Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

43

Tùy chọn 1

1. Còn lại ba số lượng $A$, số lượng đầu tiên trong một giờ làm việc của những người khác bắt đầu cùng lúc. Tốc độ của mỗi vận tốc là không đổi. Sau một thời gian, người thứ ba đuổi kịp người thứ nhất, người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất muộn hơn người thứ ba hai giờ. Xác định tỉ số vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ ba, biết tỉ số vận tốc của xe thứ hai và xe thứ ba là 2/3.

2. Giải phương trình:
   $$tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.$$

3. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ chia đường trung tuyến $BM$ thành ba phần bằng nhau. Tìm tỉ số $BC:CA:AB$.

4. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} y^2 - xy + x^2 = z^2, \\ x^2 - xz + z^2 = y^2, \\ z^3 - y^3 = x^2 + y^2 + z^2. \end{cases}$$

5. Cho một tham số tam giác đều $SABC$ ($S$ là đỉnh). Cạnh $SC$ của paramid này trùng với cạnh bên của đặc điểm tam giác bên phải $A_1B_1CA_2B_2S$ ($A_1A_2, B_1B_2$ và $CS$ là các cạnh bên; $A_1B_1C$ là một trong các đáy). Các đỉnh $A_1$ và $B_1$ nằm trong mặt phẳng $SAB$ của paramid. Trong thể tích của toàn bộ paramida, thể tích của phần của nó nằm bên trong paramida là bao nhiêu, nếu tỷ lệ giữa chiều dài cạnh bên của paramida và chiều dài cạnh của đế paramida bằng $2/\sqrt{3}$?

Tùy chọn 2

1. Nếu một số có hai chữ số được chia cho tích các chữ số của nó thì phần đó sẽ là 3 và phần dư sẽ là 9. Nếu lấy tích các chữ số của nó trừ đi bình phương tổng các chữ số của số này thì sẽ thu được số đã cho. Tìm số này.

2. Giải phương trình:
   $$\sin x + \sqrt{1 + \sin 2x} - \cos x = \frac{1}{2}.$$

3. Trong tam giác $ABC$, ở cạnh $AC$, điểm $M$ được lấy và ở cạnh $BC$, điểm $N$. Các đoạn $AN$ và $BM$ cắt nhau tại điểm $O$. Tìm diện tích tam giác $CMN$ nếu diện tích tam giác $OMA, OAB$ và $OBN$ lần lượt bằng $S_1, S_2, S_3$.

4. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} y + z = 2x, \\ y^2 + 3z^2 = 28x^2, \\ y^3 + 8z^3 = (y - 4x)(1 - 4z + 7xy). \end{cases}$$

5. Ở đáy của paramid $SABC$ là một hình tam giác đều $ABC$ và tất cả các mặt bên có diện tích bằng nhau. Cạnh $SA$ bằng 2 cm, cạnh $SB$ bằng $\sqrt{2}$ cm. Một phần của paramid được vẽ qua đỉnh $B$ vuông góc với cạnh $SC$. Tìm diện tích của phần này.

Viện Kỹ thuật Vô tuyến, Điện tử và Tự động hóa Moscow

Tùy chọn 1

1. Giải hệ phương trình:
   $$\begin{cases} \sqrt{3}x + \sqrt{3}y = 3, \\ x + y = 9. \end{cases}$$

2. Giải phương trình:
   $$\frac{\log_2 x - 1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 2 \log_2 \sqrt{x} + \log_2^2 x = 3.$$

3. Tìm phương trình lời giải:
   $$tg\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) - 3 tg^2 x = (\cos 2x - 1) \sec^2 x,$$
   thỏa mãn điều kiện $x > 3$.

4. Về các góc của tam giác $ABC$ người ta biết rằng $tg A : tg B : tg C = 1 : 2 : 3$. Tìm tỉ số các sin của các góc này.

5. Chứng minh rằng đa thức $x^8 - x^5 + x^2 - x + 1$ dương với mọi số thực $x$.