Sự vô tỷ của tổng các căn thức

26

Hãy nhớ rằng một số được gọi là số hữu tỉ nếu nó bằng $\frac{m}{n}$, trong đó $n$ và $m$ là số nguyên và ngược lại là số hữu tỉ. Mọi người đều biết rằng số $\sqrt{2}$ là số vô tỉ. Thật dễ dàng để chứng minh một phát biểu tổng quát hơn: nếu số tự nhiên $k$ không phải là số chính phương thì số $\sqrt{k}$ là số vô tỷ. Lưu ý rằng $k$ có thể được biểu thị dưới dạng $b^2a$, trong đó $a$ và $b$ là các số tự nhiên và $a$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên (như người ta nói, “không có hình vuông”), tức là $a$ bằng một số nguyên tố hoặc tích của các số nguyên tố khác nhau: $a=p_1p_2...p_r$; $r \ge 1$. Phát biểu rằng số $\sqrt{k}=b\sqrt{a}$ là số vô tỉ có tính chất sau: không có số nguyên nào khác 0 $b_1$ và $b_2$ sao cho $b_1\sqrt{a}+b_2=0$. Thật vậy, nếu $b_1$ và $b_2$ tồn tại, thì $b_1^2a=b_2^2$. Nhưng đẳng thức này mâu thuẫn với định lý về tính duy nhất của việc phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố: $p_1$ đi vào vế phải ở mức chẵn và vế trái ở mức lẻ.

Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng nếu $b_1, b_2,..., b_n$ là số nguyên khác 0, $a_1, a_2,..., a_n$ là số tự nhiên không có bình phương, thì $b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+\dots+b_n\sqrt{a_n} \neq 0$.

Lên đến $n=4$ điều này dễ dàng được chứng minh bằng phản chứng bằng cách nâng cả hai phần (các cách tiếp cận được nhóm theo cách) thành một hình vuông nhiều lần. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh quy nạp về số số nguyên tố phân biệt $p_1,..., p_N$ tạo nên ít nhất một trong các số $a_i$. Như thường lệ, sẽ thuận tiện hơn khi chứng minh bằng quy nạp một mệnh đề mạnh hơn (bản thân nó thú vị):

có các số nguyên $c_1, d_1, c_2, d_2,..., c_e, d_e$ sao cho $d_i \neq 0$, $c_i \ge 1$, tất cả các ước nguyên tố của các số $c_i$ đều nằm trong các số $p_1,..., p_N$ và tích

$$\left(d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}\right)\times\left(b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}\right)$$

là một số nguyên khác 0.

Chúng ta hãy biểu thị $b_1\sqrt{a_1}+\dots+b_n\sqrt{a_n}$ bằng $S$ và loại bỏ tổng $d_1\sqrt{c_1}+\dots+d_e\sqrt{c_e}$ bằng $S'$.

Nếu $N=1$ thì s có dạng $b_1\sqrt{p_1}+b_2\sqrt{p_2}-b_2$: ở trên chúng ta đã chứng minh rằng $SS'=b_1^2p_1-b_2^2 \neq 0$. Bây giờ chúng ta giả sử rằng $N \ge 2$ và tuyên bố của chúng tôi hợp lệ với tất cả các giá trị nhỏ hơn của $N$.

Chúng ta sẽ biểu thị bằng các chữ cái $S_1, S_2,..., S_8$ tổng có dạng $\beta_1\sqrt{\alpha_1}+\dots+\beta_m\sqrt{\alpha_m}$, trong đó $\beta_i$ là số nguyên, $\alpha_i$ là các số tự nhiên không vuông góc, tất cả các ước nguyên tố của chúng đều nằm trong số $p_1,..., p_{N-1}; S_1, S_2,..., S_8$, trừ khi có quy định khác, có thể bằng 0.

Tổng $S$ có thể được viết là $S=S_1+S_2\sqrt{p_N}$, trong đó $S_2 \neq 0$. Theo giả thuyết quy nạp, tồn tại một tổng $S_3$ sao cho $f=S_3S_2$ là số nguyên khác 0. sản xuất