Пирамида и сфера

60

На применных экзаменах в институтах часто встречаются задачи, в которых решить о некоторых расположении сферы (или нескольких сфера) относительно параметры. Решения таких задач основаны, по существу, на следующих трех фактах:

1. если плоскость (или прямая) касается сферы, то рассмотрите от центра сферы до этой плоскости (или прямой) равно радиусу сферы;
2. если сфера касается двух пересекающих плоскостей, то центр сферы лежит в bisсекторной плоскости двумерного уела, образованного эмпириальным плоскостями;
3. если параметра описана вокруг сферы, то

$$V = \frac{1}{3} rS,$$

(1)

еде $r$ — радиус сферы, $V$ и $S$ — объем и полная поверхность параметры.

Эти факты известны каждому аитрипенту из школьного курса математики. Но в математике мало просто знать формулировки теорем — важно понимать эти теоремы и уметь применять их для решения задач.

Как правило, задачи, предлагаемые на вступительных экзаменах, формулируются просто, и большестwo аитрипентов достаточно быстро находят какой-нибудь путь к решению. Но часто выбранный способ оказаться очень сложным и громоздким, требует длинных выкладок. Таким образом, очень трудно получить полную окончательный результат. Для каждой задачи нужно построаться найти как можно более короткое и «изящное» решение.

Иногда и на устном экзамене аитрипенту предлагают не решить задачу, а лишь указывать путь решения, проверяя тем самым, насколько аитрипент ориентируется в данном разделе теории.

В этой статье мы и рассмотрим задачи, в которых использование нескольких геометрических сообщений помогает найти простое и красивое решение.

Задание 1 (МФТИ, 1966). Внутри правильно метраэдра с ребром аитрипента четыре равные сферы так, что каждой сфера касается трех других сфера и трех граней метраэдра. Наименование этих сфера.

Решение. Пусть $ABCD$ — данный tetraэдр, $O$ — центр в него сферы, $r$ — радиус этой сферы; $M, N, K, L$ — центры данных сфера, их радиусы обозначим через $x$.

Тетраэдр $MNKL$ — правильно, так как каждое его ребро равно $2x$. Грани tetraэдра $MNKL$ параллельны грани tetraэдра $ABCD$ (доказите!), а точка $O$ удалена от каждой грани tetraэдра $MNKL$ на расстояние $r-x$. Следовательно, точка $O$ является центром сферы, вписанной в tetraэдр

62

Рис. 3.

Решение. Пусть $P$ и $P_1$ — центры основной данной усеченной парамиды, $DD_1$ — ее апофема (рис. 3). Обозначим стороны основной через $x$ и $y$. Из трапеции $AA_1D_1D$ находится

$$DD_1^2 = b^2 - \frac{1}{4}(x - y)^2.$$

Сфера, описанная в парамиду, касается основной парамиды в точках $P$, $P_1$ и касается апофемы $DD_1$ (доказите!). Следовательно,

$$DD_1 = PD + P_1D_1 = \frac{x + y}{2\sqrt{3}},$$

откуда

$$b^2 - \frac{1}{4}(x - y)^2 = \frac{1}{12}(x + y)^2. \quad (2)$$

В сечении сферы, касающейся всех ребер парамиды, гранью $BB_1C_1C$ получается окружность, описанная в трапецию $BB_1C_1C$. Значит, $BC + B_1C_1 = BB_1 + CC_1$,

$$x + y = 2b. \quad (3)$$

Решая систему уравнения (2) и (3), находим

$$x = b\left(1 + \sqrt{\frac{2}{3}}\right),$$

$$y = b\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right).$$

Задание 5 (МФТИ, 1968). Ценит сферы, описанной около правильной четырехугольной парамиды,

62

Рис. 4.

находимся на расстоянии $a$ от боковой грани $u$ на расстоянии $b$ от бокового ребра. Найти радус сферы.

Решение. Пусть $O$ — центр сферы, описанной около парамиды $SABCD$ (рис. 4), $OS = OA = R$ — радиус этой сферы, $SK$ — высота парамиды. Проведем $SL \perp BC$, $OM \perp SL$, $ON \perp AS$. По условиям задачи $OM = a$, $ON = b$ (доказите!).

Так как $\triangle SOM \sim \triangle SKL$ и $\triangle SON \sim \triangle ASK$, то

$$\frac{a}{\sqrt{R^2 - a^2}} = \frac{KL}{SK},$$

$$\frac{b}{\sqrt{R^2 - b^2}} = \frac{AK}{SK} = \frac{\sqrt{2}KL}{SK}.$$

Отсюда находим

$$\frac{b}{\sqrt{R^2 - b^2}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{R^2 - a^2}},$$

$$R = \frac{ab}{\sqrt{2a^2 - b^2}}.$$

Задание 6 (МФТИ, 1971). В правильной треугольной парамиде $ABCD$ сторона основания $ABC$ равна $b$, а высота парамиды равна $b\sqrt{2}$. Сфера, описанная в парамиду, касается грани $ACD$ в точке $K$. Найти площадь сечения парамиды плоскостью, проходящей через точку $K$ и ребро $AB$.

Решение. Пусть $DO$ — высота парамиды (рис. 5). Точка $K$ лежит на

64

чаем $EL^2 = KL^2 + KE^2 = a^2 + \frac{1}{3} y^2 + z^2 - ay - az$.

Теперь из прямогольного треугольника $EFL$ находим $EF^2 = FL^2 + EL^2$, то есть
$$x^2 = a^2 - y(a - y) - z(a - z).$$

Последнее соответствие само по себе достаточно интересно и может быть использовано при решении других задач.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $EF$ и $CD$. Эта плоскость пересекает описанную около треугольника сферу по окружности, которая указана на рисунке 6. Для этой окружности отрезки $MN$ и $CD$ являются хордами, пересекающими в точке $F$. Следовательно,
$$CF \cdot DF = MF \cdot NF$$
(доказите!), то есть
$$y(a - y) = \frac{5}{12} x^2.$$

Аналогично, из равенства
$$AE \cdot BE = ME \cdot NE$$
получаем
$$z(a - z) = \frac{1}{3} x^2.$$

Из соответствия (4), (5) и (6) находим
$$x^2 = a^2 - \frac{5}{12} x^2 - \frac{1}{3} x^2, \quad x = \frac{2a}{\sqrt{7}}.$$

Упражнения

1. (МФТИ, 1966). Ребро правильного треугольра $ABCD$ равно $a$. На ребре $AB$ как на диаметре построена сфера. Найти радиус сферы, вписанной в треугольный угол треугольра с вершиной в точке $A$ и касающейся построенной сферы.

2. (МФТИ, 1966). Внутри правильного треугольной парамиде $SABC$ сторона основания равна $a$, высота парамиде равна $a\sqrt{3}$. Точки $M, N$ и $K$ являются серединами соответствующего боковых ребер $AS, BS$ и $CS$. Найти радиус сферы, касающейся основания парамиде и прямых $AK, CN$ и $BM$.

3. (МФТИ, 1967). В правильной треугольной парамиде вписанная сфера проходит через центр описанной. Во сколько раз радиус описанной сферы больше радиуса описанной?

4. (МФТИ, 1968). Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную парамиде, находится на расстоянии $\sqrt{2}cm$ от бокового ребра и на расстоянии $\sqrt{5}cm$ от стороны основания. Найти радиус шара.

5. (МФТИ, 1968). Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную парамиде, находится на расстоянии $\sqrt{2}cm$ от бокового ребра и на расстоянии $\sqrt{5}cm$ от стороны основания. Найти радиус шара.

6. (МФТИ, 1969). Ребро правильного треугольра $ABCD$ равно $a$. Найти радиус сферы, проходящий через вершины $A, B$, середину ребра $CD$ и центр грани $ABC$.

7. (МФТИ, 1971). В правильной четырехугольной парамиде $SABC$ сторона основания $ABCD$ равна $b$, а высота парамиде равна $b\sqrt{2}$. Сфера, вписанная в эту парамиде, касается боковой грани $SAD$ в точке $K$. Найти площадь сечения парамиде плоскостью, проходящей через точку $K$ и ребро $AB$.

К задание M86.

Утверждение становится неверным. На левом рисунке четырехуголька, а на правом — пять.