Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

65

Đại học quốc gia Moscow mang tên M.V. Lomonosov

Khoa Điều khiển kinh tế, Khoa Kinh tế

1. Hai loại bộ phận đã được sản xuất. Phần đầu tiên được làm từ hợp kim của kim loại $M_1$ và $M_2$, và phần thứ hai được làm từ hợp kim của kim loại $M_3$ và $M_4$. Nếu các bộ phận thuộc loại thứ nhất chỉ được làm bằng kim loại $M_1$ thì tổng trọng lượng của chúng sẽ là 1,6 kg và nếu chỉ bằng kim loại $M_2$ thì sẽ là 5,2 kg. Nếu các bộ phận thuộc loại thứ hai chỉ được làm bằng kim loại $M_3$ thì tổng trọng lượng của chúng sẽ là 3 kg, và nếu chỉ bằng kim loại $M_4$ thì sẽ là 4,5 kg. Giá của một bộ phận của loại thứ nhất là 3 rúp, trọng lượng của nó là 0,31 kg. Giá của một bộ phận của loại thứ hai là 5 rúp, trọng lượng của nó là 0,34 kg. Có bao nhiêu bộ phận của mỗi loại được sản xuất nếu tổng chi phí của chúng là 68 rúp?

2. Giải phương trình:

$$tg(\pi ctg x) = ctg(\pi tg x).$$

3. Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy

$$a_n = n^2 - 8n + 15 - \frac{9}{(3n - 16)^2 + 6},$$

$$n = 1, 2, 3, \dots$$

4. Trên mặt phẳng có một hình trụ tròn thẳng có bán kính $R$ (nghĩa là hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng dọc theo một số hình ảnh) và không giao nhau với nó, bán kính $r$. Khoảng cách từ trục hình trụ đến tâm bóng là $p$. Tìm bán kính nhỏ nhất có thể có của một quả bóng có thể tiếp xúc đồng thời với hình trụ, mặt phẳng và quả bóng đã cho.

5. Có bao nhiêu số có sáu chữ số mà mỗi chữ số ở mỗi vị trí đều lớn hơn chữ số ở bên trái một đơn vị (các chữ số được đánh số từ trái sang phải)?

Khoa Kinh tế Chính trị, Khoa Kinh tế

1. Sản lượng sản phẩm trong năm hoạt động của doanh nghiệp tăng $P\%$, năm sau tăng hơn 10% so với năm đầu. Xác định xem sản lượng năm đầu tiên tăng bao nhiêu phần trăm, nếu khai thác trong 2 năm tăng 48,59%.

2. Giải bất đẳng thức:

$$x > \frac{1}{x - 1}.$$

3. Giải bất đẳng thức:

$$11 \sin x + \cos 2x - 6 \leq 0.$$

4. Tính tổng các số tự nhiên không vượt quá 1000 và không chia cho 13.

5. Một quả cầu có bán kính $R$ nội tiếp góc nhị diện $60^\circ$. Tìm bán kính của một quả cầu nội tiếp một góc và tiếp xúc với quả cầu đã cho mà không cắt nó, một quả cầu có bán kính $r$. Khoảng cách từ trục hình trụ đến tâm quả bóng là $p$. Tìm bán kính nhỏ nhất có thể có của một quả bóng có thể tiếp xúc đồng thời với hình trụ, mặt phẳng và quả bóng đã cho.

Khoa sinh học khoa sinh học

1. Giải phương trình:

$$\log \frac{1}{8} \left[ 2^x + 1 + tg^2 \frac{\pi}{4} \right] + \log \frac{1}{8} \left[ 2^x + ctg^2 \frac{\pi}{6} \right] = \frac{5}{3} + 3 \log \frac{1}{8} 5.$$

2. Một hình nón cụt và một lăng trụ lục giác đều được sắp xếp sao cho đáy trên của hình nón cụt bao quanh đáy dưới của lăng trụ. Được biết, chiều cao của một hình nón cụt bằng tổng bán kính các đáy của nó. Tìm tỉ số kích thước bề mặt của các vật thể này.

3. Bằng cách trộn 2 $cm^3$ của ba chất, chúng ta thu được 16 hỗn hợp $e$. Được biết, 4 $e$ của chất thứ hai chiếm thể tích $\frac{1}{2} cm^3$ lớn hơn 4 $e$ của chất thứ ba. Tìm khối lượng riêng của chất thứ ba nếu biết khối lượng của chất thứ hai trong hỗn hợp gấp đôi khối lượng của chất thứ nhất.