Задачи арифметические и алгебраические

Оказалось, что концентрация углерода за долгие годы изменяла незначительное. Однако при определении возраста построек возникот большие трудности. Дом может быть построен из древесины, которая уже была использована в другом сооружении. Кроме того, и возраст самого дерева в некоторых случаях играет большую роль. Как-то ученыле решили «возраст» придорожной травы. Счетчики зарегистрировали очень мало долю радиоуглерода в веществе придорожных растений. Расчеты приведели к оценомлющему результату — «возраст» травы оказался равным нескольким высчем лет! Объяснение нашли быстрого. Выхлопные газы автоматически, проходящие по дороге, содержат углерод без тяжелого изотопа $^{14}$ С. Возраст нефти, из которого получают бензин, измеряется миллионами лет, и естественно, что весь радиоуглерод в ней распался.

Определение возраста обувного склада допустимых времен — одна из первых ахxeологических проблем, решенных физики с помощью радиоуглеродного метода. Этот метод помог определить сроки древних выканичических извержений, установить даты ледниковых периодов.

Наступая на контinent, льды уничтожали растительное, люди уходили к югу, отметив свой путь углями остыших очаров. Ствольы древних деревьев, стояники человека сохранили до наших дней под толщей ледниковых наносов. Но только после появления радиоуглеродного метода был установлен «график» движения льдов.

Измерения показали: за последние 40 тысця лет на Земле было три ледниковых периода. Самый поздний — примерно 11 400 лет назад. С тех пор на Земле относительно теплло.

Задачи арифметические

1. Найти все числа $x$ такие, что $x^3=7p+1$, где $p$ — простое число.

2. Нечетные числа расположены в порядке розрастания 1, 3, 5, 7, …; после чего разбиты на группы, содержащие 1, 2, 3, 4, … числа, то есть так: (1), (3,5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), … Доказать, что сумма чисел, принадлежащих группе из $r$ чисел, равна $r^3$.

Далее, пусть же числа разбивают на группы, состоящие из 1, 1, 4, 3, 9, 6, …, $r^2$, $\frac{r(r+1)}{2}$, $(r+1)^2$, … чисел.

Доказать, что сумма чисел, находящихся в группе из $r^2$ чисел, равна $r^5$.

3. Доказать, что существует бесконечного многочетверок натуральных чисел $a, b, c, d$ таких, что $(a^3+b^3)(c^3+d^3)$ можно представить в виде $M^3+N^3$, где $M, N$ — натуральные числа.

4. Сколько чисел, делящихся на 37, можно получить из числа 3333777 перестановками его цифр?

5. Найти разциональные числа $x$ и $y$ такие, что $0<x<3$, $y>4$, и $x^3+y^2=3^3+4^3$.

… и алгебраические

6. Написать уравнение, корнями которого являются отношения корней уравнения $y^3+py+q=0$.

7. Обозначим через $t_k$ среднее арифметическое $k$-х степени положительных чисел $a_1, ..., a_n$. Доказать, что последовательность $t_1, t_2^{1/2}, ..., t_k^{1/k}, ...$ не убивает.