52
Очевидец рассказывает о целой полке в книжном шкафу Эйштейна, «забитой математическими забавами и головоломками». «Нетрудно понять интерес, который все эти великие умы питали к математической игре, но творческое мышление, нахождение для себя нагруду в столь тривильно задачках, сродни тому типы мышления, который приводит к математическому и вообще научному открытию. В конце концов, что такое математика, как не систематическое попытки найти все лучшие и лучшие ответы на те головоломки, которые ставит перед нами природа?».
При всем том, будучи популярной, книга Гарднера не для легкого чтения. Очень часто он приводит ответы на вопросы, которые могли в свое время заинтересовать читателя, и остались тогда нерешенными. Вот, скажем, игра в крестики и полники. Кто в нее не играл?
Впрочем, не будем пересказывать эту книгу, вы, верятно, уже согласны с тем, что ее необходимо прочитать. В заключение приведем несколько фрагмент из этой книги.
«Кто из нас в детстве не играл в крестики и полники? Любой мальчишка за час может стать необедным чемпionом. В то же время игра в крестики и полники имеет и более сложные разновидности и более глубокую стратегию.
На языке теории игре крестики и полники можно назвать конечной (то есть догрываемой до конца за конечное число ходов) строго детermинированной (то есть не содержащей элемент случайности) игрой двух сторон с полной информацией. Последнее ознакомлено все сделанные ходы. Если обсторонь играют «рационально», игра должна закончиться в том, чтобы заманить неосторожного противника в ловушку, заготовив для сле-
52
Рис. 1.
душшего своего хода два почти готовых ряда (противник может помещать достроить лишь один ряд).
Из трех возможных начальных ходов — в угол, в центр и в боковую клетку — самым сильным является ход в угол, так как при этом противник, чтобы не попасть с самого начала в ловушку, из восьми оставшихся клеток может выбрать только одну центральную. Наоборот, если первый ход сделан в центр, то блокировать его можно, лишь заняв угол. Наболее интересная партняя получается только в том случае, когда первый игрок, открывая игру, занимает одну из боковых клеток: при таком нашее перед обеми сторонами открывается шрикокиевозможности в постановке ловушек. При первых хода и ответы на них второго игрока, действующего осмотрително, показаны на рисунке 1.
За много веков до нашей эры были известны гордзо более интересные с математической точки зрения варианты крестиков и полники, чем тот, в котором принято играть в нашей время. Во всех этих вариантах для игры нужно взять шесть фишек, по три у каждой игрока (у одного, например, три трехопеченные монеты, а у другого три пятака),
Рис. 2.
и доску, изображенную на рисунке 2.
В древнем Китае, Греции и Риме был получрен самый простой варниант игры, когда играющее по очереди выступают на dockу фишки и делают это до тех пор, пока не выступят все шесть фишек. Если ни одному игрок не удается поставить три монеты в ряд и выиграть, то игра продолжается. Каждый из противников передвигает по очереди одну из своих фишек на соседнюю клетку. Передвигать фишки можно только по вертикали и горизонтиали.
Поскольку игрок, начинаная с центра, наверняка выигравает, то такое начало не скупит ничего интересного и обьчно им не пользовается. Это ограничение при разноональной тактике приводит к ничей, но обе стороны могут поставить противнику уйму потенциальных ловушек.
Я знаю многохлопателей крестиков и полники, которые ошибочно полагают, что самое главное — это научиться неизменно выиграть, и считают, что они уже поставили все тайны этой игры. Истинный же мастер игрок в крестики и полники должен использовать маленьшее применение, возникшее для него ситuationх. Следующее при примера помогут читатель уяснить сказанное. Первые ход во всех трех партии делается на одну из клеток 2, 6, 8 и 4.
Если вы начинаете с хода×8, а противник ответает вам ходом ◡2, то вторым ходом вам лучше всего по тейвертую клетку (×4). Этот ход приводит к выиграшу в четырех из шести возможных ответных ходов противника. Помещать вам выиграть противник может лишь ходом ◡7 или ◡9. Если противник сначала пошел×8, а вы ответным ходом занял одну из нижних угловых клеток, например, ◡9, то вы еще можете надеться на победу: противнику достаточно совершить любой из ходов ×2, ×4 или ×7.
53
Рис. 3.
Если противник делает первый ход ×8, то ответный ход ⊙5 может привести к интерсному развитию партии: если противник вторым ходом занмает клетку 2(×2), то вы можете даже поволить ему выбрать за вас ту клетку, который вы займете при следующем ходе. При любом вашем ходе выигрыш вам обеспечен.
В нашей дни редко кому удается придумат математическую игру, которая была бы одновременно и новой, и интересной. Именно такой оригинальной и увлекательной является игра в гекс, впервые появившаяся лет пятнадцать назад в Институте теоретической физики Нильса Бора в Копенгагене. Гекс вполне может стать одной из наиболее популярных и наиболее полно исследованных математических игр нашего века.
В гекс играют на доске, имеющей форму ромба, составленного из шестиугольников (рис. 3). Число шестиугольников может быть разным, но обычно предпочитают играть на доске, вдоль стороны которой укладывается одинаковый шестиугольник. Две противоположные стороны ромба называются «черными», две другие «белыми». Шестугольники, находящиеся в углах ромба, относятся к обеим сторонам. Один игрок играет черными фишками, второй белыми. Играющие по очереди ставят фишку на любой шестиугольник, еще не занятый другой фишкой. Цель «черных» состоит в том, чтобы пострить цель из черных фишек между двумя «черными» сторонами. «Белые» стремятся пострить цель из белых фишек между «белыми» сторонами.
Цель может как углоно изгибаться, поворачивать. Фишки ставят до тех пор, пока кто-нибудь из игроков не выступит своего цель. На рисунке 3, например, видно, как победили «черные». Играникогда не кончается вничью, потому что один из участников может запереть другого только пострив своего цель. Хотя правила гекс очень просты, тем не менее он оказывается удивительно тонкой математической игрой.
Придумал гекс датчання Пит Хейн. В молодости Хейн проводел несколько лет в Институте теоретической физики, а затем, сделав несколько технических изображений, стал работать в промышленности. Так продолжалось до 1940 года, до вторжения немцев в Дании. Во время оккупации Хейн дважды уходил в подполе — он был председателем антинационского демократического союза, распущенного с приходом наистов.
Идея игры в гекс пришла Хейну в голову, когда он размышлял над знаменютой топологической проблемой четырех красок. Вскоре правила игры были опубликованы в газете «Политикен» и гекс стал необъящной популярен в Дании под названем «Многоугольник».
Читательям, которые захочется пограть в гекс, следует заранее заготовить листки с начерченными на них досками. Ходы можно отмечать крестиками и кружками. Если вам больше нравится передвигать фишки на «настоящей» доске, можно нарисовать большую доску на листе толстого картона или сложить ее из шестиугольных керамических плиток. Если плитки достаточно большие, то играть можно обчистыми шашками.
Чтобы понять все тонкости игры в гекс, лучше воспользоваться игровым полем, состоящим из небольшего числа шестиугольников. На доске 2×2 (четыре шестиугольника) всегда выигравает тот, кто делает перный ход. На доске 3×3 легко выиграть, если перый ход сделать в центр доски (рис. 4). «Черные» могут поити думя развитиями способами, заняв любой из двух шестиугольников,
54
расположенных по обе стороны от центра, и поэтому на третьем ходу обязательно выгрывают.
На доске 4×4 все горздо сложнее. Начинающий игру выгрывает наерняка лишь в том случае, если он сразу же занimaет одну из четырех пропумеровных клеток (рис. 5). Сделав первый ход на любую другую клетку, он непреемно проиграет. Начав игру с клеток 2 или 3, первый игрок одержит победу на пятом ходу; начав с клеток 1 или 4 — на шестом.
Для доски 5×5 еще можно доказать, что если первый игрок сразу же занimaет центральную клетку, то он может выгрыть на седьмом ходу. Для доок большого размера анализ становится сликом сложным. Стандартная доска 11×11 тайит в себе астрономическое число условий, и полный анализ игры в гекс на такой доске находится за пределами человека всех печей.
Специалисты по теории игру считают гекс особенно интересной игрой. Действительно, для игры на стандартной доске не известно, какой тактики необходимо придерживать, чтобы наерняка обеспечить победу. Однако доказательством от противного можно довольно изящно показать, что для первого игрок всегда существует выгрышная стратегия на доске любого размера.
В заключение приведем еще две задачи
В трехэтажном доме проведена скрытая проводка. Наружу провода выходят только в двух местах: на третьем этаже и в подвале. В том и другом случае вывод представляется собой пучок из 11 абсцилтоно одинаковых проводов. Какой конец провода в верхнем выводе соответствует тому или иному концу провода в нижнем выводе, неизвестно. Именно это и должен был установлен мистер.
Чтобы выполнить свою задачу, он может сделать две вещи:
-
закоротить любые провода вверх или внизу, скрутив их концы;
-
отыскать замкнутый контур с помощью специального тестера, состоящего из батарейки и звонка.
Не желая попадаету бегать вверх и вниз по лестнице, электроник, увлекательнойся к тому же исследованием операции, усеся на ступенке с карандашом и бумагой и вскоре придумал наболее эффективный способ решения задачи.
В чем состоит его метод?
Одна из самых старых топологических головоломок, известных любому школьнику, состоит в вычерчивании непрерывной линии, пересекающей по одному разу все 16 звеньев замкнутой сети прямолинейных отрезков, изобразенных на рисунке 6. Кривая, проведенная на этом рисунке, не может служить решением головоломки, потому что не пересекает одного звена сети.
При построении решения использовать какие-нибудь трики — проводить кривую через вершины сети, вдоль ее звеньев, складывать лист бумаги и т. д., — нельзя.
Нетрудно доказать, что на плоскости эта головоломка решения не имеет. Возникают два вопроса: можно ли решить ее на сфере? Существует ли решение на поверхности тора?
В. Н. Березин,
М. Л. Смолянский