Площади многоугольников

36

Здесь собраны некоторые задачи, связанные с понятием площади многоугольника. Мы даим аксиоматическое определение площади многоугольника, перечислив те её свойства, которые нам нужны.

A1. Площад многоугольника — положительное число.
A2. Площад равных (конгруэтных) многоугольников равны.
A3. Если многоугольник разрезан на несколько частей, то его площад равна сумме площадей этих частей.
A4. Площад треугольника равна половине произведения его основания на высоту. (Единицу масштаба мы считаем заданной; легко показать, что это произведение не зависит от того, какую именно сторону и соответствующую ей высоту мы возьмем.)
Буква А выбрана потому, что с нее начинается слово «Аксиома». Из этих четырех свойств аксиом можно вывести все теоремы о площадях многоугольников, которые вы изучаете в школе.

Значительно труднее доказать, что, действительно, можно сопоставить каждому многоугольнику $M$ на плоскости площательное число $S(M)$, его площадь, так, чтобы выполнялись свойства A1—A4. Это верно, но в школьном курсе обычно не доказывается и считается очень динамим. Вместо A4 можно считать основным такое свойство, из которого выводится A4:

A4’. Площад квадрата со стороной 1 равна 1.

Например:

a) Площад параллелограмма равна произведению его основания на высоту;
b) Площад трапеци равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Подумайте, как доказать эти утверждения (то есть вывести из аксиом A1—A4).
Мы начнем с того, что доказем другую формулу для площади трапеци.

1. Площад трапеци равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный на нее из середины другой боковой стороны.

Доказательство. Пусть $ABCD$ — данная трапеция $(AD \parallel BC)$, $K$ — середина стороны $CD$, $KH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AB$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную прямой $AB$. Пусть $M$ и $P$ — точки ее

38

7. Докажите, что площать правильного воспользованного набольшей и наименьшей из его диagonалей.

Указание. Взгляните на рисунок 4.

8. Докажите, что площать многоугольника, описанного около окружности, равна поливне произведения радиуса этой окружности на периметр многоугольника.

В этих задачах можно обойти прием «разрезания и складивания». Заметим, что в принципе этим приемом можно пользоваться всегда, когда нужно доказать равенство площадей двух многоугольников; верна такая теорема: если два многоугольника равновелики, то один из них можно разрезать на части, из которых составляется другой многоугольник.

Эта теорема доказывается не сложно *). Но практически, чтобы установить равенство площадей или найти отношение площадей, вовсе не обязательно «разрезать и складывать». Например, очень быстро убедно сравнить площади двух треугольников, пользоваться формулой, которую мы называли A4. Из нее сразу следует, в частности, также соответствия для площадей:

если вершину треугольника перемещать по прямой, параллельной его основанию, то площать при этом не меняется (рис. 5; треугольники ABC

*) См. книжку В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносставленные фигуры», серия «Популярные лекции по математике», вып. 22, Гостехидат, М., 1956.

и ADB имеют общее основание AB и равные высоты);

если одну из сторон треугольника, прилежащих к данному его углу, увеличить в k раз, то его площать также увеличится в k раз (см. рис. 6; треугольники ABC и ABD имеют общеую высоту AH, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD.$$

Отсюда следует более общее соответствие:

если два треугольника имеют общий угол, то их площади относится как произведение сторон, заключающих угол.

(см. рис. 7; $$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle ABD} = BC / BD,$$
$$S_{\triangle ABD} / S_{\triangle EBD} = AB / EB,$$
$$S_{\triangle ABC} / S_{\triangle EBD} = (AB \cdot BC) / (EB \cdot BD)).$$

В частности, если два треугольника подобыны и стороны одного в k раз больше соответствующих сторон, то площадь первого в $k^2$ раз больше площади другого.

В следующих задачах решение основано как раз на этих соображениях: на сравнению площадей треугольника

39

ников, у которых или одинаковые основания, или одинаковые высоты, или одинаковые углы. Постраайтесь найти самый простой и красивый путь решения!

9. О — точка пересечения отрезков AC и BD (рис. 8). Для того чтобы площади треугольников AOB и DOC были равны, необходимо и достаточно, чтобы прямые BC и AD были параллельны. Доказите!

Чтобы решить эту задачу, нужно доказать два утверждения: (1) если площади треугольников AOB и DOC равны, то прямые BC и AD параллельны; (2) если прямые BC и AD параллельны, то площади треугольников AOB и DOC равны.

10. Доказите, что выпуклый четырехугольник является параллелем моеда и полько моеда, когда каждая из его диагоналей делит его площadb пополам.

И здесь, как в предыдущей задаче, нужно доказать две теоремы: прямую и обратную.

11. В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину A и делящая медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины, пересекаем сторону BC в точке K. Найдите отношение площадей треугольников ABK и ABC.

Указаниее. Проведите через точку M прямую, параллельную AK, и найти с ее помощью отношение отрезков BK и BC.

12. На продолжении стороны BC выпуклою четырехугольника ABCD найдите такую точку O, чтобы площadb четырехугольника ABCD равная площадь треугольника ABO.

Указаниее. Проведите через точку D прямую, параллельную диагонали AC.

Всегда ли задача 12 имеет решение? Всегда ли оно единственное?

Эта задача позволяет превращать любой выпуклый многоугольник в равновеликий с меньшим числом сторон.

13. Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с вершинами основания (рис. 9). Какую часть площади треугольника составляет из частей, на котором еще прямые разрезают треугольник?

14. Дан треугольник ABC. Продолжим его сторону AB за вершину B отрезком BP=AB, сторону AC — за вершину A отрезком AM=CA, сторону BC — за вершину C отрезком KC=BC. Во сколько раз площadb треугольника PKM больше площади треугольника ABC?

Указаниее. Содержите точки M и B, P и C, A и K.

15. Сформируйте аналоциную задачу для четырехугольника и решите ее. Выведите из нее результат задачи 6.

16. На сторонах выпуклою четырехугольника ABCD взяты точки M, P, K, H mak, что AM : MB=3 : 5; BP : PC=1 : 3; CK : KD=4 : 5; DH : НА=1 : 8. Надите отношение площади четырехугольника MBРКDH к площади четырехугольника ABCD. Подумайте, при любых или отношениях AM к MB, BP к PC и mak далее можно решить эту задачу?

Указаниее. Проведите диагональ и воспользоваться A3.

17. В выпуклом четырехугольнике соединены середины сседних сто-