Задачи М126—М130; Ф138—Ф142

42

Задачи

Решения задач из «Задачника Квана» можно присылать не позже, чем через полтора месяц после выхода из печати соответствующего номера журнала. На конверте после адреса журнала укажите, решения каких задач вы посылаете (например, «Задачник Квана» M126, Ф128). В начале письма укажите свою фамилию, имя, отчество, шестизначный индекс и адрес (а также класс и школа, в котором вы учитель). Решение каждой задачи должно быть написано на отдельном листе (листах); в конце каждой решения укажите свою фамилию. Звездочный помечень задачи повышенной трудности.

M126. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Доказите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.

И. Д. Новиков

M127. Для каждой натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовем натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число. (Например, число 117 не особое, поскольку $117=108+s(108)=108+9$, а число 121, как нетрудно убедиться, — особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

M128. Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

M129. a) Введро налили 12 $n$ молока. Как, пользовать лишь сокудами в 5 и 7 $n$, разделить молоко на две равные части?

6. • Решите общую задачу: при каких $a$ и $b$ можно разделить пополам $(a+b)n$ молока, пользовать лишь сокудами в $a$ $n$, $b$ $n$ и $(a+b)n$ ?*.

В. В. Ущаков

M130. Какое наиболее число точек можно разместить
a) на плоскости;
b) * в пространстве, так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

Г. А. Гальперин

Ф138. Космонавт массой 100 кг находится вне космического корабля, масса которого равна 5 $m$, на фале длиной 64 $m$. Найти наяжение фала, если корабль находится между космонавтом и Землей на линии, соединяющей их центры тяжесте.

При расчете считать, что корабль движется по круговой орбите, высота коровой $h$ от поверхности Земли пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Земли ($R=6400$ км).

*) За одно переливание из одного сосуда в другой можно вылить все, что там есть, или долить второй сосуд до верхга.

Ф139. Футболист уdarил по мячу, сообщив ему скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, и попал в ближний нижний уголворот. Если бы футболист уdarил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% больше скорости $v$, то он попал бы в верхиной штангуворот. Найти скорость, с которой начинает двигаться мяч, если высотаворот $h=2\text{ m}$, а угол $\alpha=30^\circ$.

И. Ш. Слободечкий

Ф140. Будет ли давать правильные показания качества других барометра, если часть его трубки (ниже уровня ртути в ней) сделана из очень мягкой резины?

Ф141. Из «черного ящика», содержащого неизвестную электрическую схему, выведены три провода. Два из них соединяют с землей и затем с землей, строя графики для трех возможных вариантов включения схемы. Эти графики показаны на рисунке 1. Ток считается положительным, если он идет к схеме, находящейся в ящике, и отрицательным в противоположном случае. Придумайте простейшие схемы содержимого «черного ящика» и определите их параметры.

Б. Б. Буховцев

Ф142. Стальной шарик, подвешенный на нитке длины $l$, отклонили так, что нить приняла горизонтальное положение, и отпустили. В тот момент, когда нить составляла угол $\alpha-30^\circ$ с вертикалью, шарик ударился о неподвижную стальную плиту (рис. 2). На какую высоту поднимается шарик после удара о плиту, если удар можно считать абсолотно упругим?

Г. Л. Комкин

45

Рис. 1.

прямую $l_1$, чтобы она совпала с $l_2$ ($0^\circ < l_1 < l_2 < 180^\circ$). Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны или совпадают, то, по определению, $\Rightarrow (l_1, l_2) = 0$. Проверьте, что для любых двух данных точек $U$ и $V$ и данного угла $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) множество точек $X$, для которых $\Rightarrow (UX, VX) = \alpha$, будет округленность (строгого говоря, за исключением самих точек $U$ и $V$); других словами, чемые точки $U, V, X_1$ и $X_2$ лежат на одной окружности моеda и молко моеda, коеда $\Rightarrow (UX_1, VX_1) = \Rightarrow (UX_2, VX_2) \neq 0$ (рис. 3, а; сравнение рисунков 3, а и 3, б объясняет преимущества нового способа определения угла).

Вернемся к нашей задаче. Тепер утверждение, что пять точек $C, N, P', S, R'$ лежат на одной окружности (откуда и сле-

Рис. 2.

дует, что $R'$ совпадает с $S$) вытекает из равенств

$\Rightarrow (CS, NS) = \Rightarrow (Q'Q, NQ) =$
$= \Rightarrow (Q'P', NP') = \Rightarrow (CP', NP')$;
$\Rightarrow (CR', P'R') = \Rightarrow (MM', P'M') =$
$= \Rightarrow (MN, P'N) = \Rightarrow (CN, P'N)$.

Эти равенства легко проверить формально, не обращаясь к чертежу — нужно только помнить, какие точки лежат на одной прямой и какие — на одной окружности; кроме теоремы, выделенной выше курсивом, используется, что $Q'Q \parallel MM' \parallel l$. (Конечно, нужно еще разобрать «выраженные» случаи, когда какие-нибудь две точки, определяющие в этих равенств прямую, совпадают; все они довольно очень видны и мы не будем)

Рис. 3. Голубыми линиями показаны множество точек, для которых: а) $(UX, VX) = \alpha$ (левый рисунок) и б) $UXV = \alpha$ (правый рисунок).

Рис. 4. Другая формулировка задачи M84: в результате трех отображений, показанных на рисунке, из точки $X$ получается $Y = f(X)$; если проделать то же самое для точки $Y$, то получится, что $f[Y] = X$.

46

дем на них останавливаться.) Теперь задача полностью решена.

Приведем другую, более естественный формулировку этой задачи (подумайте, почему это та же самая задача!).

Пусть $P$ и $N$ — две различные точки окружности с центром $O$; $A$ — основание перпендикулара, опущенного из точки $O$ на данную прямую $l$, и $f$ — отображение, которое каждой точке $X$ прямой $l$ ставит в соответствие точку $f(X)$ этой же прямой по следующему правилу: если $X'$ — точка пересечения прямой $PX$ с окружностью, $X''$ — точка пересечения прямой $NX'$ с $l$, то $f(X)$ — точка, симметричная $X''$ относительно $A$. тогда отображение $f$ совпадает с обратным к нему, то есть $f(f(X))=X$ для всех $X$ (рис. 4).

Тем, кто знаком с основными понятиями проектной геометрии, мы предлагаем по-proбовать найти простое «проективное» доказательство этой теоремы (заметим, что даже в ее формулировке нужно считать $l$ расширенной прямой, то есть добавить к $l$ бесконечную удаленную точку — тогда отображения, о которых идет речь, будут взаимно однозначны). Для частного случая решения приводится в книге И. М. Яглома «Геометрические преобразования» (ГИТТЛ, 1956 г.; ч. II, задача 177), но оно проходит лишь в том случае, когда прямая $l$ пересекает окружность, и использует формулу «двойных отношений». План другого решения, «без вычислений», приводится на стр. 71 этого номера журнала.

Н. Б. Васильев

M86

Дно прямогольной коробки было выполнено плитками размера $2 \times 2$ и $1 \times 4$. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку $2 \times 2$. Вместо нее удалость плитку $1 \times 4$. Доказите, что теперь выложить до коробки плитками не удасса.

Расчетим до коробки на квадратки размера $1 \times 1$ и отметим те квадратки, которые стоит на нечетных местах в нечетных хряках (см. рис. 5). Заметим, что каждой плитка $1 \times 4$, закрывающая четвере квадратка на дне коробки, будет

Рис. 5

Рис. 6.

Рис. 7.

закрывать обязательно четное число отмещенных нами квадратков (два или ни одного), а плитка $2 \times 2$ всегда закрываетровно один отмещенный квадратик. Таким образом, если плитки целиком закрывают до коробки, то количество плиток $2 \times 2$ имеет ту же четность, что и общее число отмещенных квадратков на дне коробки. Поэтому, если количество плиток $2 \times 2$ изменилось на единицу (или вообще на нечетное число), то вновь заполнить коробку не удасса.

Подумайте, останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток $1 \times 4$ и $2 \times 2$ (рис. 6) рассматривается плитки из трех квадратков: прямогольные $1 \times 3$ и «уголки» (рис. 7). Решение этой задачи вы найдете в конце журнала, на стр. 64, но не спешите туда загладывать!

Правильные решения нашей задачи прислали А. Грицорян и Е. Карасик из Баку, Э. Туркевич из Черновцов, А. Черняк из Минска и А. Шамaeв из Москвы.

Л. Г. Лиманов

M87

Доказите, что если три окружности одинакового радиуса проходят через одну точку, то три других точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности того же радиуса.

Пусть все три окружности радиуса $r$ с центрами $O_1, O_2$ и $O_3$ пересекаются в точке $A$, кроме того, попарно пересекаются в точках $B_1$ ($O_2$ и $O_3$), $B_2$ ($O_3$ и $O_1$) и $B_3$ ($O_1$ и $O_2$). Очевидно, что середины $C_1, C_2, C_3$ отрезков $AB_1, AB_2, AB_3$ являются в то же время серединами отрезков $O_2O_3, O_3O_1, O_1O_2$ соответствующего (рис. 8). Поэтому у каждой из треугольника $B_1B_2B_3$ и $O_1O_2O_3$ стороны соответствующего вдвое больше стороны треугольника $C_1C_2C_3$ (и параллельным им). Следовательно, $\triangle B_1B_2B_3 = \triangle O_1O_2O_3$. Но ясно, что радиус описанной окружности треугольника $O_1O_2O_3$ равен $r$ (действительно,

47

Рис. 8.

Рис. 9.

$$AO_1 = AO_2 = AO_3 = r$$, поэтому и радиус описанной окружности треугольника $B_1B_2B_3$ тоже равен $r$, что и требовалось доказать.

Многие читатели доказали, что треугольники $B_1B_2B_3$ и $O_1O_2O_3$ равны, более сложным способом, при котором приходилось отдельно рассматривать различные случаи взаимного расположения этих треугольников (мы нарочно в нашем решении не ссылались на рисунок, где проведены все упоминаемые там отрезки, чтобы подчернуть, что оно не зависит от их расположения). Решение, совершенное аналогичное нашему, можно получить, рассматривая вместе треугольника

$$C_1C_2C_3$$ треугольник $D_1D_2D_3$, где $D_1, D_2, D_3$ — точки, диаметрально противоположные точки $A$ в окружности $O_1, O_2$ и $O_3$ соответственно; доказите, что $B_1, B_2$ и $B_3$ — середины сторона треугольника $D_1D_2D_3$. В конфигурации, которое мы получили (рис. 9), интересно еще то, что точка $A$ является центром описанной окружности треугольников $O_1O_2O_3$ и $D_1D_2D_3$ и одновременно точкой пересечения высот треугольников $B_1B_2B_3$ и $C_1C_2C_3$; последнее, впрочем, уже не используется в нашем решении.

Любопытно, что Д. Пойя (и у некоторых читателей, приславших нам письма) возникла совсем иная идея решения этой задачи. Отрывок из книги «Matематическое открытие», в котором расссказывается о зарождеении этой идеи, мы публикуем на стр. 67—69.

В. Н. Березин

М88

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$, чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Приведем сразу ответ. Искомое соответствие $c = \frac{ab}{3} - \frac{2}{27} a^3$ (или, что то же самое, один из корней должен равнять $-\frac{a}{3}$). Действительно, пусть $x_1, x_2$ и $x_3$ — корни нашего уравнения. Тогда, по теореме Виета,

$$x_1 + x_2 + x_3 = -a.$$

С другой стороны, для того чтобы $x_1, x_2, x_3$ составляли арифметическую прогрессию, необходимо и достаточно, чтобы

$$x_1 + x_3 = 2x_2.$$

Позному $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_2$, открывая $x_2 = -\frac{a}{3}$. Постраайтесь вывести условия, при которых уравнения четвертой степени образуют арифметическую прогрессию.

Л. И. Московиome

В этом номере мы публикуем задач Ф92—Ф99

Ф92

Обруч массы $m$ стоит на доске массы $M$ (рис. 10). Коэффициент треяня между доской и обручем $k$. Доска лежит на гладком столе. С каким ускорением будет движаться доска, если обруч тянут с силой $F$?

Запишем уравнение движения обручи и доски (уравнение II закона Ньютона).

В горизонтальном направлении на обруч действуют две силы — сила $F$ и сила треяня $F_{TP}$ между доской и обручем (см. рис. 10). Центр тяжестега тела — в данном случае центр обруча — движется так, как если бы к нему были приложены все силы, действующие на тело. Поэтому можно записать, что

$$ma_1 = F - F_{TP}$$

($a_1$ — ускорение центра обруча).

48

Рис. 10.

Обруч не только движется в горизонтальном направлении, но и вращается вокруг центра. Ускорение врашательного движения ему сообщают те же силы $F$ и $F_{TP}$, но в этом случае они действуют «согласованно», раскручивая обруч в одну сторону. Ускорение врашательного движения обруч в системе координат, связанной с его центром*) обозначаем $a_2$. Тогда мы можем записать, что

$$ma_2 = F + F_{TP} \quad (2)$$

Тепер запишем уравнение движения dockи. В горизонтальном направлении на нее действует только одна сила — сила треня обруч о dockу. Поэтому, если ускорение dockи обозначит $a_3$, то

$$Ma_3 = F_{TP}. \quad (3)$$

Итак, мы получили три уравнения, в которых входят четыре неизвестные величины: $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $F_{TP}$. Чтобы найти эти неизвестные, нужно составить еще одно уравнение.

При движении обруч и dockи возникны два случая: 1) обруч не просkalывает относительно dockи и 2) обруч просkalывает относительно dockи.

Рассмотрим первый случай: обруч не просkalывает относительно dockи. В этом случае скорость $v_1$ поступательного движения центра обруч, линейная скорость $v_2$

*) На самом деле система координат, связанная с центром обруч, не инерциальна. Но, рассматривая уравнение обруч, это можно не учитывать, поскольку сила инерции приложена к центру тяжестей обруч, и ее момент относительно центра обруч равен нулю.

**) Уравнение II закона Ньютона для врашающего тела записьается следующим образом:

$$I \varepsilon = (F + F_{TP}) r, \quad (*)$$

где $I$ — момент инерции, $\varepsilon$ — угловое ускорение и $r$ — радиус обруч (см. статью А. К. Киона «Вращательное движение», «Квант» № 1, 1971).

Для обруч $I = mr^2$, $\varepsilon = \frac{a_2}{r}$. Если поставить эти значения в уравнение (*), то и получится уравнение (2).

вращения обруч вокруг центра и скобость $v_3$ dockи связаны со скобостью $v_1$ (рис. 11). Так как дока движется относительно Земли вправа со скобостью $v_3$, то скобость dockи в системе координат, связанной с центром обруч, равна $v_1 - v_3$. С той же скобостью движется и нижняя точка обруч, касающаяся dockи. Это и есть линейная скобость врашения обруч вокруг центра.

Так как силы, действующие на обруч и dockу, поступятны, то постоянны и ускорения $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Пусть скорости $v_1$, $v_2$ и $v_3$ тела прибрегают через время $t$ после начала их движения. Тогда $v_1 = a_1 t$, $v_2 = a_2 t$ и $v_3 = a_3 t$. Следовательно,

$$a_2 t = a_1 t - a_3 t.$$

Отсюда

$$a_2 = a_1 - a_3.$$

Мы получили уравнение, связывающее ускорения тел. Решая теперь совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), находим

$$a_1 = a_2 = \frac{F}{m}$$

и

$$a_3 = 0.$$

У нас получилось, что ускорение dockи равно нулю. Из уравнения (3) ясно, что сила треня тоже равна нулю. Это связано с тем, что если к обручу, стоящему на абсолотно гладкой dockе, приложить силу $F$ так, как показано на рисунке 10, то ускорение поступательного движения обруч будет совпадать с ускорением его врашательного движения. При этом нижняя точка обруч катится по dockе, не просkalывающая. Происходит это потому, что все масса обручосредоточена в его тонком ободе и сила $F$ сообщает обручу одинаковые ускорения поступательного и врашательного движения. Но это

49

означает, что сила треня не зависит от силы $F$ и всегда равна нулю. Поэтому обруч не может просkalывать относительно точки (сила треня не может быть равна $kN$), и второй слуай мы можем не рассматривать.

Ф93

В боковой стенке сосуда, направленного жидкости с показателем преломления $n$, продолжано отверстие небольшого радиуса $r$. По оси отверстия из сосуда горизонтально направляется тонкий луч света. До какого уровня $h$ над отверстием должна быть жидкость, чтобы луч света вышел из струи, ни разу не испытовало внутреннего отражения?

Изменением поперечного сечения струи пребрежь, показатель преломления жидкости считать достаточно большим.

Под наибольшим углом к поверхности воды луч света падает в точке $A$ струп (рис. 12). Угол падения $\alpha$, при котором луч в этой точке не испытовает полного внутреннего отражения, должен быть таким, что

$$\sin \alpha = \frac{1}{n}.$$

Это следует из закона преломления света ($\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{n}$) и условия, что угол $\beta = 90^\circ$. Касательная к струе в точке $A$ составляет угол $\gamma = 90^\circ - \alpha$ с горизонтально. Таким образом, луч света выйдет из струп, ни разу не испытовало внутреннего отражения, если угол, который образует касательная к струе в точке $A$, составляет с горизонтом угол $\gamma$ такой, что cos $\gamma = \frac{1}{n}$.

Но касательная к поверхности жидкости — это касательная к траектории движения частицы, вышедших у верхнего края отверстия. Поэтому направление касательной

$$\cos \gamma = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{4gr}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{\frac{r}{h}}.$$

Выражая теперь cos $\gamma$ через tg $\gamma$ —

$$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + tg^2 \gamma}}$$

и учитывая, что cos $\gamma = \frac{1}{n}$, получим

$$\frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2\frac{r}{h}}}.$$

Отсюда

$$h = 2r/(n^2 - 1).$$

Ф94

Над одной грамм-молекулой идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс), состоящий из двух изходов и двух изобар (рис. 13). Температуры газов в точках 1 и 3 равны $T_1$ и $T_3$ соответственно. Определить работу, совершенную газом за цикл, если извесно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.

Расширясь по изобаре 2—3, газ совершает работу

$$A_1 = P_2 (V_2 - V_1) = P_2 V_2 - P_2 V_1 = RT_3 - RT_2 = R (T_3 - T_2).$$

При скатин газа по изобаре 4—1 работа

*) Это следует также из закона сохранения энергии. Действительно, при вытекании массы воды $\Delta m$ из сосуда с жидкостью потенциальная энергия воды уменьшается на величины $\Delta mgh$ (можно просто считать, что масса воды $\Delta m$ переместилась с поверхностью жидкости к отверстию).

50

Рис. 13.

совершается уже над газом. Она равна
$$A_2 = P_1 (V_2 - V_1) = R (T_4 - T_1).$$
Полная работа, совершенная газом, очень низно, равна
$$A = A_1 - A_2 = (P_2 - P_1) (V_2 - V_1) = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4).$$

Так как точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, то температура газа в них одинаковая. Обозначим ее $T = T_2 = T_4$. тогда $A = R (T_3 + T_1 - T_2 - T_4)$. Точки 3 и 4 лежат на одной изотерме, поэтому $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_3}{T}$. Точки 2 и 1 тоже лежат на одной изотерме и $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T}{T_1}$. Из этих двух уравнений найдем, что
$$T = \sqrt{T_1 T_3}.$$
Следовательно,
$$A = R (T_1 + T_3 - 2 \sqrt{T_1 T_3}).$$

Ф95

Поверхность реки образует наклонную плоскость. Можно ли словоado пльть по реке со скоростью, превышающей скорость течение?

Если тело не перемещается относительно воды, то действующая на него со стороны воды сила треня равна нулю. Поэтому составляющая силы тяжестки, паралельная поверхности воды (рис. 14), будет разогнут тело до тех пор, пока ее не уравновесит сила треня о воду (которая при малых скорости пропорциональна скорости тела). При этом будет пльть со скоростью, больше скорости течение.

Тепер представим себе, что мы, оставив тонкую жесткую невесомую оболочку, убрали тело и налили в оболочку воду так, чтобы ее объем был равен объему погруженной части тела (рис. 15). Поскольку тело плавало, масса налитой воды равна массе тела. Следовательно, оболочка с водой эквивалентна тели, которое мы убрали. Но вода, налитая в оболочку, ничего не отличается от воды в реке. Трене в жидкости связи только с вззостью самой жидкости и не зависит от поверхности тела. Это объясняется тем, что к поверхности тела «приплпает» тонкий слой молекул воды и трене определяется взаимодействием между собой именно молекул воды. Значит, можно совсем убрать оболочку, сила треня от этого не изменится. Получается, что тело должно пльть со скоростью, равной скорости течение.

Что же происходит на самом деле?

Разберемся вначале с тем, что значит «скорость течение». Из-за треня скорость течение реки в различных точках реки различана. Она увеличивается от дня к поверхности и от берега к середине реки. Поэтому неодинакова и скорость течение в том месте, где находится пльушце по реке тела. Эти воды в оболочке отличаются от окружающей воды, ведь скорость воды в оболочке во всех точках одинакова.

Предположим, что скорость тела равна скорости течение у края тела, который находится близке к берегу. Тогда скорость течение воды, проходящей mismo тела в других точках, больше скорости тела. Из-за этого вода должна увлекать тело, увеличивая его скорость. С другой стороны, когда скорость тела возрастет, оно должно тормозиться благодаря тому, что скорость его точки, находящая близке к берегу, больше скорости течение и сила треня превращается в движению тела. В результате тело должно пльть со скоростью, больше минимальной, но меньше максимальной из скоростей течение на протяжении тела.

Ф96

Два одинаковых шарикas связи нитью. Найти высоту подьема этой системы, если один из шариков бросили вверх со скоростью $v$.

Импульс всей системы равен $mv$, а ее масса $2m$. Поэтому в начальной моменте

51

скорость центра масс системы равна $\frac{mv}{2m} = \frac{v}{2}$.

Запишем закон сохранения энергии для всей системы. При этом мы можем рассматривать движение не отдельных шариков, а центра масс системы, считая, что в нем сосредоточена вся масса системы. Если максимальная высота, на которой поднимается центр масс системы, равна $h$, то

$$2mgh = \frac{2m\left(\frac{v}{2}\right)^2}{2}.$$

Отсюда

$$h = \frac{v^2}{8g}.$$

Мы получили много решения этой задачи, однako в большинстве писем была одна и та же ошибка. Авторы решения полагали, что в тот момент, когда центр масс системы достигает максимальной высоты подбема, шарики неодвижны и их кинетическая энергия равна нулю. Это, однako, неверно. Шарики движутся и их кинетическая энергия в этот момент равна

$$\frac{mv^2}{2} - 2m\cdot gh = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{4}.$$

Ф97

Виток изолированного провода изогнут в виде bosмерки, когда которого имеет радиус $r_1=1$ см и $r_2=3$ см. Виток находится в магнитном поле с индукцией $B=10^4$ ec, перpendикулярном плоскости витка. Изоляция провода рассчитана на напряжение 10 в. Произойдет ли пробой изоляции, если магнитное поле резко выключить? Время выключения поля $\Delta t=10^{-3}$ сек.

Виток можно согнуть по-разному, при этом провода могут пересекаться, а могут и не пересекаться между собой. Мы рассмотрим оба случая.

Обозначим через $E_1$ и $E_2$ э. д. с. индукции, наводимые в контурах I и II (рис. 16), а через $R_1$ и $R_2$ — сопротивления этих контуров.

Если проводки контур пересекаются (рис. 16, a), то обходя контур, нетрудно заметить, что э. д. с. $E_1$ и $E_2$ направлены в разные стороны. Поэтому ток, идущий по проводке, равен

$$I = \frac{E_1 - E_2}{R_1 + R_2}.$$

Разность потенциальов между точками $A'$ и $A''$, очевидно, равна разности $E_1$ и па-

Рис. 16.

дения напряжения в контуре II (или же разности $E_2$ и падания напряжения в контуре I; в обихх случае мы должны получить один и тот же результат)

$$U = E_1 - IR_1 = E_1 - \frac{E_1 - E_2}{R_1 + R_2} R_1 = \frac{E_1R_2 + E_2R_1}{R_1 + R_2}.$$

Но

$$E_1 = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{S\Delta B}{\Delta t} = \pi r_1^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t};$$

анаалогично,

$$E_2 = \pi r_2^2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Сопротивления контуров равны

$$R_1 = \rho \cdot 2\pi r_1,$$

$$R_2 = \rho \cdot 2\pi r_2.$$

Отсюда получаем:

$$U = \pi r_1r_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Если проводки контур не пересекаются (рис. 16, б), то э. д. с. $E_1$ и $E_2$ направлены в одну сторону. В этом случае

$$I = \frac{E_1 + E_2}{R_1 + R_2}$$

и

$$U = E_1 - IR_1 = \pi r_1r_2 \frac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2} \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Во втором случае разность потенциальов между точками $A'$ и $A''$ проводки меньше, чем в первом, в $\frac{r_1 - r_2}{r_1 + r_2}$ раз.

Подставляя в формулу (1) численные значения величины, найдем, что $U=1\varepsilon$. Вы-

52

Численная по формуле (2) разность потенциалов еще меньше. Это означает, что изоляция не будет пробита.

Ф98

Какую максимальную разность потенциалов можно получить, имея в своей распоряжении источник с э.д. с.Е и n одинаковых конденсаторов с emкостью C каждой?

Разберем вначале более простой случай с n=2.

Зарядыв оба конденсатора от источника до разности потенциалов E и соединив вместе последовательно источник и оба конденсатора, можно получить разность потенциалов 3E. Однако это не максимальная возможность разность потенциалов. Докажем, что имея два конденсатора и источник, можно получить разность потенциалов, сколько угодно близкую к 4E.

Соединим последовательно источник с одним из конденсаторов, а второй конденсатор замкнем на эту пару: «—» конденсатора соединним с «—» источника, а «+» конденсатора с «+» второго конденсатора (рис. 17). При этом заряд на конденсаторах перераспределяется. Обозначая заряды на конденсатах после перераспределения через q₁ и q₂, а падение напряжения на конденсатах через u₁ и u₂, мы можем записать

$$E + u_1 = u_2.$$ (1)

Суммарный заряд правых пластин конденсатора равен 2CE. Этот заряд перераспределяется между пластинами, но измениться не может. Поэтому

$$q_1 + q_2 = 2CE.$$ (2)

Решая уравнение (1) и (2) совместно, найдем

$$u_2 = \frac{3}{2} E.$$

Снова зарядим конденсатор 1 до разности потенциалов E, соединем ту же схему. Теперь u₂ становится равным $\frac{4}{7} E$.

Повторяя эту операцию много раз, можно зарядить конденсатор 2 до разности потенциалов, сколь угодно близкой к 2E. Соединняя теперь источник и оба конденсатора последовательно, мы и получим раз-

Рис. 17.
52

ность потенциалов, сколько угодно близкую к 4E.

Таким образом, ясно, что имея возможность с помощью двух конденсаторов получить батарею с э.д. с.4E, третий конденсатор можно зарядить уже до разности потенциалов 4E, а затем, соединив последовательно конденсаторов и источник, получить разность потенциалов 8E. До этой разности потенциалов 2E, третий до разности потенциалов 4E и так далее. n-й конденсатор можно зарядить до разности потенциалов 2^{n-1}E. Соединив затем все конденсаторы и источник последовательно, можно получить разность потенциалов

$$E + (E + 2E + 4E + \dots + 2^{n-1}E) = 2^n E.$$

Ф99

На рисунке 18, а показаны V—T диаграммы двух круговых процессов. При каком из них газ совершает большую работу: при процессе 1—2—3—1 или при процессе 1—3—4—1?

Переисутем диаграммы процессов, показанных на рисунке, в координатах P→V.

Точки 1 и 3 лежат на одной изтерме, причем точке 1 соответствует меньший объем, чем точке 3. Поэтому, начертив изтерму, выберем две точки на ней — точки 1 и 3, как показано на рисунке 18, 6. Теперь построить диаграммы циклов несложно. Линия 1—2 — это изобара, причем объем в точке 2 больше, чем объем в точке 1. Линия 2—3 — изохора. На диаграмме P—V она должна быть вертикальна. Точно так же строится и диаграмма второго процесса.

Мы знаем, что работа, совершенная газом за цикл, равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. Но из рисунка видно, что площадь «красного» процесса больше площади «серого» процесса. Это означает, что больше работа газ совершает при процессе 1—2—3—1.