện trong giới toán học, tại các cuộc thi Olympic và thường thấy trong tài liệu toán học chuyên nghiệp. Tóm lại có rất nhiều bài toán toán học, cả đơn giản lẫn phức tạp, với nội dung cờ vua khác nhau.

Mục đích của những phép toán này chính xác là cố gắng hệ thống hóa những bài toán này ở một mức độ nào đó và ít nhất là nói ngắn gọn về điều thú vị nhất trong số chúng.

Chúng tôi hy vọng rằng bạn đã quen với các bước di chuyển của quân cờ, mặc dù chúng tôi đã cảnh báo trước rằng không cần có kỹ năng đặc biệt nào khi chơi cờ.

Có lẽ một số bạn sẽ quyết định rằng các nhà toán học đã hoàn toàn phát điên và trong khi thực hiện công việc của họ, hãy vui vẻ bằng cách sắp xếp các quân cờ trên bảng (sẽ tốt hơn nếu họ chỉ chơi cờ!).

Tuy nhiên, công việc của các nhà toán học theo hướng này lại có ý nghĩa riêng. Thực tế là đối với lời giải một số bàn cờ và quân cờ bài toán toán học quan trọng rất thuận tiện để sử dụng làm mẫu.

Không phải ngẫu nhiên mà các thuật ngữ cờ vua có thể được tìm thấy trong các tài liệu về lý thuyết trò chơi, điều khiển học, lý thuyết đồ thị, tổ hợp, lý thuyết số và lập trình.

Hãy đưa ra một ví dụ. Khái niệm quốc tế về “xe” và “đa thức” toán học thuần túy đã hứa hẹn điều gì? Tuy nhiên

56

Nhà toán học người Mỹ D. Riordan trong cuốn sách “Giới thiệu về phân tích tổ hợp” (Moscow, IL, 1963) sử dụng thuật ngữ “đa thức xe!” Điều gì gây ra điều này?

Nó chỉ ra rằng một lớp tổ hợp lớn bài toán giảm xuống việc xác định số lượng vị trí trên bàn cờ của một số quân xe nhất định không đe dọa lẫn nhau (không có cặp quân xe nào được cùng hạng hoặc cấp bậc). Và khi xem xét bài toán phức tạp hơn nữa, đa thức đóng một vai trò quan trọng

$$R(x) = r_0 + r_1x + \dots + r_kx^k + \dots + r_nx^n,$$

trong đó $r_k$ là số vị trí trên bảng trao đổi $n \times n$ của $k$ quân xe ($k=0, 1, 2, \dots$) không đe dọa lẫn nhau. Đa thức này được Riordan gọi là đa thức xe; như chúng ta thấy, cái tên này là hoàn toàn chính đáng.

Lưu ý rằng biển không đáy bài toán và các vấn đề sẽ nảy sinh khi tạo ra một cỗ máy, một món đồ chơi cờ vua (hay đúng hơn là một chương trình dành cho nó).

Ngày nay, hàng chục và hàng trăm bài báo, cuốn sách, cuộc thảo luận và thậm chí cả luận văn đặc biệt được dành cho chủ đề thời thượng này và chúng tôi sẽ không đề cập chi tiết về nó.

Từ Shah của Ba Tư cho đến ngày nay

Cuộc trò chuyện của chúng ta tự nhiên bắt đầu bằng việc xem xét các đặc tính của bàn cờ mà chưa sắp xếp các quân cờ trên đó.

Tất nhiên, ai trong số các bạn cũng đã từng nghe truyền thuyết nổi tiếng về nguồn gốc của cờ vua. Nhà hiền triết đã phát minh ra chúng đã yêu cầu Shah Ba Tư, người thực sự thích trò chơi này, lượng hạt lúa mì cần thiết để che phủ tất cả các ô của bàn cờ, nếu một hạt được đặt trên ô đầu tiên của nó và trên mỗi ô tiếp theo nhiều gấp đôi so với ô trước đó (Hình 1).

Cơm. 1.

Hóa ra là không có đủ lúa mì cho việc này, chỉ được dự trữ trong các kho thóc của Shah Ba Tư, mà còn ở tất cả các kho thóc trên thế giới. Nhà hiền triết khiêm tốn yêu cầu

$$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{63} = 2^{64} - 1$$

hạt Con số này được viết bằng hai mươi chữ số và vượt quá 18 quintillan ($2^{10} = 1024 \approx 10^3$). Tất nhiên, ở đây có rất ít mối liên hệ với toán học; đúng hơn, kết quả thu được minh họa một cách tượng trưng cho những khả năng toán học to lớn ẩn giấu trong bàn cờ.

Xin thưa, đặc điểm ưa thích nhất của bàn cờ là khoảng cách ngắn nhất trên bàn cờ không nhất thiết phải thay đổi theo một đường thẳng. Ví dụ: khoảng cách hình học từ hình vuông a1 đến hình vuông h8 lớn hơn hình vuông a8 và quân vua cần chính xác 7 nước đi cho bất kỳ lần chuyển đổi nào trong số này. Đối với các nhà toán học làm việc với nhiều khoảng cách (số liệu) khác nhau, đây là một vấn đề phổ biến.

Thuộc tính chỉ thị đặc biệt hiệu quả theo nghĩa của Reti này (Hình 2).

Có vẻ hoàn toàn khó tin rằng ở vị trí này vua trắng lại có thể đuổi kịp lúa mì đen.

Cơm. 2. R. Reti, 1921
Vẽ tranh.

Tuy nhiên, điều này có thể thực hiện được nếu anh ta

58

do đó không có sự che phủ cần thiết!
Một số bài toán yêu cầu bạn phải cắt bàn cờ sao cho thỏa mãn một số điều kiện nhất định. Bây giờ chúng ta sẽ không tập trung vào bài toán như vậy.
Đôi khi, cùng với cờ vua nói chung, những hình dáng khác nhau của chúng gắn liền với sự biến đổi của bàn cờ sẽ được xem xét.

MỘT)
b)
b)
V)

Pris. 5.
a) Bàn cờ hình trụ không có chữ p dọc.
b) Bàn cờ hình xuyến.
c) Một bàn cờ hình nón thu được bằng cách dán hình thẳng đứng a vào chiều ngang thứ tám.

Hơn nữa, những phép biến đổi này hoàn toàn có tính chất toán học. Thông thường điều này được thực hiện trong các bài toán cờ vua. Trong «Kvant» (xem Số 5, 1970), chúng ta đã nói về cờ hình trụ và hình xuyến. Thật thú vị khi xem xét một tấm ván hình trụ có một đường cắt dọc (Hình 5a). Trên một bảng như vậy, quân tượng được đặt giống như một con tắc kè hoa: nó chuyển từ hình vuông sáng sang hình vuông màu đen và ngược lại!
Tất nhiên, hình trụ và hình xuyến (Hình 5b) không phải là những hình duy nhất

các bề mặt có thể được dán lại với nhau từ bàn cờ. Bàn cờ hình nón cũng có nhiều thủ thuật (Hình 5c).

Thật dễ dàng để đưa ra ví dụ về cờ vua bài toán đã được giải quyết

Cơm. 6. Chiếu tướng trong một nước đi.

trên một trong những bảng được đề cập và không dám trên những bảng khác. Ví dụ: nhiệm vụ “chiếu tướng trong một nước đi” trong Hình 6 trông thật buồn cười. Tuy nhiên, trên một bảng hình trụ bị uốn cong bởi phương thẳng đứng a và h, có thể thực hiện được: 1. chiếu hết h3-h4! Các ô b4 và b6 do quân mã giữ ở đây, a6 và b5 do quân tượng giữ, và vua đen không được đối thủ da trắng cho phép lên đường h. Lưu ý rằng với quân trắng trên h2 thì không còn quân giao phối nữa, vì sau 1. h2-h4 Đen chiếm quyền *): 1…a4:h3.

Tuy nhiên, ngay cả trên một tấm hình trụ cũng có thể

*) Bắt để vượt qua - bắt một con tốt không ẩn nấp (ví dụ như màu đen) đã tiến lên từ vị trí ban đầu của nó hai ô vuông và trở thành liền kề theo chiều ngang với con tốt màu trắng. Trong trường hợp này, quân tốt của đối phương (màu đen) bị loại bỏ như thể nó đã tiến lên một ô.

59

Không phải mọi thứ có thể làm được ở chế độ thông thường đều có sẵn. Ví dụ, để ghép vua đơn độc của đối thủ với vua và xe, việc ghim anh ta trên đường a hoặc h là chưa đủ, bạn còn cần phải đưa anh ta lên hạng một hoặc hạng tám, và trên một bảng hình trụ thì điều này là không thể. Trên bàn cờ hình xuyến, có thể dễ dàng nhận thấy, ngay cả quân hậu cũng không thể đương đầu với quân vua “trần trụi” của đối thủ.

Đây là một ví dụ hài hước khác (Hình 7). Ở đây, tấm thảm trong hai bước di chuyển được thực hiện cả trên bảng thông thường và trên bảng hình trụ, nhưng trên mỗi bảng theo cách riêng của nó.

Cơm. 7. Chiếu hết trong hai nước đi.

Trên một bảng thông thường, mọi thứ rất đơn giản:

1. La5 : a6 Npb1 - c1
2. La6—a1 chiếu.

Ở quân trụ, sau khi đi 1. La5 : a6, Xe thua về dạng đáp số 1… h7 : a6! Mặt khác, nếu quân đi xa khỏi a5 thì Đen sẽ tiến quân a6 và không có chiếu tướng. Giải quyết 1. La5—a5!! — quân xe đi quanh vòng tròn và trở về ô vuông ban đầu!

Phần còn lại rõ ràng: 1…Kpb1—c1—2. La5—a1 chiếu.

Chúng tôi mời bạn tự mình đưa ra các ví dụ tương tự trên bảng hình xuyến và hình nón.

Trong số các vấn đề về phân bố của cờ vua Nam Tư có cái gọi là dự án cờ vua trên một bàn cờ vô hạn.

Cơm. 8. Bàn cờ hình cầu. Từ trường bên ngoài bổ sung (màu đỏ) bao quanh toàn bộ bảng, bạn có thể vào bảng ở bất kỳ đâu và theo bất kỳ hướng nào (theo chiều dọc, chiều ngang hoặc đường chéo). Ví dụ, một quân xe trên một bàn cờ trống có thể di chuyển kẻ địch qua tất cả các ô trong một nước đi (đi qua ô bên ngoài 7 lần).

Bảng có bốn trường bổ sung. Trên một bàn cờ gấp có thêm một ô, ta thu được một bàn cờ hình cầu (Hình 8). Tuy nhiên, việc nghiên cứu chi tiết về ván cờ trên các bàn cờ kết quả không nằm trong kế hoạch của chúng tôi.

Ở cuối phần này, chúng tôi cung cấp cho bạn một số bài toán dành cho lời giải, đáp số độc lập xuất hiện trong số tiếp theo.

1. Chứng minh rằng một bảng 100 ô vuông 10x10 không thể được che phủ hoàn toàn mà không có các hình chồng lên nhau, ví dụ được minh họa trên Hình 9.

Cơm. 9. Hình 10.

2. Một domino điển hình bao gồm hai hình vuông. Tạo một hình “trimino” được tạo thành từ ba hình vuông (Hình 10). Nếu một bàn cờ được bao phủ bởi 21 quân cờ, thì còn lại một ô trống. Nó có thể là gì?

3. 12 trường được cắt từ bảng 8x9 (Hình 11). Chứng minh rằng phần còn lại không thể che được bằng các mảnh vụn.

Cơm. 11.

4. Đặt bảng có số trường lẻ (ví dụ: kích thước của nó là 7x9). Các thửa ruộng ở phía chung hoàn toàn liền kề nhau. Chúng ta hãy đặt một con tốt trên mỗi ô vuông của bàn cờ, sau đó thu thập những con tốt này và đặt chúng lên bảng một lần nữa.

a) Bây giờ mỗi con tốt có thể kết thúc ở một ô liền kề với ô mà nó đã chiếm trong lần đặt đầu tiên không?

6. Giả sử rằng trong quá trình sắp xếp thứ cấp, những con tốt chiếm các góc trái bằng nhau vẫn giữ nguyên và những con tốt đứng cạnh nhau trong lần sắp xếp thứ nhất vẫn đứng cạnh nhau. Con tốt nào có thể thay đổi vị trí của nó?