Законы идеальных газов

45

Какими величины можно охарактеризовать состояние идеального газа?

Считая, что нам известен химический состав газа и его масса, мы для описания его состояние можно воспользоваться такими параметрами, как объем $V$, занимаемый газом, давление $P$, температура $T$ газа. Связь между этим параметрами идеальных газов отражает основных закона: закон Бойля — Мариотта, закон Гей-Люссака, закон Шарля и закон Клапейрона — Мендлеева. Получясь уравнениями, описывающими эти законы, можно практически решать любые задачи, в которых нас интересует физическое состояние идеального газа.

Закон Бойля — Мариотта

$$PV = \text{const.}$$

(1)

Это соответствие между давлением и объемом газа впервые было установлено английским физиком Бойлем в 1662 году. В 1676 году независимо от Бойля французский физик Мариотт установил такую же зависимость между давлением и объемом газа. Равенство (I), выражающей закон Бойля — Мариотта, выполняется только при определенных условиях: температура газа остается неизменной, масса его постоянна и химический состав газа не меняется. Кроме того, температура должна быть не слишком низка, а давление не слишком велико.

Различные состояния газа при одной и той же температуре можно изобразить на графике (так называемый $P-V$-диаграмме) точками. Геометрическое место таких точек — гипербола (это видно и из соответствия (I)).

Ее можно рассматривать и как график процесса, проискодящого при постоянном температуре — так называемого изотермического процесса (рис. 1). Кривую, описывающую изотермический процесс, называют изотермиой.

Здесяв важно помнить, что, поставив точку на графике, мы тем самым полностью определяем состояние газа: его давление, объем и температуру. А это означает, что газ находится в каждой моменте в состоянии равновесия (термодиапазон равновесия). Следовательно, все процессы, описываемые уравнениями и изобраяемые на графиках, предополагаются протекающим очень медленно или, как говоря, квазистатически.

Рассмотрим пример типичной задачи на применение закона Бойля — Мариотта.

Задание. Посредние узкой, запаянной с общих концов горизонтальной трубки (рис. 2) находится стольник ртути длиной $h=25$ см. Ртуть разделяет в трубке два столба воздуха длиной $l_0=1$ м каждый. Давление воздуха $P_0=76$ см·cm., температура остается постоянной. На какое расстояние $x$ переместится стольник ртути, если трубку поставить вертикально?

Рис. 1.

46

Рис. 2.

Решение и е. Расстояние отдельно два стольника воздействно в стоящей вертикальной трубке и применим закон Бойля — Мариотта к каждому из них (плошадь сечения трубки S):

$$P_0 l_0 S = P_1 (l_0 + x) S,$$
$$P_0 l_0 S = P_2 (l_0 - x) S.$$

Из условия механического равновесия стольника трубки следует, что при вертикальном положении трубки давление в нижнем столбце воздействно

$$P_2 = P_1 + \rho gh$$

(ρ — плотность ртути). Подставив это значение $P_2$ в (2), получим квадратное уравнение, решив которое, найдем, что

$$x = \left( -\frac{P_0}{\rho g} + \sqrt{\left(\frac{P_0}{\rho g}\right)^2 + h^2} \right) \times \frac{l_0}{h} \approx 16 \text{ (cm)}$$

(отрицательное значение корня не имеет смысла).

Интересно отмечить, что при вычислении неизвестного $x$ нам не нужны сведения о плотности ртути $\rho$, а также о соответствии между единицами давления. Дело в том, что по определению давления $P$, которое создает 1 cm pm. cm., равно $P = \rho g \cdot 1$ cm.

Следовательно, $\frac{P}{\rho g} = 76$ cm без каких-либо дополнительных пересечетов.

Итак, состояние газа с одинаковой температурой отвечает на диаграмме $P$ — $V$ определенная изотерма. Другой постоянной температуре соответствует другая изотерма. Как она расположена по отношению к первой?

Ответить на этот вопрос, основываясь на одном только законе Бойля — Мариотта, невозможно. Необходимо знать еще одну из зависимостей: либо $V(t)$, либо $P(t)$.

Зависимость объема $V$ газа от температуры при неизменном давлении исследовал французский ученый Гей-Люссак. В 1802 году он опубликовал закон изобарического ($P = \text{const}$) расширения газов.

Согласно закону Гей-Люссака при постоянном давлении, постоянной массе и неизменном химическом составе газа его объем $V$ при температуре $t$ (по шкале Цельсия) равен

$$V = V_0 + \beta V_0 t,$$

или

$$V = V_0 (1 + \beta t),$$

(II)

где $V_0$ — объем, который занимал газ при $0^\circ\text{C}$. Ольтным путем было найдено, что

$$\beta = \frac{1}{273} \varepsilon \rho \delta^{-1}.$$

Таким образом, при повышении температуры газа на один градус объем его возрастает на одну и ту же величины, равную $\frac{V_0}{273}$. Следовательно, график закона Гей-Люссака, то есть график зависимости $V$ от $t$ при постоянном давлении (изобара) — пряма линия. Учитывая это, можно без вычисления решать задачи, аналогичные следующей.

Задание a. При нагревании газа от температуры $t^\circ\text{C}$ до температуры $(t+1)^\circ\text{C}$ при неизменном давлении объем газа увеличивается на $\frac{1}{300}$ первооначального, то есть на $\frac{1}{300} V_t$. При каких условиях это может быть?

Решение и е. При нагревании от $0^\circ\text{C}$ до $1^\circ\text{C}$ объем газа увеличивается на $\frac{1}{273} V_0$, то есть на $\frac{1}{273}$ первооначального, и становится равным

$$V_1 = V_0 + \frac{1}{273} V_0 = \frac{274}{273} V_0.$$

При нагревании от $1^\circ\text{C}$ до $2^\circ\text{C}$ объем снова увеличивается на ту же величины $\frac{1}{273} V_0$, что составляет уже

47

$\frac{1}{274}$ часть объема $V_1$. При нагревании от $2^\circ$ С до $3^\circ$ С объем возратает на $\frac{1}{275} V_2$, от $3^\circ$ С до $4^\circ$ С—на $\frac{1}{276} V_3$ и т. д. (рис. 3). Вообще при нагревании от $t^\circ$ С до $(t+1)^\circ$ С объем возратает на $\frac{1}{273+t}$ первогочального. Отсюда следует, что нагревание произвольность от $27^\circ$ до $28^\circ$ С.

Рассмотрим еще такую задачу.

Задание. При температуре $t_1=25^\circ$ С газ занимает объем $V_1=1,5$ л. Какой объем $V_2$ будет занимать газ, если нагреть его до $t^2=125^\circ$ С при неизменном давлении?

Решение. Объемы $V_1$ и $V_2$ связаны с объемом газа при $0^\circ$ С соответствиями

$$V_1 = V_0(1 + \beta t_1), \quad V_2 = V_0(1 + \beta t_2).$$

Отсюда

$$V_2 = \frac{1 + \beta t_2}{1 + \beta t_1} V_1 = \frac{\frac{1}{\beta} + t_2}{\frac{1}{\beta} + t_1} V_1 = \frac{273 + t_2}{273 + t_1} V_1 \approx 2(\lambda).$$

Решения обихах задач показывают, что удобно перейти к другой шкале температур (шкале Кельвина), нуль которого (абсолютный нуль) лежит ниже шкалы Цельсия на $273^\circ$. Поскольку именно в этой точке пересекаются продолжения всех изобар

Рис. 3.

Рис. 4.

48

На графике зависимости $P(t)$ при $V=\text{const}$ закон Шарля выражается прямыми линями (изохорами), пересекающими ось $t$ в точке $t=-273^\circ\text{C}$. Перейдя к абсолотной шкале температур, мы получим простую форму записи закона Шарля:

$$\frac{P}{T}=\text{const}$$

Эта зависимость легко получается из законов Бойля — Мариотта и Гей-Люссака с помощью двух переходов $V \rightarrow V'$ при $T_1=\text{const}$ и $T_1 \rightarrow T_2$ при $P_2=\text{const}$ (рис. 5).

Всякий реализный газ подчиняется упомянутым газовым законом лишь приближенно. Полягая, что эти законо

Рис. 5.

Рис. 6.

ны выполняются точно, мы считаем газ идеальным. В данной стране идет только о таких газах.

Приведем пример задачи на закон Шарля. Манометр на баллоне с кислородом показывает $P_1=95\text{ am}$ в помещении с температурой $t_1=17^\circ\text{C}$. Баллон вынесли в сарай, где при температуре $t_2=-13^\circ\text{C}$ показание манометра стало $P_2=85\text{ am}$. Не было ли потерь кислорода во время переноски?

Решение свойства к проверке равенства $\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}$, справедливо при $m=\text{const}$ (Ответ: потерь не было.)

Более сложное поведение газа, когда изменяется и давление, и объем, и температура, легко всего проследить на графике. Расмотрим, к примеру, такую задачу.

Задача. Некоторые процессы, произходящий с идеальным газом, изображается на графике зависимости давления от температуры в виде окружности. Требуется разбитть окружность наименьшим числом точек на части, соответствующие процессам, в каждой из которых любая из величины $P, V$ и $T$ меняется монотно (то есть возрастает или убывает.).

Решение. Точки, соответствующие наиболее и наиболее давление — точки $a_1$ и $a_2$ касания окружности с вертикальным изотермами (рис. 6). Точки, в которых достигается наиболее и наиболее давление — точки $b_1$ и $b_2$ касания окружности с горизонтальным изобарами. Изохоры на графике $P(T)$ изображаются прямыми, проходящими через начало координат. Чем меньше объем, тем крупнее изохора. Две изохоры, касательные к окружности, дают еще две точки $c_1$ и $c_2$. Все окружность разбивается, таким образом, на шесть кривых, изображенных требуемые процессы.

Из сказанного ясно, что параметры, определяющие состояние данной массы газа неизменного химического состояния ($P, V$ и $T$), связаны друг с другом. Если известны две величины

49

ны, можно найти требую. Уравнение, определяющее связь температуры, объема и давления, называют уравнением состояния газа.

Уравнение Клапейрона — Менделеева

Для получения этого уравнения связь два произвольных состояний идеального газа. Пусть, например, газ переводится из состояния $P_1$, $V_1$, $T_1$ в состояние $P_2$, $V_2$, $T_2$. Для перехода использует уже известные нам процессы. Применяя только два процесса, переход 1—2 (рис. 7) можно осуществить шестью способами (1—3—2, 1—4—2, 1—5—2, 1—6—2, 1—7—2, 1—8—2). Рассмотрим первый из них. Процесс 1—3 изохорическая, то есть $V_1 = V_3$. Поэтому $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_3}{T_3}$.

Процесс 3—2 изотермический ($T_2 = T_3$) и, следовательно, $P_3V_3 = P_2V_2$. Перемножив все четыре соответствия, получим

$$\frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2}.$$

Начальное и конечное состояние газа мы взяли совершенно произвольно. Следовательно, для данной массы газа неизменного химического состояния можно написать

$$\frac{PV}{T} = B = \text{const.}$$

Уравнение (IV) установливает простую связь между давлением, объемом и температурой данного массы газа. Оно полностью описывает состояние газа.

Рис. 7.

сторные идеального газа. Первые это уравнение вывед Клапейрон, обведив законы Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Уравнение Клапейрона позволяет решать задачи, в которых связь官僚ства состояния газа при неизменной массе.

Рассмотрим простой пример.

Задание. Цилиндрический соуд, наполненный газом, разделен подвижной перегородкой на две части так, что отношение объемов части 2:3. Температура газа в меняшей части станет равной $T_1 = 227^\circ\text{C}$, а в большей — $T_2 = 60^\circ\text{C}$? Треннем претензь.

Решение. Для газа в меньше части $\frac{PV_1}{T} = \frac{P'V'_1}{T_1}$. Для газа в большей части $\frac{PV_2}{T} = \frac{P'V'_2}{T_2}$. Отсюда

$$\frac{V'_1}{V'_2} = \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_1}{T_2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{273 + 227}{273 + 60} \approx 1.$$

Остался лишь один шаг, чтобы сделать уравнение состояния идеальных газов универсальным. Необходимо учеть массу газа и его химическую «индивидуальную». Этот шаг сделан в Великим русским химом Д. И. Менделеевым. Он использовал закон, открытий в 1811 году и заключилским ученым А. Авогадро и заключитшийся в том, что все газы независимо от их химической природы при одинаковом давлении и температуре занимают одинаковый объем, если они взяты в количестве, пропорциональных их молекулярной массе. В частности, при $0^\circ\text{C}$ ($T_0 = 273^\circ\text{K}$) и давлении $P = 1$ амм объем газа $V_0\mu = 22,4$ $m^3/\text{kmоль} = 22,4$ $l/\text{моль}$. Зная это, можно вычислить постоянную $B$ в уравнении (IV). Она пропорциональная числу молей газа. Это число находится делением массы газа на молекулярную массу: $v = \frac{m}{\mu}$.

50

Козффициент пропорциональности $R = \frac{P_0 V_0 \mu}{T_0}$ называют универсальной газовой постоянной. Подсчет дает для $R$ значение

$$R = 8,3 \cdot 10^3 \frac{\partial x/\partial p}{\partial T} = 0,082 \cdot \lambda \cdot \alpha m/\alpha p \cdot \alpha m.$$

Таким образом, уравнение состояния идеального газа, которое называют уравнением Менделеева—Клапейрона, записывается в виде

$$PV = \frac{m}{\mu} RT.$$

Любая задача на расчет процессов в идеальных газах решается почти автоматически, если сразу записать уравнение (V) для каждого состояния газа. Но уравнение (V) позволяет решать и задачи другого типа.

Задание а. Плотность пара неокотого соединения углерода и водорода равна $\rho = 2,5$ е/л при температуре $t = 10^\circ$ С и давлении $P = 760$ мм. см. Какое это соединение?

Решение e. Из уравнения (V) можно найти молекулярную массу соединения:

$$\mu = \frac{mRT}{PV} = \frac{\rho RT}{P} \approx 58 \left(\frac{e}{\mu}\right).$$

Такую молекулярную массу имеют изомеры бутана $C_4H_{10}$.

Рассмотрим еще одну задачу.

Задание а. Считая, что из общей массы воздуха 75% приходится на долю азота, а 25% — на долю кислород, определять, сколько воздуха выдает из комнаты объемом 50 $m^3$ при повышении температуры от $17^\circ$ С до $27^\circ$ С. Атмосферное давление нормальное ($P_0 = 1$ атм).

Решение e. Молекулярная масса воздуха

$$\mu = \frac{0,75m + 0,25m}{\frac{0,75m}{\mu_1} + \frac{0,25m}{\mu_2}} \approx 29 \left(\frac{\kappa e}{\mu}\right).$$

Изменение массы воздуха в комнате

$$\Delta m = \frac{\mu P_0 V}{RT_2} - \frac{\mu P_0 V}{RT_1} =$$

$$= \frac{\mu P_0 V T_0}{P_0 V 0 \mu} \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \approx -2 \left(\kappa e\right).$$

Уражнения

1. Барометр дает неверные показания вседействие приступления небольшого количества воздуха над стольником рутини. При давлении 755 мм. см. барометр показывает 748 мм. см., а при 740 мм. см. – 736 мм. см. Какое давление будет показывать барометр, если действительное давление равно 760 мм. см?

2. Как изменялось давление газа во время процесса, изобравенного на рис. 8?

Рис. 8.

3. Сообщающее состояние, показанное на рисунке 9, погружают в теплую воду. Описать поведение рутини в манометре.

4. Свободно скользывающий газонепроницаемый поршень удерживает посредние

Рис. 9.

откачанного соуса двумя идеальных пружинами. Когда в одну из положин соуса ввели газ при температуре $T_1 = 300^\circ$ К,лина этой части соуса оказалась равной $x_1 = 0,2$ мм, а после нагрева газа до $T_2 = 750^\circ$ Клина той же части стала $x_2 = 0,25$ мм. Какова будет длина $x_3$ при $T_3 = 1200^\circ$ К?

5. Вывести уравнение (IV), используя процессы 1—4—2, 1—5—2, 1—7—2 или 1—8—2 (см. рис. 7).

6. Баллон емкостью 20,5 л содержит смесь водорода и гелия. Масса смеси 13 е, температура 27°С, давление 5,4 атм. Определить массу водорода и массу гелия.