Иррациональность суммы радикалов

26

Напомним, что число называется рациональным, если оно равно $\frac{m}{n}$, где $n$ и $m$ — целые числа, и рациональным в противном случае. Все знают, что число $\sqrt{2}$ irrationalно. Легко доказать и более общее утверждение: если натуральное число $k$ — не полный квадрат, то число $\sqrt{k}$ irrationalно. Заметим, что $k$ можно представить в виде $b^2a$, где $a$ и $b$ — натуральные, причем $a$ не делится на квадрат целого числа (как говорят, «свободно от квадратов»), то есть $a$ равно простому числу или произведению различных простых чисел: $a=p_1p_2...p_r$; $r \ge 1$. Утверждение, что число $\sqrt{k}=b\sqrt{a}$ irrationalно, свойства к следующему: не существует ненулевых целых чисел $b_1$ и $b_2$ таких, что $b_1\sqrt{a}+b_2=0$. Действительно, если такие $b_1$ и $b_2$ существуют, то $b_1^2a=b_2^2$. Но это равенство противоречит теореме о единственности разложения натурального числа на простые множители: в правую часть $p_1$ входит в четной степени, а в левую — в нечетной.

В этой заметке мы доказем, что если $b_1, b_2,..., b_n$ — ненулевые целые числа, $a_1, a_2,..., a_n$ — натуральные числа, свободные от квадратов, то $b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+\dots+b_n\sqrt{a_n} \neq 0$.

Вплоть до $n=4$ это легко доказать от противного, несколько раз возвывания обе части (сгруппированные подхождения образом) в квадрат. В обшем случае мы проведем доказательство индукции по числу различных простых чисел $p_1,..., p_N$, делших хотя бы одно из чисел $a_i$. Как это часто бывают, удобнее доказать по индукции более сильное утверждение (интересное и само по себе):

существуют такие целые числа $c_1, d_1, c_2, d_2,..., c_e, d_e$, что $d_i \neq 0$, $c_i \ge 1$, все простые делители чисел $c_i$ содержатся среди чисел $p_1,..., p_N$ и произведение

$$\left(d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}\right)\times\left(b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}\right)$$

является ненулевым целым числом.

Обозначим $b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}$ через $S$, а исключую сумму $d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}$ через $S'$.

Если $N=1$, то s имеет вид $b_1\sqrt{p_1}+b_2\sqrt{p_2}-b_2$: мы доказали выше, что $SS'=b_1^2p_1-b_2^2 \neq 0$. Предположим теперь, что $N \ge 2$ и что нашей утверждение справедливо для всех меньших значений $N$.

Будем обозначать буквы $S_1, S_2,..., S_8$ суммы вида $\beta_1\sqrt{\alpha_1}+\dots+\beta_m\sqrt{\alpha_m}$, где $\beta_i$- целые числа, $\alpha_i$- свободные от квадратов натуральные числа, все простые делители которых содержатся среди чисел $p_1,..., p_{N-1}; S_1, S_2,..., S_8$, если не оговорено противное, могут равнять нулю.

Сумму $S$ можно записать в виде $S=S_1+S_2\sqrt{p_N}$, где $S_2 \neq 0$. По предположению индукции, существует такая сумма $S_3$, что $f=S_3S_2$- ненулевое целое число. Произведе-