Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

43

Вариант 1

1. Из пункта $A$ выехали три величины, первый на один час работы других других, стартовавших одновременно. Скорость каждого велинипаются постояна. Через некоторое время третий велинипадает догнал первого, а второй догнал первого на два часа позже, чем третий. Определить отношение скоростей первого и третьего велинипаственных, если отношение скорости второго к скорости третьего равно 2/3.

2. Решить уравнение:
   $$tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.$$

3. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, делит медиану $BM$ на три равные части. Найти отношение $BC:CA:AB$.

4. Найти все решения системы уравнений:
   $$\begin{cases} y^2 - xy + x^2 = z^2, \\ x^2 - xz + z^2 = y^2, \\ z^3 - y^3 = x^2 + y^2 + z^2. \end{cases}$$

5. Дана правильная треугольная парамида $SABC$ ($S$ – вершина). Ребро $SC$ этой парамиды совпадает с боковым ребром правлиной треугольной признамы $A_1B_1CA_2B_2S$ ($A_1A_2, B_1B_2$ и $CS$ – боковые ребра; $A_1B_1C$ – одно из оснований). Вершины признамы $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости грани $SAB$ парамиды. Какую должно от объема всей парамиды составлять объем ее части, лежащей внутри признамы, если отношение длины бокового ребра параметы к длине стороны основания параметы равно $2/\sqrt{3}$?

Вариант 2

1. Если двухначное число разделить на произведение его цифр, то в частином получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данные число. Найти это число.

2. Решить уравнение:
   $$\sin x + \sqrt{1 + \sin 2x} - \cos x = \frac{1}{2}.$$

3. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $M$, а на стороне $BC$ — точка $N$. Отрезки $AN$ и $BM$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $CMN$, если площадь треугольников $OMA, OAB$ и $OBN$ равны $S_1, S_2, S_3$ соответственно.

4. Найти все решения системы уравнений:
   $$\begin{cases} y + z = 2x, \\ y^2 + 3z^2 = 28x^2, \\ y^3 + 8z^3 = (y - 4x)(1 - 4z + 7xy). \end{cases}$$

5. В основании парамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$, а все боковые грани имеют равные площади. Ребро $SA$ равно 2 см, ребро $SB$ равно $\sqrt{2}$ см. Через вершину $B$ перpendикулярно к ребру $SC$ проведено сечение парамиды. Найти площадь этого сечения.

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

Вариант 1

1. Решить систему уравнений:
   $$\begin{cases} \sqrt{3}x + \sqrt{3}y = 3, \\ x + y = 9. \end{cases}$$

2. Решить уравнение:
   $$\frac{\log_2 x - 1}{\log_2 \frac{x}{2}} - 2 \log_2 \sqrt{x} + \log_2^2 x = 3.$$

3. Найти решение уравнения:
   $$tg\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) - 3 tg^2 x = (\cos 2x - 1) \sec^2 x,$$
   удовлетворяющие условия $x > 3$.

4. Про углы треугольника $ABC$ известно, что $tg A : tg B : tg C = 1 : 2 : 3$. Найти отношение синусов этих углов.

5. Доказать, что многочлен $x^8 - x^5 + x^2 - x + 1$ положитель при всех вещественных $x$.