Bài toán số học và đại số

Hóa ra nồng độ carbon thay đổi rất ít trong những năm qua. Tuy nhiên, những khó khăn lớn sẽ nảy sinh trong việc xác định tuổi của các tòa nhà. Ngôi nhà có thể được xây dựng từ gỗ đã được sử dụng trong cấu trúc khác. Ngoài ra, tuổi của cây trong một số trường hợp cũng đóng một vai trò lớn. Bằng cách nào đó các nhà khoa học đã quyết định về “tuổi” của cỏ ven đường. Các quầy đã ghi nhận một tỷ lệ rất nhỏ carbon phóng xạ trong chất của thực vật ven đường. Các phép tính đã dẫn đến một kết quả đáng đánh giá cao - “tuổi” của cỏ hóa ra bằng vài năm! Một lời giải thích nhanh chóng đã được tìm thấy. Khí thải tự động chạy dọc đường chứa carbon không có đồng vị nặng $^{14}$ C. Tuổi của dầu tạo ra xăng được tính bằng hàng triệu năm, và một cách tự nhiên, tất cả carbon phóng xạ trong đó đã phân hủy.

Xác định tuổi của kho giày theo thời gian chấp nhận được là một trong những bài toán khảo cổ học đầu tiên được giải quyết bằng vật lý bằng phương pháp carbon phóng xạ. Phương pháp này giúp xác định thời điểm phun trào Vykanichic cổ đại và xác định niên đại của kỷ băng hà.

Tiến vào lục địa, băng phá hủy đời sống thực vật, con người đi về phía nam, đánh dấu đường đi của mình bằng than đất son đã nguội. Thân cây cổ thụ và các địa điểm con người vẫn được bảo tồn cho đến ngày nay dưới một lớp trầm tích băng hà. Nhưng chỉ sau khi phương pháp cacbon phóng xạ ra đời thì “lịch trình” di chuyển của băng mới được thiết lập.

Các phép đo đã chỉ ra rằng trong 40 nghìn năm qua đã có ba kỷ băng hà trên Trái đất. Gần đây nhất là khoảng 11.400 năm trước. Kể từ đó, Trái đất tương đối ấm áp.

Bài toán số học

1. Tìm tất cả các số $x$ sao cho $x^3=7p+1$, trong đó $p$ là số nguyên tố.

2. Các số lẻ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần 1, 3, 5, 7,…; sau đó chia chúng thành các nhóm chứa 1, 2, 3, 4, … số, tức là như sau: (1), (3,5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), … Chứng minh rằng tổng các số thuộc một nhóm $r$ bằng $r^3$.

Tiếp theo, chia các số thành các nhóm gồm 1, 1, 4, 3, 9, 6, …, $r^2$, $\frac{r(r+1)}{2}$, $(r+1)^2$, … số.

Chứng minh rằng tổng các số trong một nhóm số $r^2$ bằng $r^5$.

3. Chứng minh rằng tồn tại vô số bốn số tự nhiên $a, b, c, d$ sao cho $(a^3+b^3)(c^3+d^3)$ có thể biểu diễn dưới dạng $M^3+N^3$, trong đó $M, N$ là các số tự nhiên.

4. Có thể thu được bao nhiêu số chia hết cho 37 từ số 3333777 bằng cách sắp xếp lại các chữ số của nó?

5. Tìm các số hữu tỷ $x$ và $y$ sao cho $0<x<3$, $y>4$ và $x^3+y^2=3^3+4^3$.

… và đại số

6. Viết phương trình có nghiệm là tỉ số của các nghiệm của phương trình $y^3+py+q=0$.

7. Chúng ta hãy biểu thị bằng $t_k$ giá trị trung bình số học của lũy thừa $k$ của các số dương $a_1, ..., a_n$. Chứng minh rằng dãy $t_1, t_2^{1/2}, ..., t_k^{1/k}, ...$ không triệt tiêu.